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精品解析：广东省深圳市龙岗区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
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2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2. 若，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次分析判断．
【详解】解：∵，∴a+1>b+1，故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B符合题意；
∵，∴-2a<-2b，故选项C不符合题意；
∵，∴，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个不为0的整正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个不为0的负数，不等号方向改变．
3. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴图像即可求出解集．
【详解】根据数轴可知表示的解集为，
即数轴上表示的是不等式组的解集
故选B．
【点睛】本题考查在数轴表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4. 四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】求较短的两边的平方和，与最长边的平方比较，若相等，根据勾股定理的逆定理可得该三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形．
【详解】解：①，不能构成直角三角形；
②，能构成直角三角形；
③，不能构成直角三角形；
④，能构成直角三角形．
综上所述：能构成直角三角形是②④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．
5. 已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得到关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：
故选：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号特征．
6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答．
【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MNBC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键．
7. 若不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）
A. m≥1 B. m≤1 C. m≥0 D. m≤0
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得m的取值范围．
【详解】解：解不等式x+5＜5x+1，得：x＞1，
解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
∵不等式组的解集为x＞1，
∴m≤1，
故选：B
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8. 如图，沿直角边BC所在的直线向右平移得到，下列结论中错误的是（ ）
A. ≌ B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、向右平移得到，则≌成立，故正确；
B、为直角三角形，则成立，故正确；
C、≌，则成立，故正确；
D、不一定成立，故错误．
故选D．
【点睛】本题考查了平移的性质，全等的性质，理解好平移前后的两个三角形全等是解题关键．
9. 如图，P是正内一点，若将绕点B旋转到，则'的度数为（ ）
A. 45° B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】旋转的性质：对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，进行解题即可．
【详解】由已知得，
所以，
所以
故选：B．
【点睛】本题考查旋转角，熟记旋转的性质是解题的关键．
10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，
因为腰PM的长度是变化的，
所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可．
【详解】解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形．
（2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形周长=7+7+2=16；
综上，此三角形的周长为16．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可．
12. 如图，在△ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于__________
【答案】10
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18．
又∵BC=8，
∴AC=10（cm）．
故答案为10．
13. 如图，已知函数和的图像交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】由图象观察可得答案．
【详解】解：由图象可知，在P点右侧，的图象在的图象上方，
故不等式解集是x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是熟练的运用数形结合思想，直观的得到答案．
14. 如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平移的性质可知，从B到D和A到C的平移方式一样，从而根据坐标的变化进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵A的坐标为（5，2），B的坐标为（﹣1，﹣2），C的坐标为（a，6），D的坐标为（﹣4，b）
∴根据坐标的变化可以确定从B到D的平移方式为：先向左平移3个单位，然后向上平移4个单位
∴5-3=a，﹣2+4=b
∴解得a=2，b=2
∴a+b=4
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平移后坐标的变化，解题的关键在于能够知道从B到D和A到C的平移方式一样．
15. 如图，Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO ：S△CAO = ______________．
【答案】3：4：5
【解析】
【详解】解：如图：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线将△ABC分为三个三角形，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD
＝AB：BC：AC
＝6：8：10
=3：4：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解不等式：≤1并把解集数轴上表示出来．
【答案】x≤1，数轴表示见解析.
【解析】
【详解】去分母得：3x+3+2x﹣2≤6，
移项合并得：5x≤5，
解得：x≤1，
把解集在数轴上表示出来为：
【点睛】本题主要考查解不等式和在数轴上表示不等式的解集.用数轴表示不等式解集的方法：（1）定边界点，若含有边界点，解集为实心点，若不含边界，解集为空心圆圈；（2）定方向，大于向右，小于向左.
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别解每个不等式，再求出公共解集即可．
详解】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤，能求出不等式的公共解集．
18. 如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）26°．
【解析】
【详解】试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于一点，这点就是D点位置；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC的度数，再根据等边对等角可得∠DAB的度数，进而可得答案．
试题解析：（1）如图所示：点D即为所求；
（2）∵△ABC，∠C=90°，∠B=32°， ∴∠BAC=58°，
∵AD=BD，∴∠B=∠DAB=32°，∴∠CAD=58°﹣32°=26°．
【点睛】本题主要考查基本作图——线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等，解题的关键是掌握作图的基本步骤，掌握垂直平分线的性质.
19. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DE的长．
【答案】（1）∠F=30°；（2）ED= 2．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵DC=2，
∴ED=DC=2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
20. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1．
（2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）y＝x﹣4，(，0)
【解析】
【分析】（1）由中心对称的定义，作出点A、B关于点C的对称点A1、B1，点C的对称点与点C重合，再依次连接得到的各点即可求得△A1B1C1．
（2）根据平移的特征：图形上的对应点都沿平移方向平移了相同的距离，作出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，连结A2、B2、C2，求得△A2B2C2．
（3）作点A1关于x轴的对称点D，连结C2D交x轴于点P，则点P就是所求的点，由中心对称、平移和轴对称的特征求出点C2、D的坐标，再用待定系数法求出直线PC2的一次函数关系式及点P的坐标．
【详解】解：（1）如图，点A（﹣2，3）、B（﹣1，1）、C（0，2）关于点C的对称点坐标分别为A1（2，1）、B1（1，3）、C1（0，2），
依次连结A1、B1、C1．
△A1B1C1就是所求的图形．
（2）点A1（2，1）、B1（1，3）、C1（0，2）向右平移4个单位得到的对应点分别为A2（6，1）、B2（5，3）、C2（4，2），
依次连结A2、B2、C2，
△A2B2C2就是所求的图形.
（3）作点A1（2，1）关于x轴的对称点D（2，﹣1），
连结C2D，交x轴于点P，
连结A1P，则A1P=PD，
由“两点之间，线段最短”可知，
此时PA1+PC2＝DC2的值最小，
∴点P就是所求的点．
设直线PC2的一次函数关系式为y＝kx+b，
由作图可得，点D在直线PC2上，
把D（2，﹣1）、C2（4，2）代入y＝kx+b，
得 ，
解得，
∴y＝x﹣4．
当y＝0时，由x﹣4＝0，
得x＝，
∴P（，0）．
综上所述，经过点P、C2的一次函数关系式为y＝x﹣4，点P的坐标为(，0)．
【点睛】本题考查中心对称、轴对称、平移的特征和作图、最短路径问题的作图以及图形与坐标、用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是正确得出对应点的坐标．
21. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元．
①求关于a的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元；（2）①（且为正整数）；②商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大．
【解析】
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题；
（2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，根据（1）的结论以及总利润等于每台电脑的利润乘以总数列出函数关系式，根据题意建立一元一次不等式组，确定的范围；
②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可．
【详解】（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意，得：
解得，
答：每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元．
（2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，依题意得：
，
即，
解得，
关于a的函数关系式为：（且为正整数），
②，
，
随的增大而减小，
且为正整数，
当时，取得最大值，
则购进B型电脑（台），
答：商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意找到等量关系列出方程组和不等式组是解题的关键．
22. 已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．
（2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．
【详解】（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2. 若，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次分析判断．
【详解】解：∵，∴a+1>b+1，故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B符合题意；
∵，∴-2a<-2b，故选项C不符合题意；
∵，∴，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个不为0的整正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个不为0的负数，不等号方向改变．
3. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴图像即可求出解集．
【详解】根据数轴可知表示的解集为，
即数轴上表示的是不等式组的解集
故选B．
【点睛】本题考查在数轴表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4. 四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】求较短的两边的平方和，与最长边的平方比较，若相等，根据勾股定理的逆定理可得该三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形．
【详解】解：①，不能构成直角三角形；
②，能构成直角三角形；
③，不能构成直角三角形；
④，能构成直角三角形．
综上所述：能构成直角三角形是②④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．
5. 已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得到关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：
故选：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号特征．
6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答．
【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MNBC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键．
7. 若不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）
A. m≥1 B. m≤1 C. m≥0 D. m≤0
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得m的取值范围．
【详解】解：解不等式x+5＜5x+1，得：x＞1，
解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
∵不等式组的解集为x＞1，
∴m≤1，
故选：B
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8. 如图，沿直角边BC所在的直线向右平移得到，下列结论中错误的是（ ）
A. ≌ B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、向右平移得到，则≌成立，故正确；
B、为直角三角形，则成立，故正确；
C、≌，则成立，故正确；
D、不一定成立，故错误．
故选D．
【点睛】本题考查了平移的性质，全等的性质，理解好平移前后的两个三角形全等是解题关键．
9. 如图，P是正内一点，若将绕点B旋转到，则'的度数为（ ）
A. 45° B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】旋转的性质：对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，进行解题即可．
【详解】由已知得，
所以，
所以
故选：B．
【点睛】本题考查旋转角，熟记旋转的性质是解题的关键．
10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，
因为腰PM的长度是变化的，
所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可．
【详解】解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形．
（2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形周长=7+7+2=16；
综上，此三角形的周长为16．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可．
12. 如图，在△ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于__________
【答案】10
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18．
又∵BC=8，
∴AC=10（cm）．
故答案为10．
13. 如图，已知函数和的图像交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】由图象观察可得答案．
【详解】解：由图象可知，在P点右侧，的图象在的图象上方，
故不等式解集是x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是熟练的运用数形结合思想，直观的得到答案．
14. 如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平移的性质可知，从B到D和A到C的平移方式一样，从而根据坐标的变化进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵A的坐标为（5，2），B的坐标为（﹣1，﹣2），C的坐标为（a，6），D的坐标为（﹣4，b）
∴根据坐标的变化可以确定从B到D的平移方式为：先向左平移3个单位，然后向上平移4个单位
∴5-3=a，﹣2+4=b
∴解得a=2，b=2
∴a+b=4
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平移后坐标的变化，解题的关键在于能够知道从B到D和A到C的平移方式一样．
15. 如图，Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO ：S△CAO = ______________．
【答案】3：4：5
【解析】
【详解】解：如图：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线将△ABC分为三个三角形，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD
＝AB：BC：AC
＝6：8：10
=3：4：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解不等式：≤1并把解集数轴上表示出来．
【答案】x≤1，数轴表示见解析.
【解析】
【详解】去分母得：3x+3+2x﹣2≤6，
移项合并得：5x≤5，
解得：x≤1，
把解集在数轴上表示出来为：
【点睛】本题主要考查解不等式和在数轴上表示不等式的解集.用数轴表示不等式解集的方法：（1）定边界点，若含有边界点，解集为实心点，若不含边界，解集为空心圆圈；（2）定方向，大于向右，小于向左.
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别解每个不等式，再求出公共解集即可．
详解】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤，能求出不等式的公共解集．
18. 如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）26°．
【解析】
【详解】试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于一点，这点就是D点位置；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC的度数，再根据等边对等角可得∠DAB的度数，进而可得答案．
试题解析：（1）如图所示：点D即为所求；
（2）∵△ABC，∠C=90°，∠B=32°， ∴∠BAC=58°，
∵AD=BD，∴∠B=∠DAB=32°，∴∠CAD=58°﹣32°=26°．
【点睛】本题主要考查基本作图——线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等，解题的关键是掌握作图的基本步骤，掌握垂直平分线的性质.
19. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DE的长．
【答案】（1）∠F=30°；（2）ED= 2．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵DC=2，
∴ED=DC=2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
20. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1．
（2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）y＝x﹣4，(，0)
【解析】
【分析】（1）由中心对称的定义，作出点A、B关于点C的对称点A1、B1，点C的对称点与点C重合，再依次连接得到的各点即可求得△A1B1C1．
（2）根据平移的特征：图形上的对应点都沿平移方向平移了相同的距离，作出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，连结A2、B2、C2，求得△A2B2C2．
（3）作点A1关于x轴的对称点D，连结C2D交x轴于点P，则点P就是所求的点，由中心对称、平移和轴对称的特征求出点C2、D的坐标，再用待定系数法求出直线PC2的一次函数关系式及点P的坐标．
【详解】解：（1）如图，点A（﹣2，3）、B（﹣1，1）、C（0，2）关于点C的对称点坐标分别为A1（2，1）、B1（1，3）、C1（0，2），
依次连结A1、B1、C1．
△A1B1C1就是所求的图形．
（2）点A1（2，1）、B1（1，3）、C1（0，2）向右平移4个单位得到的对应点分别为A2（6，1）、B2（5，3）、C2（4，2），
依次连结A2、B2、C2，
△A2B2C2就是所求的图形.
（3）作点A1（2，1）关于x轴的对称点D（2，﹣1），
连结C2D，交x轴于点P，
连结A1P，则A1P=PD，
由“两点之间，线段最短”可知，
此时PA1+PC2＝DC2的值最小，
∴点P就是所求的点．
设直线PC2的一次函数关系式为y＝kx+b，
由作图可得，点D在直线PC2上，
把D（2，﹣1）、C2（4，2）代入y＝kx+b，
得 ，
解得，
∴y＝x﹣4．
当y＝0时，由x﹣4＝0，
得x＝，
∴P（，0）．
综上所述，经过点P、C2的一次函数关系式为y＝x﹣4，点P的坐标为(，0)．
【点睛】本题考查中心对称、轴对称、平移的特征和作图、最短路径问题的作图以及图形与坐标、用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是正确得出对应点的坐标．
21. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元．
①求关于a的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元；（2）①（且为正整数）；②商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大．
【解析】
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题；
（2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，根据（1）的结论以及总利润等于每台电脑的利润乘以总数列出函数关系式，根据题意建立一元一次不等式组，确定的范围；
②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可．
【详解】（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意，得：
解得，
答：每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元．
（2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，依题意得：
，
即，
解得，
关于a的函数关系式为：（且为正整数），
②，
，
随的增大而减小，
且为正整数，
当时，取得最大值，
则购进B型电脑（台），
答：商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意找到等量关系列出方程组和不等式组是解题的关键．
22. 已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．
（2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．
【详解】（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
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