中职数学高教版（2021）基础模块上册3.3 函数的性质优秀课后作业题

3.3.1 函数的单调性

同步练习

1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　B　)

A．y＝3－x  B．y＝x2＋1

C．y＝  D．y＝－x2

[解析]　分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B．

2．如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．

 [解析]　函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．

3．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　A　)

A．y＝|x|  B．y＝3－x

C．y＝  D．y＝－x2＋4

[解析]　因为－1＜0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．

4．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　B　)

A．(－∞，)　　　　　  B．(，＋∞)

C．(－∞，]  D．[，＋∞)

[解析]　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B．

5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　C　)

A．  B．[－1，＋∞)

C．  D．(－∞，＋∞)

[解析]　y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．

6．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__．

[解析]　由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．

7．判断并证明：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．

[解析]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．

证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(－＋1)－(－＋1)

＝－＋＝．

由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0．

又由x1＜x2，得x1－x2＜0．

于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．

1．据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．

[解析]　由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．

由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．

2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　C　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1,4]上单调递增

C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减

D．函数在区间[－5,5]上不单调

[解析]　若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．

3．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是(　A　)

A．f(x)＝3－x  B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝2x  D．f(x)＝－

[解析]　根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：f(x)＝3－x在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝x2－3x在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增；f(x)＝2x，f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增．

4．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是__(－∞，0)__．

[解析]　函数f(x)是反比例函数，若k＞0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k＜0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以有k＜0．

5．下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　ABD　)

A．y＝2x＋1  B．y＝x2＋1

C．y＝3－x  D．y＝x2＋2x＋1

[解析]　A中，y＝2x＋1在R上单调递增，符合题意；B中y＝x2＋1，对称轴为x＝0，在(0，＋∞)上单调递增；C中y＝3－x在R上单调递减；D中y＝x2＋2x＋1的对称轴为x＝－1，在(－1，＋∞)上单调递增，符合题意，故选ABD．

6．求证：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

[证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)．

因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)．

所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

7．用函数单调性定义证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数；

 [证明]　设x1＜x2≤－1，则

f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2)

＝2(x－x)＋4(x1－x2)

＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．

∵x1＜x2≤－1，

∴x1－x2＜0，x1＋x2＋2＜0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．

1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　C　)

A．[0,1]　　　　　　　　 B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]  D．[－3,4]

[解析]　结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．

2．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝__13__．

[解析]　由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13．

3．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么下列结论正确的是 (　B　)

A．f(x)在(－∞，1]上是减函数

B．f(x)在(－∞，1]上是增函数

C．f(x)在[－1，＋∞)上是减函数

D．f(x)在[－1，＋∞)上是增函数

[解析]　由二次函数f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9的图象知B对，故选B．

4．已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)等于(　B　)

A．－3　　  B．13

C．7　　  D．由m决定的常数

[解析]　由f(x)＝2x2－mx＋3，得对称轴x＝，∴＝－2，即m＝－8，代入f(x)＝2x2－mx＋3，有f(x)＝2x2＋8x＋3.将x＝1代入f(x)＝2x2＋8x＋3，得f(1)＝13.

5．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．

[证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝－＝＝．

因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0．

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．

对于任意的x3，x4∈(0，＋∞)，且x3＜x4，有

f(x3)－f(x4)＝．

因为0＜x3＜x4，所以x4－x3＞0，x4＋x3＞0，xx＞0．

所以f(x3)－f(x4)＞0，即f(x3)＞f(x4)．

所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

6．用函数单调性定义证明：函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．

[证明]设x1＞x2＞－1，

则x1－x2＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，

y1－y2＝－＝＞0，

∴y1＞y2，

∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．