2022北京首都师大附中高一12月月考数学（教师版）

2022北京首都师大附中高一12月月考

数    学

一、单选题（本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 函数的零点所在的大致区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

6. 函数的定义域为_______.

7. 已知幂函数的图象过点，且当时，恒有，则实数的取值范围为__________．

8. 计算：（1）____________．

（2）____________．

9. 函数的单调递减区间是____________．

10. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）

三、解答题（本大题共3小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 关于的方程的两个实根，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

12. 已知函数．

（1）若，求函数的值域；

（2）若，判断并证明函数的奇偶性；

（3）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．

13. 已知为R上的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）判断的单调性，并说明理由；

（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围．

参考答案

一、单选题（本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 【答案】D

【解析】

【分析】配方求值域，得到，求出定义域得到或，从而求出交集.

【详解】，故，

，解得：或，

故或，

所以

故选：D

2. 【答案】B

【解析】

【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可

【详解】由题意，，故

故

故选：B

3. 【答案】B

【解析】

【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案.

【详解】由函数的图象为减函数可知，，

再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，

故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象

故选：B.

4. 【答案】D

【解析】

【分析】结合零点存在定理直接判断.

【详解】易知是增函数，且，，

，，，，

故函数的零点所在的大致区间为.

故选：D

5. 【答案】C

【解析】

【分析】分段函数是减函数，就要求每一段都是减函数，并且满足，解不等式组即得解.

【详解】当，是减函数，所以，即   ① ；

当，也是减函数，故   ② ；

在衔接点x=1，必须要有成立，才能保证在上是减函数，即  ③，

∴由①②③取交集，得.

故选：C.

二、填空题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

6. 【答案】

【解析】

【分析】直接根据二次根式不小于零，分母不为零列不等式求解.

【详解】由已知得，解得

即函数的定义域为

故答案为：

7. 【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数的定义，代入已知点，建立方程，解得函数解析式，结合其单调性，解决不等式恒成立问题，可得答案.

【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，

所以在上恒成立，只需，

易知在上单调递减，所以，

所以所以实数的取值范围为

故答案为：.

8. 【答案】    ①. 5    ②. 21

【解析】

【分析】（1）利用根式与指数幂的运算求解；

（2）利用对数的性质和运算求解.

【详解】解：（1），

，

；

（2），

，

，

.

故答案为：5，21

9. 【答案】

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性知，.两者取交集即可得到.

【详解】要使函数有意义，则，

即，解得，即函数定义域为.

令，则在上单调递减，

根据复合函数的单调性知，要使函数单调递减，

应使函数单调递增，即.

又函数定义域为，

所以，函数的单调递减区间是.

故答案为：.

10. 【答案】

【解析】

【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果.

【详解】假设需要块这样的玻璃，则，，

，

至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的.

故答案为：.

三、解答题（本大题共3小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】结合二次函数零点与根的分布即可求解.

【小问1详解】

令，开口向上，对称轴为，

由，，则，解得，

所以的取值范围为.

【小问2详解】

由，则，解得，

所以的取值范围为.

12. 【答案】（1）   

（2）函数为偶函数；证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用换元法求出真数部分的二次函数的值域后可求原函数的值域；

（2）利用偶函数的定义可判断并证明函数为偶函数；

（3）根据复合函数的单调性可得真数部分对应的函数的性质，从而可求参数的取值范围.

【小问1详解】

当时，   ．

令，解得．           ．

所以．所以，

所以函数的值域为                   ．

【小问2详解】

当时，            ．

所以由可得定义域为            ．

因为

所以函数为偶函数．

【小问3详解】

因为函数在上单调递减，故在上单调递减，

且，故，解得．

13. 【答案】（1）.   

（2）函数在R上单调递增；证明见解析.   

（3）.

【解析】

【分析】（1）利用 ，求出m和n的值，然后再利用奇函数的定义进行检验即可；

（2）根据函数解析式判断单调性，利用单调性的定义证明即可；

（3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为，即对任意，有 恒成立，然后结合二次函数性质求解函数的最大值，即可得到答案．

【小问1详解】

因为函数 是定义域为R的奇函数，

则即，所以 ，

又，即，所以 ，

当 时，，

此时，所以为奇函数，符合题意，

故；

【小问2详解】

函数在R上单调递增，证明如下：

因为 ，

设，则 ，

因为，所以 ，故，

故 ，所以在R上单调递增.

【小问3详解】

因为为奇函数，

所以不等式可变形为，

又在R上单调递增，所以 ，

则由题意可知对任意 ，有恒成立，

令，则 ，所以令 ，

故 ，所以 ，

故实数k的取值范围为．