2022北京陈经纶中学高一12月月考数学（教师版）

2022北京陈经纶中学高一12月月考

数    学

考试时间：90分钟  满分：120分

一、选择题：本大题共10小题，每个小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. （    ）

A.  B.  C.  D. 1

3. 设，则（    ）

A. a<c<b B. b<a<c C. c<a<b D. c<b<a

4. 下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，（k为常数），则（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. “角，的终边关于轴对称”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，，，，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数和的图象有且只有一个公共点

B. ，当时，恒有

C. 当时，，

D. 当时，方程有解

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中的横线上.

11. 函数的定义域为__________．

12. 已知sin＝，则cos＝________．

13. 定义在R上的偶函数，当时，单调递减，则的解集为______．

14. 已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为__________．

15. 已知函数，给出下列四个结论：

①的定义域为；

②对任意实数x，有；

③在上单调递减；

④存在，对任意有．

其中所有正确结论的序号是_____________．

三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 已知集合，集合或，全集.

（1）若，求;

（2）若⫋，求实数的取值范围.

17. 已知函数．

（1）若，求a的值；

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若对于恒成立，求实数m的范围．

18. 如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．已知函数，其中且，．

（1）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；

（2）证明：当时，函数不存在等域区间；

19. 对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合.

（1）若，求集合和；

（2）已知为有限集，若，证明：.

（3）若，求的值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每个小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的运算，即可得到结果.

【详解】因为，

则，且

所以.

故选:D.

2. 【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】.

故选：B

3. 【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，利用中间值1和2比较大小．

【详解】解：∵，∴，

又，

，

∴，

故选：C．

4. 【答案】C

【解析】

【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解.

【详解】对于A，为增函数，不符合题意；对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，，故为奇函数，当时，在上单调递减，当时，在单调递减，故C符合题意；对于D，为偶函数，且在定义域内不单调.

故选：C

5. 【答案】A

【解析】

【分析】根据求出，再根据可求出结果.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，

又，所以，得，

所以当时，，

所以.

故选：A

6. 【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数定义解决即可.

【详解】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得

，

因为，即，

由图知

对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错；

对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错；

对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确；

对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错；

故选：C.

7. 【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的性质的即可判断求解.

【详解】若角，的终边关于轴对称，则sinα＝cosβ，则；

若，则，则sinα＝±cosβ，则角，的终边关于或y＝－x轴对称；

综上，“角，的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

8. 【答案】B

【解析】

【分析】设等边三角形的边长为，由题意可得，进而求出的值，再求出扇形的面积和等边三角形的面积，从而求出该勒洛三角形的面积.

【详解】设等边三角形的边长为，

则由题意得：，解得：，

所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，

又等边三角形的面积为，

则该勒洛三角形的面积为，

故选：B.

9. 【答案】A

【解析】

【分析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.

【详解】

要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，

当时，在上单调递减，；

当时，在上单调递增，；

当时，在上单调递增，；

由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，

故选：A.

10. 【答案】D

【解析】

【分析】对于A，易知两个函数都过，结合特值和图象可得函数和的图像有两个公共点；对于B，由函数的增长速度可判断；对于C，当时，作图可知，有恒成立；对于D，当时，易知两个函数都过点，即方程有解；

【详解】对于A，指数函数与一次函数都过，

且，，

故还会出现一个交点，如图所示，所以函数和的图像有两个公共点，故A错误；

对于B，，均单调递增，

由对数函数的性质可得对数函数的增长速度越来越慢，逐渐趋近0，一次函数的增长速度固定，所以不存在，当时，恒有，故B错误；

对于C，当时，指数函数与对数函数互为反函数，两函数图像关于直线对称，如图所示，

由图可知，，有恒成立，故C错误；

对于D，当时，，，由知，，且两个函数都过点，即方程有解，故D正确；

故选：D

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中的横线上.

11. 【答案】 .

【解析】

【分析】由对数式中真数大于0和分式中分母不等于0列式可得结果.

【详解】由题意知， 且

故答案为：.

12. 【答案】

【解析】

【分析】根据，利用诱导公式计算即可.

【详解】sin,

故答案为：

13. 【答案】

【解析】

【分析】根据偶函数的单调性即可得自变量的关系，列不等式即可求解.

【详解】为R上的偶函数，且在上单调递减，则在上单调递增，由于，∴，平方得，解得 ，故不等式的解集为．

故答案为：

14. 【答案】2

【解析】

【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式和二次函数的性质计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可求解．

【详解】设扇形的半径为，则弧长为，

面积为，

所以当时S取得最大值为，

此时，圆心角为（弧度）．

故答案为：2.

15. 【答案】①②④

【解析】

【分析】可直接判断①正确；求出函数奇偶性可判断②正确；结合对勾函数性质可判断③错误；由函数增减性可判断④正确

【详解】由可知，①正确；

，，故函数为奇函数，②正确；

，时，当且仅当时取到，结合对勾函数性质可知函数在单减，单增，

故当时，在单增，单减，，故③错误；

当时，故，④正确.

故答案为：①②④

三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题知，再根据集合运算求解即可；

（2）根据题意得或，再解不等式即可得答案.

【小问1详解】

解：当时，

所以，

又或，

所以.

【小问2详解】

解：因为，或,⫋，

所以或，解得或，

所以实数的取值范围是.

17. 【答案】（1）   

（2）奇函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；

（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；

（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.

【小问1详解】

，，即，解得，

所以a的值为

【小问2详解】

为奇函数，证明如下：

由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，

又，

所以为奇函数；

【小问3详解】

因为，

又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，

由复合函数的单调性知函数在上为增函数，

所以，

又对于恒成立，所以，所以，

所以实数的范围是

18. 【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】(1)当时，根据等域函数的定义和指数型函数的单调性可得或，分别解出a、b，检验即可；

(2)根据、可知函数为减函数，假设存在等域区间，则，进而，验证等式不成立即可.

【小问1详解】

由题意知，当时，，

若函数是上的等域函数，

当时，函数为增函数，

则，解得，此时；

当时，函数为减函数，

则，解得，不满足题意，

综上，函数的解析式为；

【小问2详解】

由，得，所以函数为减函数，

由，知函数为减函数，

所以函数为减函数，

假设函数存在等域区间，

则，两式相减，

得，即，

因为，所以，

因为，所以，得，

则等式不成立，

故函数不存在等域区间.

19. 【答案】（1），；   

（2）证明见解析；    （3）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定的定义，求出集合C及其元素个数作答.

（2）分中至少含有一个不在D中的元素、两种情况分别推理作答.

（3）根据给定条件，确定集合中的元素个数即可计算作答.

【小问1详解】

集合，而，

所以，.

【小问2详解】

依题意，，，当且仅当时取等号，

若中至少含有一个不在D中的元素，则有，

当时，则有，因为有限集，且，令的最小元素为，

此时集合A中最小的元素，集合B中最小的元素，因此集合C中最小的元素，即，

于是得，有，

所以.

【小问3详解】

，因集合，若或，则，不符合题意，因此且，

当集合中有存在3元素的集合时，不妨令，令，若，

则有，即集合C中至少有4个元素，不符合题意，同理，因此，，

当集合都只有1个元素时，集合C只有1个元素，不符合题意，

当集合中一个只有1个元素，另一个有两个元素时，集合C只有2个元素，不符合题意，

当集合都有2个元素时，令，，

，若，有，满足，此时，

若，有，此时，不符合题意，

所以或的值可能为4.

【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.