2021北京首都师大附中高二（上）期末数学（教师版）

2021北京首都师大附中高二（上）期末

数    学

一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）

1．双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

2．已知是公差不为零的等差数列，且，则　　

A． B． C．9 D．5

3．在的展开式中，下列说法错误的是　　

A．展开式中所有项的系数和为 

B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 

C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 

D．展开式中含项的系数为

4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据，，2，，得到下面的散点图：

由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是　　

A． B． C． D．

5．若，则对于，　　

A． B． 

C． D．

6．将编号为1，2，3，4，5的5个小球全部放入，，三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有　　

A．42 B．36 C．48 D．60

7．已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则　　

A． B． C． D．

8．袋中有4个黑球，3个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为　　

A． B． C． D．

9．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数．则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是　　

A． B． C． D．

10．数列满足，，下列说法正确的是　　

A．存在正整数，使得 B．存在正整数，使得 

C．对任意正整数，都有 D．数列单调递增

二、填空题（共8小题，每小题0分，满分0分）

11．展开式中的常数项是　 　．

12．数列1，，，，，的前项和　　．

13．两台机床加工同样的零件，第一台的不合格品率为0.04，第二台的不合格品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为 　　．

14．已知直线，，若，的值为 　　．

15．从0、1、2、3、4、5中选出四个数，组成没有重复数字的四位数，其中偶数有 　　个．

16．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有　　种．（用数字作答）

17．世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为 　　．

18．已知数列中，，，记，若，则　　，　　．

三、解答题（共4小题，满分0分）

19．已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和．

20．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照，，，，，，，，，分组，绘成频率分布直方图如图：

（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组，和，内的人数；

（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组，的选手中随机选取3名选手，以表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．

21．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于，直线，分别交直线于，两点．求证：，两点的纵坐标之积为定值．

22．已知无穷递增数列中，且对任意的，，存在，使得：．

（1）若是公比为的等比数列，求的值；

（2）若，求的最小值；

（3）若，且，求的最小值．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）

1．【分析】直接利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可．

【解答】解：双曲线的渐近线方程是：，即，

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．

2．【分析】根据是等差数列，且，可得，所以根据即可求解．

【解答】解：由是等差数列，得，又，所以，

所以．

故选：．

【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．

3．【分析】令可判断选项，所有奇数项的二项式系数和为可判断选项，利用展开式中二项式系数的性质即可判断选项，由展开式的通项可判断选项，进而可得正确选项．

【解答】解：对于选项，令，可得展开式中所有项的系数的和为，故错误，

对于选项，奇数项的二项式系数和为，故正确，

对于选项，展开式共有9项，中间项即为第五项的二项式系数最大，故正确，

对于选项，的展开式为，

令，得，

所以展开式中含项的系数为，故正确．

故选：．

【点评】本题考查二项式定理及其性质，考查学生的运算能力，属于中档题．

4．【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．

【解答】解：由散点图可知，在至之间，发芽率和温度所对应的点在一段对数函数的曲线附近，

结合选项可知，可作为发芽率和温度的回归方程类型．

故选：．

【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．

5．【分析】利用所给等式，确定与中的项，即可得到结论．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查数学归纳法，解题的关键是明确等式的意义，从而确定变化的项．

6．【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5个小球分为三组，要求每组中的小球编号不相连，②将分好的三组全排列，放入三个盒子，由分步计数原理计算即可求出答案．

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5个小球分为三组，要求每组中的小球编号不相连，

有7种分组方法：依次为135一组和2、4单独一组，13一组、24一组和5单独一组，13一组、25一组和4单独一组，14一组、25一组和3单独一组，14一组、35一组和2单独一组，15一组、24一组和3单独一组，24一组、35一组和1单独一组；

②将分好的三组全排列，放入三个盒子，有种情况，

则有种不同的放法，

故选：．

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．

7．【分析】由二项分布的概率求得，可得，再由正态分布曲线的对称性求解，进一步得到．

【解答】解：由随机变量服从二项分布，且其期望，

得，即，则，

，

则．

故选：．

【点评】本题考查二项分布的期望，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是基础的计算题．

8．【分析】记：骰子抛出的点数为，2，，事件：取出的球全是白球，分别求出，（B），利用条件概率可解决此题．

【解答】解：记：骰子抛出的点数，2，，事件：取出的球全是白球，

则，（B），

已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：．

故选：．

【点评】本题考查条件概率及古典概型，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．

9．【分析】先求出基本事件的总数，再根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15，求出符合条件的个数，相比即可求解结论．

【解答】解：九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，

基本事件总数，

每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15；

必须满足1和9对着即占④⑧或②⑥，2和8对角对着即占①⑤或③⑦，4和6 对角对着即占①⑤或③⑦，

3和7对着即占④⑧或②⑥；

先让1去挑位置，有②④⑥⑧4种选择，9随之确定；．

然后让8去挑位置，比如1挑⑧，则8只能占①或⑦，有2种选择，其余随之确定；

故符合条件的共有：种；

故所求概率为：．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．【分析】由，可判断；由，可得，两边取对数，可求得，从而可判断；进一步可得，从而可判断，．

【解答】解：因为，，所以错误；

由，可得，

两边取以2为底的对数，可得，

所以数列为等比数列，，

则，所以，即，

当时，，，所以，即，所以错误；

所以，

所以，所以数列单调递减，所以正确，错误．

故选：．

【点评】本题考查数列的递推关系、数列的通项、单调性，考查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于中档题．

二、填空题（共8小题，每小题0分，满分0分）

11．【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．

【解答】解：展开式的通项公式为，

令，求得，可得常数项是24，

故答案为：24．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

12．【分析】求出数列的通项公式，然后化简1，，，，，为，一个等比数列，一个等差数列，分别求和即可．

【解答】解：因为，

所以

故答案为：．

【点评】本题是基础题，考查数列求和的知识，考查计算能力，注意数列求和，一般情况下是研究数列的通项公式，常考题型．

13．【分析】设表示“由第台车床生产的零件”， ，2，表示“任取一零件是合格品”，则，，，，由全概率公式能求出任取一零件，则它是合格品的概率．

【解答】解：设表示“由第台车床生产的零件”， ，2，

表示“任取一零件是合格品”，

由已知得，，

，，

由全概率公式得任取一零件，则它是合格品的概率为：

（B）．

故答案为：0.95．

【点评】本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．

【解答】解：直线，，，

，

解得．

的值为1．

故答案为：1．

【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】根据题意，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，由排列公式，分别求得其情况数目，进而由加法原理计算可得答案

【解答】解：根据题意，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，

0在末尾时，有种情况，

0不在末尾时，有种情况，

根据分类计数原理，共有种情况．

故答案为：156．

【点评】本题考查分类计数原理，考查了排列的应用，属于基础题．

16．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当带不同兴趣小组和当甲，乙带同一个兴趣小组时分别求解，最后求和即可．

【解答】解：当甲，乙带不同兴趣小组时：种，

当甲，乙带同一个兴趣小组时，种，

根据分类计数原理可得，共有种，

故答案为：54．

【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，特殊元素特殊处理，属于中档题．

17．【分析】中国女排在先胜一局的情况下获胜的情况有3种：①第2局和第3局连胜两局，概率为，②第2局和第3局一胜一负，第4局胜，概率为，③第2局，第3局，第4局一胜两负，第5局胜，概率为，由此能求出中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率．

【解答】解：在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，

中国女排在先胜一局的情况下获胜的情况有3种：

①第2局和第3局连胜两局，概率为，

②第2局和第3局一胜一负，第4局胜，概率为，

③第2局，第3局，第4局一胜两负，第5局胜，概率为，

中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．【分析】由已知数列递推式求得，对分类求解，，，可得或．然后结合求解与的值．

【解答】解：，，

．

当时，，

，，，

，

．

，

，，，故舍去．

当，时，，，

，，．

，，，．

故答案为：1；1345．

【点评】本题考查数列递推式，考查了推理运算能力，是中档题．

三、解答题（共4小题，满分0分）

19．【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由可求得，又，，构成等比数列可得，即，从而即可求得，进一步即可求得的通项公式为；所以，，进一步可得，从而可求出的通项公式；

（2）由（1）可知，从而利用错位相减求和法即可求出．

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，得，

又，，构成等比数列，得，即，

整理得，解得（舍去）或，则，

所以，

所以，，，

则，故；

（2）由（1）可知，

所以，则，

两式相减得，

即，

所以．

【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相减求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出所抽取的20人中得分落在组，的人数和得分落在组，的人数．

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望．

（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．

答案示例2：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所抽取的20人中得分落在组，的人数有（人，

得分落在组，的人数有（人．

所抽取的20人中得分落在组，的人数有2人，得分落在组，的人数有3人．

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2．

，

，

．

的分布列为：

的期望．（Ⅲ）答案不唯一．

答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是，概率非常小，

故可以认为该选手不会得到100分．

答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，

故不能认为该选手不会得到100分．

【点评】本题考查频数、概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．【分析】（Ⅰ）由离心率及题意求出短半轴长和，，之间的构成求出椭圆的方程；

（Ⅱ）由题意设直线的方程，联立椭圆的方程，求出两根之和两根之积，设直线，的方程，令求出的纵坐标，写出纵坐标之积得出为定值．

【解答】解（Ⅰ）由题意得：，，，解得：，，

所以椭圆的方程：；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，，右焦点由题意得，直线的斜率不为零，设直线为：，设，，

联立直线与椭圆的方程整理得：，，；

，设直线，与联立，得，即，

同理可得：，

，为定值，

所以，两点的纵坐标之积为定值．

【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

22．【分析】（1）当时，，推导出1，，是公比为的等比数列，，由此利用等比数列的性质能求出．

（2）当取最小值时，，，，，推导出，从而的最小值为2020；

（3）当取最大值时，，，，，推导出，，由此能求出时，的最小值为11．

【解答】解：（1）无穷递增数列中，且对任意的，，

存在，使得：．

当时，，

无穷递增数列是公比为的等比数列，

，，是公比为的等比数列，，

，，，

解得；

（2），，且对任意的，，存在，使得：，

当取最小值时，，，，，

此时，，，，，，

的最小值为2020；

（3），，且对任意的，，存在，使得：，

当取最大值时，，，，，

此时，，，，

，，，

，，，

，按最大值取，第10次取到89，第11次取到144，所以得到的最小值为11．

【点评】本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质、递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．