2022北京五十七中高一12月月考数学（教师版）

2022北京五十七中高一12月月考

数    学

第一部分（选择题共40分）

一､选择题（共10个题，每题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1. 设，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是．

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数，那么值是（    ）

A. 0 B. 1 C.  D.

4. 对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（　　）

A  B.

C.  D.

5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是

A.  B.  C.  D.

6. 已知且，则“”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知函数的最大值为，最小值为，则（    ）

A.  B.  C. 5 D. 10

8. 已知函数，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A. (，1] B. [，] C. (，+∞) D. [1，2]

9. 函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为，通过x块这样的普通玻璃后紫外线为y，则，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（    ）（参考数据：）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

第二部分（非选择题共110分）

二､填空题（共8题，每题4分，共32分）

11. 函数的零点个数是__________．

12. 函数的定义域是__________．

13. 已知，则的大小关系是___________________.(用“”连结)

14. 已知函数的图象恒过定点，则定点的坐标为______.

15. 若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.

16. 对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

17. 已知函数是定义域为奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是______________.

18. 若函数满足对于定义域内的任意一个自变量，都有，则称在上封闭．若定义域，则函数①；②；③；④，其中在D上封闭的是_______．（填序号）

三､解答题（共6个解答题，满分78分）

19. 已知函数.

（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；

（2）解不等式.

20. 已知函数为奇函数.

（1）函数的解析式；

（2）若，求x范围；

（3）求函数的值域.

21. 设计一幅宣传画，要求画面面积为，面的上下各空白，左右各留空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？

22. 己知函数．

（1）解不等式；

（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，解不等式．

23. 已知函数.

（1）设，当时，求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；

（2）是否存在实数，使函数在上单调递减，且最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

24. 若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．

(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)否是“T函数”，并说明理由；

(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；

(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）

参考答案

一､选择题（共10个题，每题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1. 【答案】C

【解析】

【分析】

求得两集合，再利用交集运算得解

【详解】

故选：C

【点睛】利用指数单调性求得集合 ,交集运算口诀“越交越少、公共部分”

2. 【答案】D

【解析】

【详解】选项中，函数是非奇非偶函数，故错误；

选项中，函数是偶函数，在上是增函数，在上是减函数，故错误；

选项中，函数是非奇非偶函数，故错误；

选项中，函数偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故正确．综上选．

3. 【答案】C

【解析】

【分析】利用解析式直接计算即可.

【详解】由题意，，∴.

故选：C.

4. 【答案】A

【解析】

【分析】①当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误.

【详解】解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，

①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，

而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴x＝，故排除C与D；

②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，

而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．

故选：A．

5. 【答案】C

【解析】

【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.

考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

6. 【答案】A

【解析】

【分析】

，或．化简即可判断出结论．

【详解】解：由

当时，得，推出，

当时，得，推出，

则是的充分条件，

但当时不一定能推出（比如：，，这时无意义）

则是的不必要条件，

故选：A.

【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7. 【答案】B

【解析】

【分析】构造新函数，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值．

【详解】设，

则

，

∴，是奇函数，

又，，

∴，．

故选：B．

8. 【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数，f(x)在R上是增函数，则每一段都为增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.

【详解】因为函数，f(x)在R上是增函数，

所以，

解得，

故选：B

9. 【答案】D

【解析】

【分析】由函数的对称性可求出函数关于轴对称，再由单调性将转化成不等式求解即可.

【详解】解：因为的图像关于直线对称，

所以图像关于轴对称，则有，

又在上单调递增，

所以由可得，

解得，

故选：D.

10. 【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，利用对数的运算性质可得选项.

【详解】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，因为，所以，则至少通过11块玻璃.

故选：C.

第二部分（非选择题共110分）

二､填空题（共8题，每题4分，共32分）

11. 【答案】2

【解析】

【分析】根据，分和时，令即可求解.

【详解】当时，由解得，

当时，由解得，

所以函数的零点个数是2个

故答案为：2.

12. 【答案】

【解析】

【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域.

【详解】因为函数,

所以解得且，即函数的定义域为.

故答案为：.

13. 【答案】

【解析】

【分析】

利用特殊值即可比较大小.

【详解】解：，

，

，

故.

故答案为：.

14. 【答案】

【解析】

【分析】

根据指数函数图象恒过，利用平移变换即可求解.

【详解】因为恒过点，将图象向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得的图象，则点平移后得到点，

所以恒过点，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记指数函数的图象恒过点，平移变换左加右减，上加下减即可求出平移后的定点.

15. 【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，有在R上恒成立，则，即可得解.

【详解】若函数f（x）=的定义域为R，

则在R上恒成立，

则，

解得：，

故答案为：.

16. 【答案】

【解析】

【分析】采用常数分离法转化为恒成立，只需求的最小值即可.

【详解】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立，

因为，当且仅当即时取“＝”.

所以

故答案为：

17. 【答案】

【解析】

【分析】

根据函数的解析式可知函数再定义域内是基函数,由图象可知若函数有六个零点，,根据二次函数可知，，，即,最后整理可得,结合即可求出取值范围.

【详解】解:因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在上的图象如图：

由图可知，，且，即，所以是，

因为，故，即，

故，

根据对勾函数在上单调减，在上单调增，

故而在上单调减，

则，

故答案为：.

【点睛】1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：

①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．

②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．

2.函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透，以开阔解题思路，提升解题效率．

18. 【答案】②③④

【解析】

【分析】

求出各函数的值域可判断，得出结论．

详解】时，

；

；

；

．

②③④满足题意．

故答案为：②③④

三､解答题（共6个解答题，满分78分）

19. 【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用函数单调性的定义证明即可；

（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.

【详解】解：（1）设任意的且，

则

，

且，

，，

即，

即，

即对任意的，当时，都有，

在区间上是增函数；

（2）由（1）知：在区间上是增函数；

又，

，

即，

即，

解得：，

即的解集为：.

【点睛】方法点睛：

定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：

1.取值：任取，，规定，

2.作差：计算，

3.定号：确定的正负，

4.得出结论：根据同增异减得出结论.

20. 【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）先利用奇函数性质知，求出参数，再验证此时确实是奇函数；

（2）直接代入函数解不等式得，再利用指数函数性质解不等式即可.

（3）对函数分离常数，再利用，逐步计算的范围，即得值域.

【详解】解：（1）易见，的定义域为R，故在原点处有定义，

又由是奇函数知，，即，故，此时，，

对，有，故是奇函数.

故函数的解析式为；

（2）由，得，解得，又，故，

x的范围为；

（3），因为，，则，即，

，故，

所以函数的值域为.

【点睛】方法点睛：

已知函数奇偶性求参数常见方法：

（1）直接利用定义使（或）恒成立，系数对应相等解得参数即可；

（2）利用特殊值代入（或）计算参数，再将参数代入验证函数是奇（或偶）函数即可.

21. 【答案】画面的高为，宽为时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是.

【解析】

【分析】设画面的高为厘米，宽为厘米，根据题干条件得到，然后列出纸张的面积的表达式，再利用换元转化成只含一个未知量的表达式，利用基本不等式即可求解.

【详解】设画面的高为厘米，宽为厘米，

因为画面面积为，所以，所以，

纸张的面积的表达式，

所以，

当且仅当，即，且时等号成立，

所以画面的高为，宽为时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是

22 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先将不等式化简为，再令，通过换元转化成一元二次不等式即可求解.

（2）先结合题干条件利用方程组法求出函数的解析式，并判断其单调性，然后将不等式利用函数的奇偶性转化为，再利用函数的单调性解不等式即可.

【小问1详解】

因为，所以，

所以可化为，即，

令，可化为，

即，解得，所以，解得，

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

因为为奇函数，所以 ，

为偶函数，所以，

又因为，所以，

即，解得，

对于，且，

有，

又因为，所以，，

所以，即，所以为增函数.

又因为不等式可化为，

且为奇函数，，所以，

因为为增函数，所以，即，解得，

所以不等式的解集为.

23. 【答案】（1）见解析（2）不存在

【解析】

【分析】（1）先求得的表达式，根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得的定义域.利用证得为奇函数.

（2）利用复合函数单调性同增异减求得的取值范围，根据在区间上的最小值列式，由此判断出不存在满足要求的实数.

【详解】（1）时，依题意，所以，解得.所以的定义域为.

定义域关于原点对称，且，所以为奇函数.

（2）不存在

假设存在实数满足条件，记，因，

则在上单调递增，使函数在上单调递减，则，

由函数在上最小值为1，则有，不等式组无解，

故不存在实数满足题意.

【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查函数单调性的证明，考查根据函数的单调性和最值求参数，属于基础题.

24. 【答案】（I）见解析;(II) 见解析;（III）（注：答案不唯一）

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）直接利用定义判断函数 与是否是“T函数” 即可；

（Ⅱ）设 所以，对于 一定有 即可证明;

（Ⅲ）根据 且使集合 中元素的个数最少，以及新定义即可确定．

试题解析：（I）对于函数，当时，都有，，

又，所以.

所以是“T函数”.

对于函数，当时，，，

因为，所以.

所以不是“T函数”.

(II)设，，.

则

所以，对于，，一定有.

因为是“T函数”，，所以.

若，则，不符合题意.

若，则，不符合题意.

所以.

（III）（注：答案不唯一）