2023北京陈经纶中学高一10月月考数学（教师版）

这是一份2023北京陈经纶中学高一10月月考数学（教师版），共7页。试卷主要包含了解答题共5小题，共70分等内容，欢迎下载使用。
2023北京陈经纶中学高一10月月考数    学本试卷共8页，150分。考试时长90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．若函数，且，则（    ）A．7 B．8 C．9 D．103．设全集，集合，，则图中阴影部分对应的集合为（    ）A．  B．C．  D．4．若，下列不等式中不一定成立的是（　　）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为，则的定义域是（　　）A． B． C． D．6．已知实数、、满足，那么“”是“”成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，如图所示，则的取值范围是（    ）A． B．C．或 D． 8．已知函数，若，则（    ）A． B．0 C．或0 D．9．若存在，有成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果．例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（    ）A． B． C． D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域为________．12．已知，，且，则的取值范围是________．13．已知不等式的解集为或，则不等式的解集是________．14．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是________．15．若，则实数的一个取值为          .16．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：①②若，则③函数的值域是④函数在上单调递增其中所有正确说法的序号是________．三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．设全集为，集合，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）当时，是否满足？说明理由；（Ⅲ）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
18．设.（Ⅰ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）已知，解关于的不等式．  19．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下：①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：）与游玩时间t（单位：小时）满足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50．（Ⅰ）当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；（Ⅱ）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围． 20．已知函数．（Ⅰ）求函数的零点；（Ⅱ）证明：函数在区间上单调递增；（Ⅲ）若时，恒成立，求正数a的取值范围． 21．设集合为非空数集，定义，，，．（Ⅰ）若集合，，直接写出集合及；（Ⅱ）若集合，，，，，且，求证；（Ⅲ）若集合，且，求中元素个数的最大值． 
参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D 8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】C【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.【详解】解：由题意得：集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类：第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集；在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为故选：B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．【答案】12．【答案】13．【答案】14．【答案】15．【答案】（答案不唯一）16．【答案】①②④，对1个给3分，对2个给4分，全对给5分，有错不得分三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．解：（Ⅰ）全集为，集合或（1分），所以（2分）；又时，集合（3分），所以；（5分，若结果开闭区间错扣1分）（Ⅱ）当时，不满足，（6分）理由如下：，，故（8分）．（Ⅲ）选择①作为已知条件．（选择②③的解法同①）因为，所以（9分），又由或得，当时，（10分），解得；（11分）当时，或，（12分）所以或，所以或．（13分）综上，可得的取值范围为，，．（14分）18．（Ⅰ）解：由对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，（1分）当时，，不满足题意；（2分）当时，则满足（4分），解得（5分），综上所述，实数的取值范围为（6分）.（2）解：由不等式，即，（8分）方程的两个根为，（9分，此步骤不写不扣分） ①当时，不等式的解集为（10分）②当时，不等式的解集为（12分）③当时，不等式的解集为.（14分）若①②合并讨论，结果正确也给分19．【详解】（1）当时，，，（1分）当时，（2分），故当时，，（3分）当时，，（5分，列式1分，化简1分）所以，（6分）当时，.（7分）（2）当时，，（9分）整理得：恒成立，（10分）令函数的对称轴是，当时，取得最小值（12分），即，.所以实数a的取值范围是.（14分）用其他方法酌情给分.20．（1）解：因为，所以，（1分，若结果正确，此步不写不扣分） 令，则有，即，解得或；（3分）（2）证明：任取，（4分）则,（6分）因为，所以，（7分）即，（8分）所以函数在区间上单调递增；（9分）（3）解：若时，恒成立，即恒成立（10分）因为，所以，又函数在区间上单调递增，所以“恒成立”等价于“恒成立”（12分）即在上恒成立， 故的取值范围为.（14分，开闭区间错扣1分）21．解：（Ⅰ），0，，，；（4分，每个2分）（Ⅱ）由于集合，，，，，且，所以中也只包含四个元素，即，，，，（6分）剩下的，所以；（8分）（Ⅲ）设，， 满足题意，其中，则，所以，，所以，因为，由容斥原理，中最小的元素为0，最大的元素为，所以，所以，所以，实际上当，676，677，，时满足题意，证明如下：设，，，，，，则，，，，，，1，2，，，依题意有，即，故的最小值为675，于是当时，中元素最多，即，676，677，，时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是1349．（14分）