2023-2024学年江西省南昌市南昌三中教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年江西省南昌市南昌三中教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江西省南昌市南昌三中教育集团九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+2y＝1 B．x3﹣2x＝3 C．x2+＝5 D．x2＝0
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
3．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D．函数的最小值为﹣9
4．某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为100m2，设水池半径为xm，可列出方程（　　）

A．（2x+3）2﹣πx2＝100 B．（x+6）2﹣πx2＝100
C．（2x+3）2﹣2x2＝100 D．（2x+6）2﹣2πx2＝100
5．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝﹣4 B．x1＝3，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝4
6．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．bc＜0
B．c＝3
C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1
D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　 　．
8．将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式是 　 　．
9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给　 　个人．
10．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是　 　米．
11．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　 　．（只填序号）

12．已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 　 　．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6.0分，共30.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）3x2﹣8x+4＝0．
14．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．

15．已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
16．在网格中仅利用没有刻度的直尺画图：
（1）画∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上找一点P，使PM+PN的值最小．

17．已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8.0分，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．
（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？
（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．
19．阅读下面例题的解答过程，体会并其方法，并借鉴例题的解法解方程．
例：解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
解：（1）当x﹣1≥0即x≥1时，|x﹣1|＝x﹣1．
原化为方程x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0
解得x1＝0．x2＝1
∵x≥1，故x＝0舍去，
∴x＝1是原方程的解．
（2）当x﹣1＜0即x＜1时，|x﹣1|＝﹣（x﹣1）．
原化为方程x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0
解得x1＝1．x2＝﹣2
∵x＜1，故x＝1舍去，
∴x＝﹣2是原方程的解．
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣2
解方程x2﹣|x﹣2|﹣4＝0．
20．（1）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大．
91×99，92×98，…，98×92，99×91．
（2）观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大．
901×999，902×998，…，998×902，999×901．
（3）对于（1），（2）你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？请选择其中一个写出推理过程．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9.0分，共18.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．问题：探究y＝x3﹣2x的图象与性质
操作：（1）请在横线上补充完整表格：
x
…
﹣4
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
4
…
y
…
﹣
﹣



0
﹣
﹣
﹣

　 　
…
（2）请在图中根据剩余的点补全此函数的图象；
发现：写出该函数图象的一条性质　 　；
应用：（1）方程实数根的个数为　 　个．
（2）x的解集为　 　．

22．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

六、综合题（本大题共1小题，每小题12.0分，共12.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．
（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．
（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．



参考答案
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+2y＝1 B．x3﹣2x＝3 C．x2+＝5 D．x2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、x2+2y＝1是二元二次方程，故A错误；
B、x3﹣2x＝3是一元三次方程，故B错误；
C、x2+＝5是分式方程，故C错误；
D、x2＝0是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
解：y＝2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D．函数的最小值为﹣9
【分析】将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答．
解：A、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴图象的对称轴x＝﹣1，故A不正确，不符合题意；
B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴B不正确，不符合题意；
C、∵y＝x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故C不正确，不符合题意；
D、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，顶点坐标为（﹣1，﹣9），a＝1＞0，∴函数值有最小值为﹣9，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法．y＝（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）；a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
4．某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为100m2，设水池半径为xm，可列出方程（　　）

A．（2x+3）2﹣πx2＝100 B．（x+6）2﹣πx2＝100
C．（2x+3）2﹣2x2＝100 D．（2x+6）2﹣2πx2＝100
【分析】设水池半径为xm，从而表示出正方形的边长，根据面积公式列出方程即可．
解：设水池半径为xm，则正方形的边长为（2x+6）m，
根据题意得：（2x+6）2﹣2πx2＝100，
故选：D．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
5．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝﹣4 B．x1＝3，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝4
【分析】将方程a（x﹣m+2）2+b＝0变形为a（﹣x﹣2+m）2+b＝0，对照已知方程及其根得出﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，解之可得答案．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，
∴关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0，即a[﹣（x﹣m+2）]2+b＝0，a（﹣x﹣2+m）2+b＝0满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，
解得x1＝﹣7，x2＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣直接开平方法，解题的关键是将待求方程变形，并比对已知方程得出﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6．
6．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．bc＜0
B．c＝3
C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1
D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4
【分析】由（﹣1，0）（3，0）是函数图象和x轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得x2﹣2x﹣3＝3或 x2﹣2x﹣3＝﹣3，利用根与系数的关系可判断D正确．
解：∵（﹣1，0）（3，0）是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴bc＝（﹣2）×（﹣3）＝6＞0，
故A、B错误；
如图，当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，

故C错误；
关于x的方程|x2+bx+c|＝3，即x2﹣2x﹣3＝3或x2﹣2x﹣3＝﹣3，
当x2﹣2x﹣3＝3时，，
当x2﹣2x﹣3＝﹣3时，，
∴关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为2+2＝4，
故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　0　．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
8．将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式是 　y＝5（x+2）2+3　．
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解：将抛物线y＝5x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：y＝5（x+2）2+3；
故答案为：y＝5（x+2）2+3．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移，正确记忆图形平移规律是解题关键．
9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给　7　个人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是　8　米．
【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
解：s＝8t﹣2t2
＝﹣2（t2﹣4t）
＝﹣2（t﹣2）2+8，
故当t＝2时，s最大为8m．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确应用配方法是解题关键．
11．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　②　．（只填序号）

【分析】仿照案例，构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，由它的面积为4×12+42，可求出x＝6，此题得解．
解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，仿照案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
12．已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 　7或6　．
【分析】讨论：当m＝n时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，则k＝7；当m＝4时，根据根与系数的关系得4+n＝6，4n＝k+2，解得n＝2，k＝6；当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6．
解：当m＝n时，Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝7，
∵m+n＝6＞4，
∴k＝7满足条件；
当m＝4时，4+n＝6，4n＝k+2，
解得n＝2，k＝6，
当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6，
综上所述，k的值为7或6．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6.0分，共30.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）3x2﹣8x+4＝0．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用因式分解法求解．
解：（1）∵x2+6x﹣7＝0，
∴x2+6x＝7，
则x2+6x+9＝7+9，即（x+3）2＝16，
∴x+3＝4或x+3＝﹣4，
解得x1＝1，x2＝﹣7；
（2）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
14．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．

【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式．
（2）求出点B坐标，由S△ABP＝AB•|yP|可得点P坐标，从而求解．
解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A坐标为（﹣3，0），
∴点B坐标为（1，0），
∴AB＝4，
∵三角形ABP的面积为6，
∴S△ABP＝AB•|yP|＝2|yP|＝6，
∴yP＝±3，
把y＝3代入y＝x2+2x﹣3得3＝x2+2x﹣3，
解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
把y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得﹣3＝x2+2x﹣3，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴点P坐标为（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
15．已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
【分析】（1）由于m≠0，则计算判别式的值得到Δ＝1，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先利用求根公式得到x1＝﹣1，x2＝﹣1，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程为一元二次方程，
∵Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣1）＝1＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，
∴m＝1或m＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．在网格中仅利用没有刻度的直尺画图：
（1）画∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上找一点P，使PM+PN的值最小．

【分析】（1）根据正方形的特点即可画出∠AOB的平分线OC；
（2）连接MM′，NM′交射线OC于点P，则点P即为所求．
解：（1）如图，OC即为所求；

（2）如图，点P即为所求．

【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，熟知正方形的性质是解答此题的关键．
17．已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当x＝3时，y最小值＝﹣4，当x＝﹣1时，y最大值＝12，从而求得结论；
（3）分四种情况讨论：
①当t+3＜3时，即t＜0，y最大值＝t2﹣6t+5，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
解得（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，y最小值＝﹣4，i）当0≤t≤时，y最大值＝t2﹣6t+5，解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，解得t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y最小值＝t2﹣6t+5，y最大值＝t2﹣4，解得（不合题意，舍去）．
解：（1）∵已知A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点
∴4+4m﹣2﹣2m＝﹣3
解得，
∴此二次函数的解析式为：y＝x2﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标为（3，﹣4）；
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
∴当x＝3时，y最小值＝﹣4，
当x＝﹣1时，y最大值＝12，
∴当﹣1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5
当x＝t+3时，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
t2﹣6t+5﹣（t2﹣4）＝4
﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9＝4，
解得（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴y最小值＝﹣4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5，
∴t2﹣6t+5﹣（﹣4）＝4，
解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（﹣4）＝4，
∴解得t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y随着x的增大而增大，
当x＝t时，y最小值＝t2﹣6t+5，
当x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（t2﹣6t+5）＝4，
解得（不合题意，舍去）；
综上所述，t＝1或2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8.0分，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．
（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？
（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据每箱饮料每降价1元，每天可多售出20箱写出答案即可；
（2）、（3）利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列方程解答即可．
解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元；
（1）依题意得：（12﹣3）（100+20×3）＝1440（元）
答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；

（2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，
（12﹣x）（100+20x）＝1400，
整理得x2﹣7x+10＝0，
解得x1＝2，x2＝5；
∵为了多销售，增加利润，
∴x＝5，
答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元．

（3）不能，理由如下：
要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得，
（12﹣x）（100+20x）＝1500，
整理得x2﹣7x+15＝0，
因为Δ＝49﹣60＝﹣11＜0，
所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本．
19．阅读下面例题的解答过程，体会并其方法，并借鉴例题的解法解方程．
例：解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
解：（1）当x﹣1≥0即x≥1时，|x﹣1|＝x﹣1．
原化为方程x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0
解得x1＝0．x2＝1
∵x≥1，故x＝0舍去，
∴x＝1是原方程的解．
（2）当x﹣1＜0即x＜1时，|x﹣1|＝﹣（x﹣1）．
原化为方程x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0
解得x1＝1．x2＝﹣2
∵x＜1，故x＝1舍去，
∴x＝﹣2是原方程的解．
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣2
解方程x2﹣|x﹣2|﹣4＝0．
【分析】先要去绝对值，把方程化为一元二次方程，则分类讨论：（1）当x﹣2≥0即x≥2时，原化为方程x2﹣（x﹣2）﹣4＝0，即x2﹣x﹣2＝0；（2）当x﹣2＜0即x＜2时，原化为方程x2+（x﹣2）﹣4＝0，即x2+x﹣6＝0，然后利用因式分解法解两个一元二次方程，再根据x的取值范围确定原方程的解．
解：（1）当x﹣2≥0即x≥2时，|x﹣2|＝x﹣2．
原化为方程x2﹣（x﹣2）﹣4＝0，即x2﹣x﹣2＝0
解得x1＝2．x2＝﹣1，
∵x≥2，故x＝﹣1舍去，
∴x＝2是原方程的解．
（2）当x﹣2＜0即x＜2时，|x﹣2|＝﹣（x﹣2）．
原化为方程x2+（x﹣2）﹣4＝0，即x2+x﹣6＝0
解得x1＝2．x2＝﹣3，
∵x＜2，故x＝2舍去，
∴x＝﹣3是原方程的解．
综上所述，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．（1）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大．
91×99，92×98，…，98×92，99×91．
（2）观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大．
901×999，902×998，…，998×902，999×901．
（3）对于（1），（2）你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？请选择其中一个写出推理过程．
【分析】（1）的结果可根据整数乘法的运算法则，计算出大小在比较；
（2）由（1）得到的规律即可求解；
（3）可将（1）中的算式设为（90+x）（100﹣x）的形式（x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9），利用二次函数的最值证得结论，（2）同理可解；．
【解答】（1）解：∵91×99＝9009，92×98＝9016，93×97＝9021，94×96＝9024，95×95＝9025，…
∴95×95的积最大；
（2）解：由（1）中规律可得950×950的积最大；
（3）证明：将（1）中的算式设为（90+x）（100﹣x）（x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9），
则（90+x）（100﹣x）
＝﹣x2+10x+9000
＝﹣（x﹣5）2+9025，
∵a＜0，
∴当x＝5时，有最大值9025，
即95×95的积最大；
同理可证：（2）950×950的积最大．
【点评】本题主要考查了根据已知归纳规律和二次函数的最值问题，发现规律，运用二次函数的最值证明是解答此题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9.0分，共18.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．问题：探究y＝x3﹣2x的图象与性质
操作：（1）请在横线上补充完整表格：
x
…
﹣4
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
4
…
y
…
﹣
﹣



0
﹣
﹣
﹣

　　
…
（2）请在图中根据剩余的点补全此函数的图象；
发现：写出该函数图象的一条性质　当x＜﹣2时，y随x的增大而增大　；
应用：（1）方程实数根的个数为　3　个．
（2）x的解集为　﹣＜x＜0或x＞　．

【分析】操作：（1）把x＝4代入函数解析式即可得到结论；
（2）由题意补全函数图象即可；
发现：根据函数图象得到函数的性质即可；
应用：（1）作出直线y＝x的图象，根据y＝x3﹣2x的图象和直线y＝x的交点个数即可得到结论；
（2）根据函数图象即可得到结论．
解：操作：（1）当x＝4时，函数y＝x3﹣2x＝×64﹣2×4＝；
故答案为：；
（2）补全函数图象如图所示，
发现：根据图象得，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；
故答案为：当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；
应用：（1）作出直线y＝x的图象，
由图象知，函数y＝x3﹣2x的图象和直线y＝x有三个交点，
∴方程实数根的个数为3，
故答案为：3；
（2）根据图象得，当﹣＜x＜0或x＞时，x，
∴x的解集为﹣＜x＜0或x＞，
故答案为：﹣＜x＜0或x＞．

【点评】本题考查了二次函数的图象，函数自变量的取值范围，二次函数的性质，正确的画出函数的图形是解题的关键．
22．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝　2tcm　，PB＝　（5﹣t）cm　（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；
（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP＝tcm，
∵AB＝5cm，
∴PB＝（5﹣t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ＝2tcm；

（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，
解得：t1＝0，t2＝2；
当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；

（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2），
（5﹣t）×2t×＝4，
解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1．
即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．
六、综合题（本大题共1小题，每小题12.0分，共12.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．
（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．
（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．

【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，即可求解；
（2）d＝PD＝PH＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；
（3）分CF为斜边、A′C为斜边两种情况，分别求解即可．
解：（1）直线y＝﹣x+3过点B和点C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4）；

（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，过点P作PD⊥BC于点D，

OC＝OB＝3，则∠DPH＝∠CBA＝45°，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
d＝PD＝PH＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵＜0，故d有最大值，此时x＝，则点P（，）；

（3）点A关于y轴的对称点A'（1，0），设点F（m，3﹣m），而点C（0，3），
A′C2＝10，A′F2＝（m﹣1）2+（3﹣m）2，FC2＝2m2，
由题目知，∠A′CF≠90°，则当△FA'C是直角三角形时，分以下两种情况：
当CF为斜边时，即10+（m﹣1）2+（3﹣m）2＝2m2，解得：m＝；
当A′C为斜边时，同理可得：m＝2，
故点F的坐标为：（，）或（2，1）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．