2022-2023学年江西省南昌三中教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省南昌三中教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    点与点关于轴对称，则，的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.    如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是(    )

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙

4.    如图，，，，，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

5.    已知非中，，高和所在的直线相交于点，求的度数为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

6.    如图，在中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，设，，，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.    一个多边形所有内角都是，则这个多边形的边数为______．
8.    如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______．

9.    用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是______ ．
    
10. 点是内一点，且点到三边的距离相等，，则______．
11. 如图，在中，，为的中点，为上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是______．

12. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动______时，．

三、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    已知：如图，点，，，在同一直线上，，且，求证：．

14. 本小题分
    如图，在中，是边上一点，且，，，求的度数．

15. 本小题分
    课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．
    
    求证：≌；
    已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小每块砖的厚度相同．
16. 本小题分
    当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．
    已知一个“特征三角形”的“特征角”为，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
    是否存在“特征角”为的三角形？若存在．请举例说明；若不存在，请说明理由．
17. 本小题分
    利用网格线作图：
    在上找一点，使点到和的距离相等；
    在射线上找一点，使．

18. 本小题分
    用一条长为细绳围成一个等腰三角形．
    如果腰长是底边的倍，那么各边的长是多少？
    能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？
    若等腰三角形的腰长为，求的取值范围？
19. 本小题分
    如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点
    求度数；
    求证：≌；
    求证：．

20. 本小题分
    如图，是的角平分线，且，为线段上任意一点．
    比较与面积的大小．
    求证：．

21. 本小题分
    如图，直线交轴于点，交轴于点，且，满足．
    如图，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标；
    如图，连接，求证：；
    如图，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念逐项判定即可．
【解答】
解：轴对称图形定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得，，
故选：．
根据关于轴对称的点的特点解答即可．
考查关于轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
 

3.【答案】 

【解析】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和不全等；
图乙符合定理，即图乙和全等；
图丙符合定理，即图丙和全等；
故选：．
全等三角形的判定定理有，，，，根据定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定及性质；解题过程中用到了三角形、四边形的内角和的知识，要根据题目的要求及已知条件的位置综合运用这些知识．
首先由已知可求得的度数，通过三角形全等及四边形的知识求出的度数，然后其邻补角就可求出了．
【解答】
解：在中，，，
，
在与中，，，，
≌，
故，
在四边形中，，
，
，
又，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：是锐角三角形，如图所示，
、是的高线，
，，
，
，
；
是钝角三角形，如图所示：
、是的高线，
，，
，
，
．
综上所述，的度数是或，
故选：．
分情况讨论：是锐角三角形，是钝角三角形，分别根据直角三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意分情况讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：在的延长线上取点，使，连接，
是的外角平分线，
，
在和中，，
≌，
，
在中，，
，，，，
．
故选：．
在的延长线上取点，使，连接，证明和全等，推出，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到．
本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以、、、的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．
 

7.【答案】 

【解析】解：所有内角都是，
每一个外角的度数是，
多边形的外角和为，
，
即这个多边形是八边形．
故答案为：．
先求出每一外角的度数是，然后用多边形的外角和为进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
 

8.【答案】稳定性 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．  

9.【答案】全等三角形的对应角相等 

【解析】解：根据作图过程可知：
，，，
≌，
全等三角形对应角相等．
故答案为：全等三角形的对应角相等．
根据作图过程可以证明≌，进而可得结论．
本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
点到三边的距离相等，
点是角平分线的交点，
，
在中，．
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点是角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，判断出点是角平分线的交点是解题的关键，要注意整体思想的利用．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形的周长，
当最小时，即时四边形的周长有最小值，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的周长最小值为，
故答案为：．
通过证明≌可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．
本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的最小值是解题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在射线上移动时，若移动，则，
．
，
在与中，
，
≌，
，
当点在射线上移动时，若移动，则，
，
，
在与中，

≌，
，
综上所述，当点在射线上移动或时，；
故答案为：或．
当点在射线上移动时，若移动，则，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
当点在射线上移动时，若移动，则，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

13.【答案】证明：，

，
，
在和中，
≌
，
． 

【解析】根据题中条件由可得≌，即，进而可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
 

14.【答案】解：设，则，
，，
，即，解得，
． 

【解析】设，则，再由三角形内角和定理求出的值，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
 

15.【答案】证明：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
≌；

解：由题意得：一块墙砖的厚度为，
，，
由得：≌，
，，
，
，
答：砌墙砖块的厚度为． 

【解析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明≌即可．
利用中全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
 

16.【答案】解：设三角形的三个内角为、、，
，且，
当时，，
则，
这个“特征三角形”的最小内角的度数；

不存在．
，且，
当时，，
则，
此时不能构成三角形，
不存在“特征角”为的三角形． 

【解析】设三角形的三个内角为、、，根据特征角的定义可得，然后利用三角形的内角和定理求出，即可得解；
根据特征角的定义和三角形的内角和定理分别求出、、，然后判断即可．
本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解特征角的定义并求出三角形的三个内角的度数是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示：即为所求；

如图所示：即为所求． 

【解析】利用角平分线的性质进而得出即可；
利用线段垂直平分线的性质进而得出答案．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及其作法和角平分线的性质和作法，正确掌握相关性质是解题关键．
 

18.【答案】解：设底边长为，
腰长是底边的倍，
腰长为，
，解得，，
，
各边长为：，，．
当为底时，腰长；
当为腰时，底边，
，
不能构成三角形，故舍去；
能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，．
由题意得：，
解得：． 

【解析】设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
根据三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
 

19.【答案】解：平分，平分，
，
；
，
，
，
，
在和中，

≌；
≌，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌和≌是解题的关键．
根据角平分线性质可得，即可解题；
易得，可得，即可证明≌；
由结论可得，，，即可求得，即可证明≌，可得，即可解题．
 

20.【答案】解：．
在上截取，连接，

为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
；
证明：如图，在上截取，使，连接，

是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即． 

【解析】由为的平分线，得到，根据外角的性质即可得到结论；
在上取，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．
本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，
．
，，
，，
则．
即，
，
．
在与中，
，
≌，
，
则；
过分别作于点，作于点，如图．

在四边形中，，
．
在与中，
，
≌，
．
，，
平分，
；
的值不发生改变，等于．
理由如下：
连接，如图．

，，为的中点，
，，，
，，
．
即，
．
在与中，
，
≌，
，






． 

【解析】要求点的坐标，只需求出的长度，如图，易证≌，即可得到；
要证，只需证明平分，过分别作于点，作于点，如图，只需证到，只需证明≌即可；
连接，如图，易证≌，从而有，由此可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．