2023-2024学年山东省聊城市十八校联考八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)

这是一份2023-2024学年山东省聊城市十八校联考八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省聊城市十八校联考八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
4．如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，所作痕迹​（　　）

A．以点B为圆心，以CD长为半径的弧
B．以点D为圆心，以DC长为半径的弧
C．以点E为圆心，以BE长为半径的弧
D．以点E为圆心，以CD长为半径的弧
5．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB
6．如图中△ABC≌△ADE，∠DAC＝100°，∠BAE＝140°，则∠CFE的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
7．如图所示，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC于E，AF⊥BF于F，则图中全等的三角形共有（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（　　）

A．12 B．6 C．7 D．8
9．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
10．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
11．如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C'，B'处．若∠DFC'＝α，则∠FEA﹣∠AEB'的度数为（　　）

A．45α B．60α C．90α D．90α
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等．则点Q的运动速度为（　　）

A．4cm/s B．3cm/s
C．4cm/s或3cm/s D．4cm/s或6cm/s
二、填空题（共5小题，共15分）
13．为了落实“扶贫安居工程”，打造特色民居，工人师傅砌门时，常用木条EF、MN固定门框ABCD（如图），使其不变形，这种做法的根据是 　 　．

14．若点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，则（m+n）2023的值是 　 　．
15．如图，∠MON内有一点P，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B．若P1P2＝10cm，则△PAB的周长为　 　cm．

16．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　 　．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为 　 　．

三、解答题（共8小题，共69分）
18．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．

19．已知：如图，点A、D、B、E在一条直线上，AC∥DF，BC∥EF，AC＝DF，求证：AD＝BE．

20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出C′的坐标；
（2）求出△A′B′C′的面积；
（3）在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）

21．将两个大小不同的含45°角的直角三角板按如图1所示放置，从中抽象出一个几何图形（如图2），B，C，E三点在同一条直线上，连接DC与AE交于点F．
求证：DC⊥BE．

22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CD于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求CD的长．

23．如图1，△ABC中，AB＝9，AC＝6，AD是中线，求AD得取值范围．（提示：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．）请回答：
（1）为什么△BED≌△CAD？写出推理过程；
（2）求出AD的取值范围；

24．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数．
（3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．

25．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．



参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
3．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，所作痕迹​（　　）

A．以点B为圆心，以CD长为半径的弧
B．以点D为圆心，以DC长为半径的弧
C．以点E为圆心，以BE长为半径的弧
D．以点E为圆心，以CD长为半径的弧
【分析】根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．
解：作∠OBF＝∠AOB的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画弧，交射线BO于点E；
③以点E为圆心，以CD为半径画弧MN，交前弧于点H，作射线BH即可得出∠OBF，则∠OBF＝∠AOB．
故选：D．

【点评】本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键．
5．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
解：A、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AB＝CD，
∴△ABC和△DCB不一定全等，
故A符合题意；
B、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AC＝BD，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故B不符合题意；
C、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
故C不符合题意；
D、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．如图中△ABC≌△ADE，∠DAC＝100°，∠BAE＝140°，则∠CFE的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和即可求出．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠DAC＝100°，∠BAE＝140°，
∴，
在△ABG和△FDG中，
∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，
∴∠DFB＝∠BAD＝20°，
∴∠CFE＝∠DFB＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质，灵活运用所学知识是关键．
7．如图所示，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC于E，AF⊥BF于F，则图中全等的三角形共有（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【分析】根据题意，结合图形有△AEC≌△AFB、△ABH≌△ACG、△GOB≌△HOC、△AEG≌△AFH共四组．
解：∵AE⊥EC于E，AF⊥BF于F
∴∠E＝∠F＝90°
∵AB＝AC，AE＝AF
∴△AEC≌△AFB（HL）；
∴∠ABH＝∠ACG，AB＝AC
∵∠A＝∠A
∴△ABH≌△ACG；
∴AG＝AH
∴BG＝CH
∵∠ABH＝∠ACG，∠GOB＝∠HOC
∴△GOB≌△HOC；
∵CE＝BF，CG＝BH
∴EG＝FH
∵∠E＝∠F＝90°，AE＝AF
∴△AEG≌△AFH．
故选：A．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（　　）

A．12 B．6 C．7 D．8
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，即可得到△ABP周长的最小值．
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．
故选：C．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．

故选：A．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
10．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
11．如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C'，B'处．若∠DFC'＝α，则∠FEA﹣∠AEB'的度数为（　　）

A．45α B．60α C．90α D．90α
【分析】根据折叠的性质得到∠CFE＝∠C′FE，∠BEF＝∠B′EF，再根据平行线的性质及角的和差求解即可．
解：根据折叠的性质得到，∠CFE＝∠C′FE，∠BEF＝∠B′EF，
∵∠DFC'＝α，∠CFE＝∠C′FE，
∴∠CFE＝∠C′FE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠BEF＝∠B′EF，CD∥AB，
∴∠BEF＝∠B′EF＝∠DFE＝180°﹣∠CFE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，∠FEA＝∠CFE＝90°﹣α，
∴∠AEB'＝∠FEB′﹣∠FEA＝90°+α﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠FEA﹣∠AEB'＝90°﹣α﹣α＝90°﹣α，
故选：D．
【点评】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等．则点Q的运动速度为（　　）

A．4cm/s B．3cm/s
C．4cm/s或3cm/s D．4cm/s或6cm/s
【分析】设点P、Q的运动时间为ts，分别表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD、CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
解：∵AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，
∴BD＝＝12，
设点P、Q的运动时间为ts，
∴BP＝4t，
∴PC＝（16﹣4t），
若△BPD与△CQP全等．则有：
①当BD＝CP时，16﹣4t＝12，
解得：t＝1，
则BP＝CQ＝4，
故点Q的运动速度为：4÷1＝4；
②当BP＝PC时，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8，
∴t＝8÷4＝2．
故点Q的运动速度为12÷2＝6．
所以，点Q的运动速度为4cm/s或6cm/s
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
二、填空题（共5小题，共15分）
13．为了落实“扶贫安居工程”，打造特色民居，工人师傅砌门时，常用木条EF、MN固定门框ABCD（如图），使其不变形，这种做法的根据是 　三角形具有稳定性　．

【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：这种做法的根据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
14．若点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，则（m+n）2023的值是 　﹣1　．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，
∴1+m＝﹣3，1﹣n＝﹣2，
解得：m＝﹣4，n＝3，
所以m+n＝﹣4+3＝﹣1，
所以（m+n）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特征，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
15．如图，∠MON内有一点P，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B．若P1P2＝10cm，则△PAB的周长为　10　cm．

【分析】根据轴对称的性质1的全等关系进行等量代换，便可知P1P2与△PAB的周长是相等的．
解：∵PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，
∴PA＝AP1，PB＝BP2；
又∵P1P2＝P1A+AB+BP2＝PA+AB+PB＝10cm
∴△PAB的周长为10cm．
故答案为10．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题．
16．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　45°　．

【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
解：如图所示：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案为：45°．

【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为 　　．

【分析】利用角平分线构造全等，将OP+PQ转化为OP+PG，则OP+PG最小值为OH的长度，利用等面积求出OH即可．
解：在AB上取一点G，使AG＝AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，
∵∠CAO＝∠BAC，AP＝AP，
∴△APQ≌△APG（SAS），
∴PQ＝PG，
∴OP+PQ＝OP+PG，
∵点O到直线AB上垂线段最短，
∴OP+PG最小值为OH的长度，
∵S△ABC＝AB•OH＝AO•BO，
∴OH＝＝＝，
∴OP+PQ的最小值为，
故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质、等面积法，解决此题的关键是构造△APQ≌△APG，将OP+PQ转化为OP+PG．
三、解答题（共8小题，共69分）
18．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．

【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．
解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．已知：如图，点A、D、B、E在一条直线上，AC∥DF，BC∥EF，AC＝DF，求证：AD＝BE．

【分析】证明△ABC≌△DEF即可解决问题．
【解答】证明：∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠A＝∠EDF，∠ABC＝∠E，
∵AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE，
∴AD＝BE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出C′的坐标；
（2）求出△A′B′C′的面积；
（3）在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A″，连接A″C交x轴于点P，连接AP，点P即为所求．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标（1，2）；
（2）S△A′B′C′＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图，点P即为所求，点P的坐标（﹣3，0）．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是周围轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
21．将两个大小不同的含45°角的直角三角板按如图1所示放置，从中抽象出一个几何图形（如图2），B，C，E三点在同一条直线上，连接DC与AE交于点F．
求证：DC⊥BE．

【分析】根据题意证明△ABE≌△ACD（SAS），可得∠B＝∠ACD＝45°，进而可以解决问题．
【解答】证明：由题意得，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+45°＝90°，
∴DC⊥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△ACD．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CD于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求CD的长．

【分析】由AD⊥CD于D，BE⊥CE于E，得∠ADC＝∠E＝90°，而∠ACB＝90°，则∠CAD＝∠BCE＝90°﹣∠ACD，而AC＝CB，即可证明△ACD≌△CBE，则AD＝CE＝6cm，所以CD＝CE﹣DE＝2cm．
解：∵AD⊥CD于D，BE⊥CE于E，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE＝90°﹣∠ACD，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE＝6cm，
∵DE＝4cm，
∴CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2（cm），
∴CD的长是2cm．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ACD≌△CBE是解题的关键．
23．如图1，△ABC中，AB＝9，AC＝6，AD是中线，求AD得取值范围．（提示：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．）请回答：
（1）为什么△BED≌△CAD？写出推理过程；
（2）求出AD的取值范围；

【分析】（1）由AD是△ABC的中线，得BD＝CD，而∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BED≌△CAD；
（2）由△BED≌△CAD，得EB＝AC＝6，由三角形的三边关系得AB﹣EB＜AE＜AB+EB，所以9﹣6＜2AD＜9+6，即可求得AD的取值范围是＜AD＜．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵△BED≌△CAD，
∴EB＝AC＝6，
∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，且AB＝9，AE＝2AD，
∴9﹣6＜2AD＜9+6，
∴＜AD＜，
∴AD的取值范围是＜AD＜．
【点评】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、不等式的解法与应用等知识，证明△BED≌△CAD是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数．
（3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DA，EA＝EC，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得△ADE的周长＝BC，即可解答；
（2）根据三角形内角和定理可得∠B+∠C＝65°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，从而可得∠DAB+∠EAC＝65°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）连接OA，OB，OC，根据线段垂直平分线的性质可得OA＝OB，OA＝OC，从而可得OB＝OC，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答．
解：（1）∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∵BC＝10，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝BD+DE+EC
＝BC
＝10，
∴△ADE的周长为10；
（2）∵∠BAC＝115°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝65°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝65°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝50°，
∴∠DAE的度数为50°；
（3）点O在BC的垂直平分线上，
理由：如图：连接OA，OB，OC，

∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．