重庆市青木关中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度重庆市青木关中学校高一上期第一次月考

数学试题

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1. 设全集，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据补集和交集的运算即可求解.

【详解】依题得，，，所以.

故选：A

2. 命题的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定即可得解.

【详解】量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，

所以命题的否定为.

故选：C.

3. 集合，若，则满足条件的集合的个数为（    ）

A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】先判断集合A的元素个数，再利用集合的子集个数公式计算即可.

【详解】，

因为，所以满足条件的集合的个数为.

故选：D.

4. 已知、是实数，则“”是“”的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若，取，，则，即“”“”，

若，则，由不等式的性质可得，即“”“”，

因此，“”是“”的必要而不充分条件.

故选：B.

5. 已知实数，，，则的最小值为（    ）

A. 3 B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式计算可得答案.

【详解】因为，且，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

故选：D.

6. 不等式的解集为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法解原不等式，可得其解集.

【详解】由可得，解得，

故不等式的解集为.

故选：D.

7. 已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．

【详解】命题为真命题等价于不等式有解．

当时，不等式变形为，则，符合题意；

当时，，解得；

当时，总存在，使得；

综上可得实数的取值范围为．

故选：B

8. 已知实数是关于的一元二次方程的两个根，满足，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由韦达定理得到，同时由得到的一个范围，再将代入题设不等式可得到关于的分式不等式，解之又得到的另一个范围，两者取交集即可.

【详解】因为实数是关于的一元二次方程的两个根，

所以，且，

即，整理得，得或，

所以，故，

即，即，

整理得：，即，故，

利用数轴穿根法，可得或，

又因为或，所以或，即，

故选：C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列叙述正确的是（    ）

A. 若，则

B.

C. ，，则

D. 有个非空子集

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项：集合与集合的关系是包含与否；B选项：直接判断即可；C选项：点集和数集之间没有关系；D选项：一个集合中有n个元素，则它的非空子集的个数为.

【详解】是个集合，所以，A错误；

是的一个子集，所以，B正确；

是点集，是数集，所以集合与集合没有关系，C错误；

非空子集有，与，共3个，D正确.

故选：BD

10. 若、、，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若且，则 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用不等式的性质可判断B选项；利用作差法可判断CD选项.

【详解】对于A选项，取，，则，但，A错；

对于B选项，若，则，所以，，B对；

对于C选项，若且，则，，

所以，，所以，，C对；

对于D选项，，

所以，，故，D对.

故选：BCD.

11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ）

A.

B.

C. 若不等式的解集为，则

D. 若不等式的解集为，且，则

【答案】CD

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.

【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则只有一个根，

所以，所以，所以A错误；

对于B：，当且仅当即时，等号成立，所以B错误；

对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知，所以C正确；

对于D：若不等式的解集为，即的解集为，

由韦达定理知：，

则，解得，所以D正确.

故选：CD.

12. 已知正实数，满足，则（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最小值为 D. 的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A，根据和的等式关系即可判断B，利用多变量变单变量法即可判断C，构造关于的二次函数关系即可判断D.

【详解】对A，因为，则，

解得，则，

当且仅当时等号成立；故A错误；

对B，因为，则，当且仅当时取得最小值，故B正确；

对C，，即，当时显然不合题意，故，

则，则或（舍去），

则，

当且仅当，即，此时时等号成立，故C错误；

对D，，

令，由A知，则，

则当，，

此时，故D正确.

故选：BD.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每道题5分，共20分）

13. 已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 _______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解.

【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，

，，

可变为，即，解得.

故答案为：.

14. 设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】首先化简命题、，分别记所对应的不等式的解集为、，依题意可得，即可得到不等式，解得即可.

【详解】由，解得，即，记；

由，解得，

即，记，

因为是的充分不必要条件，所以，即，

解得，

所以a的取值范围是.

故答案为：.

15. 已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k进行分类讨论，使不等式组的整数解的集合为，根据数轴即可得出结果.

【详解】由，解得或，

由，即，

当时，的解为，

故不等式组的解集为，

因为，不符合不等式组的解集中有整数，故舍去；

当时，不等式为

，即，

所以不等式无解，不符合题意，故舍去；

当时，的解为，

若需不等式组的整数解的集合为，

由数轴可知只需，解得，

综上，实数k的取值范围是.

故答案为：.

16. 若，，且，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】将目标式改写为，再应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立的条件.

【详解】，

当且仅当时等号成立，

∴的最小值为.

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）

17. 设为实数，集合，.

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），或   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出时集合B，再利用集合的运算即可求出与；

（2）根据得出关于的不等式，由此求出实数m的取值范围.

【小问1详解】

集合，时，，

所以，

又因为，

所以或，

【小问2详解】

由，得或，

即或，

所以实数m的取值范围是.

18. 已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若，解关于的不等式.

【答案】（1）   

（2）答案见详解

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式在上恒成立问题运算求解；

（2）分类讨论两根大小解一元二次不等式.

【小问1详解】

由，可得对恒成立，

则，解得，

故的取值范围.

【小问2详解】

由题意可得：，

令，可得或，

对于不等式，则有：

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式解集为.

19. 设集合．

（1）若，求实数a的值；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）{a|a≤-3或a＞}

【解析】

【分析】（1）由可得，可得是方程的实数根，代入求解即可；

（2）由可得，分和进行讨论即可得解.

【小问1详解】

（1）集合，

若，则是方程实数根，

可得：，解得或；经检验符合题意

【小问2详解】

（2）∵，∴，

当时，方程无实数根，

即   解得：或；

当时，方程有实数根，

若只有一个实数根，或，

解得：，

若只有两个实数根，x=1、x=2，，无解.

综上可得实数的取值范围是{a|a≤-3或a＞}.

20. （1）若，求的最大值，并求取得最大值时x的值；

（2）求，在时的最小值，并求取得最小值时x的值.

【答案】（1）时，最大值12；（2）时，最小值为.

【解析】

【分析】（1）根据，结合基本不等式即可得出答案；

（2）根据,结合基本不等式即可得出答案.

详解】解：（1）∵，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立；

所以时，函数的最大值为12；

（2），∵，∴，

∴，当且仅当，即时，等号成立，

∴函数的最小值为.

21. 若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方

（1）若命题，中均为假命题，求的取值范围？

（2）对任意的，使得不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）方便求出命题，为真命题时的取值范围，进而可求均为假命题时的取值范围；（2）把不等式看成关于的一次不等式，结合图像即可求解.

【小问1详解】

若命题为真命题，则命题可转化为，

即，令，得函数y在上单调递增，

所以，则，

若命题为假命题，则；

若命题为真命题，则命题可转化为在上恒成立，

即，则，当且仅当时，

即时等号成立，则，

若命题，则，

则命题，均为假命题，则

【小问2详解】

任意的，使得不等式成立，

即在上恒成立，

令，

当时，，不合题意；

当时，有，解得；

所以的取值范围是.

22. 某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求函数的解析式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元

【解析】

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案.

【小问1详解】

根据题意，，化简得，

；

【小问2详解】

由（1）得

，

当时，，

当时，，所以

，

当且仅当时，即时等号成立，

因为，所以当时，，