吉林省长春市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次学程考试数学试题（月考）

高二年级2023—2024学年度上学期第一次学程考试

数学科试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．，，过点且斜率为的直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

2．已知直线与直线，若，则（    ）

A．2或 B．或5 C．5 D．

3．为圆上任意一点，且点．则的最大值为（    ）

A．5 B．9 C．8 D．7

4．直线圆相交于，两点，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分又不必要条件

5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

6．如图二面角的大小为，平面上的曲线是椭圆的一部分，平面上的曲线是圆的一部分，平面上的曲线在平面上的正投影为曲线，曲线在直角坐标系下的方程，则曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知点是直线和（，，）的交点．点是圆上的动点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知圆，圆，，分别过圆心、，且与图相交于，两点，与圆相交于，两点，点是椭圆上任点，则的最小值为（    ）

A．7 B．9 C．6 D．8

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（    ）

A． B． C． D．

10．下列说法错误的是（    ）

A．直线的倾斜角是

B．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为

C．圆过定点

D．椭圆的方程为，它的焦距为6，短轴长为4

11．已知圆，圆，下列说法正确的是（    ）

A．若，两圆相交弦所在直线为

B．两圆圆心所在直线为

C．过作圆的切线，切点为，，则

D．已知两圆的位置关系是相切，则

12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（    ）

A．曲线有两条对称轴

B．曲线上的点到原点的最大距离为

C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为

D．四叶草面积小于

三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分．

13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________．

14．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭．各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图．假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离为__________．

15．已知，，为平面内的一动点，且满足，则点的轨迹方程为__________．

16．已知，为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知的三个顶点是，，．

（1）求边的垂直平分线的方程；

（2）求的面积．

18．（本小题满分12分）

在正四棱柱中，，为棱的中点，为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．

（1）求圆的标准方程；

（2）过点作圆的切线，求此切线的方程．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．

（1）求椭圆的方程；

（2）倾斜角为的直线交椭圆于，两点，已知，求直线的一般式方程．

21．（本小题满分12分）

在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．

（1）求证：平面；

（2）若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的范围．

22．（本小题满分12分）

设圆的圆心为，点与点关于原点对称，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点，记点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，曲线上是否存在点，使得在轴上能找到一点满足为等边三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

高二年级2023—2024学年度上学期第一次学程考试

数学科试卷参考答案

一、单项选择题：

1．D 2．D 3．D 4．A 5．B 6．C 7．B 8．C

6．解：设为曲线任意点，它在平面上的正射影为点，且，

又，所以，所以，，所以．．故选：C．

7．解：过定点，过定点，，

则的轨迹是以、为直径的圆．的最小值即求两圆上的点的距离的最大值．

8．解：由圆的方程可得：，，

由椭圆的方程可得：椭圆的左右焦点恰好为，，可得，，

所以，，，，

，

设，，函数先减后增，时，．

二、多项选择题：

9．BC 10．ABD 11．BC 12．BCD

12．A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故错误；

B：因为，所以，所以，所以，

取等号时，所以最大距离为，故正确；

C：设任意一点，所以围成的矩形面积为，

因为，所以，所以，

取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；

D：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，

因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 14． 15． 16．4

14．解：如图，以鼻尖所在位置为原点，中庭下边界为轴，垂直中庭下边界为轴，

建立平面直角坐标系，则，，所以，

利用点斜式方程可得到直线，整理为，

所以原点到直线距离为．

16．解：因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，

设，，则，，

所以，，即四边形面积为4．

四、解答题：

17．（1）因为，，所以、中点为，，

所以的垂直平分线的斜率为1，因此的垂直平分线的方程为：，即．

（2）由（1）可知，，所以的直线方程为：，即，

所以到直线的距离为，

又因为，

所以的面积为：．

18．（1）以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设，

则，，，，，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，所以平面的法向量为．

又因为，则所以，

又因为平面（不写扣2分），所以平面．

注：用几何法证明平行时条件没有写全扣2分．

（2）因为，，，

又平面的法向量为，．

设直线与平面所成角为，所以，

即直线与平面所成角的正弦值．

19．（1）由题意，设圆心，由于圆与轴相切，

半径，，

又圆过点，，解得，

圆方程为．

（2）当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为2，所以是圆的切线方程．

当切线斜率存在时，设切线方程为，即，

由，解得，

因此过点与圆相切的切线方程为，即，

综上所述，所求切线方程为或．

20．（1）由题意：，即，

椭圆上的点到焦点的最小距离是，则．

所以，，，所以椭圆的方程：．

（2）直线的倾斜角为，设的方程，

由方程组消去得，，

设，，，，

，

解得，满足，

直线的一般式方程为或．

21．（1）证明：在梯形中，，，，

，，，．

平面平面，平面平面，平面，

平面．

（2）四边形为矩形，，

平面，平面平面，平面平面，

平面，又，

以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

易知平面的法向量，，，

设，注：不写的范围扣1分，

，，

设平面的法向量，，，

令，，，

当时，最小为，

当时，最大为，

的范围为．

注：代端点出得数第二问给2分．

22．（1）由题意得，，圆的半径为4，

点与点关于原点对称，，

线段的垂直平分线交线段于点，，

，

又（不写扣1分），的轨迹是以、为焦点的椭圆，

其中长轴，焦距，故短半轴

曲线C的方程为．

（2）当的斜率为0时，点的坐标为，点的坐标为或，满足题意，

当的斜率不为0时，设，，线段的中点为，

， ，直线的斜率，直线的斜率，

当为等边三角形时，，，整理得，

又，，由，得，故．

又为等边三角形，有，，整理得，

，解得或（舍去），

将代入，解得或，

满足条件的点的坐标为：、、．