2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二上学期第二学程考试数学试题含答案

长春市十一高中2021-2022学年度高二上学期第二学程考试

数   学   试   题

第Ⅰ卷（共60分）

一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 直线与圆的位置关系是

A. 相切          B. 相交但直线不过圆心

C. 直线过圆心         D. 相离

2. 已知椭圆的短轴长为6，离心率为，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为

A. 9      B. 12         C. 15      D. 20

3. 已知，，若，则与的值可以是

A. ，     B. ，      C. ，   D. ，

4. 设，则“”是“直线l1：与直线l2：平行”的

A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件        D. 既不充分也不必要条件

5. 如图是抛物线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是

A.         B.

C.         D.

6. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点. 若，，，则下列向量中与相等的向量是

A.          B.

C.         D.

7. 设，是椭圆：（）的左，右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为                                                         

A.       B.       C.       D.

8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出. 如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆和双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒. 若，则与的离心率之比为

 A.     B.     C.     D.

9. 已知点、动点满足，则点的轨迹为    

A. 圆       B. 椭圆       C. 双曲线      D. 抛物线

10. 抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为

A.         B. 1             C.           D. 2

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，可以有多个选项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

11. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有

 A. 长轴长为     B. 焦距为

 C. 短轴长为    D. 离心率

12. 已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是

A. 抛物线的焦点到其准线的距离为.

B. 已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则.

C. 过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为.

D. 若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 点是圆上的动点，则的最大值是____________.

14. 如图，等腰梯形中，，. 一双曲线经过三点，且以为焦点，则该双曲线离心率是_________. 

15. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则________.

16. 过双曲线的左焦点作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为__________.

三、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）

 已知圆：. 问在圆上是否存在两点、关于直线对称，且以为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.

18. （12分）

某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米. 要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）.

（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？

（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3，，）

19. （12分）

过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为左焦点.

（1）求；

（2）求的面积.

20. （12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点.

   （1）求证：平面；

   （2）若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为.

21. （12分）

 已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.

   （1）求动点的轨迹的方程；

   （2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、

两点，设，，求的最大值.

22. （12分）

椭圆的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连结、并延长交直线分别于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.