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【期中复习提升】沪教版 2023-2024学年高一上学期 必修1 第二章 等式与不等式压轴题专练
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1. 关于x的不等式3x+122. 为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V(单位：升)的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为 ．
3. 关于x的不等式kx2-2|x-1|+3k<0的解集为空集，则k的取值范围是 ．
4. 已知a，b∈R，若a2+b2-ab=1，则ab的取值范围是 ．
5. 已知x>0,y>0，则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值是 ．
6. 已知x，y为正实数，则yx+16x2x+y的最小值为________．
7. 若a>0，b>0，c>0，a+b+c=2，则4a+b+a+bc的最小值为______．
8. 关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集为[a,b]，则b-a= ．
9. 已知正实数m，n满足m+2n+12m+1n=92,则m+2n的最小值是 ．
10．若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 .
11．若实数，满足，则的最小值为 ．
12．设，若，则的取值范围为 ．
二、单选题
13. 已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. m≤6B. -6≤m≤0C. m≥0D. 0≤m≤6
14. 已知不等式1a2+16b2≥1+x2-x2对满足4a+b1-a=0的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
15. 已知a>0，b>0，且ab=1，不等式12a+12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是．( )
A. B. C. D.
16. 不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1)，则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为( )
A. (-1,43)B. (-∞,-1)∪(43,+∞)
C. (-43,1)D. (-∞,-43)∪(1,+∞)
17．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
18．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A．B．2C．4D．
19．定义在正整数集上的函数，其最小值是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：(1)整体观察；(2)整体设元；(3)整体代入；(4)整体求和等．
例如，ab=1，求证：11+a+11+b=1．
证明：原式=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式 ab≤a+b2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
例如：在x>0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值，最小值是多少？
解：∵x>0,1x>0，∴x+1x2≥ x⋅1x，即x+1x≥2 x⋅1x，∴x+1x≥2，
当且仅当x=1x，即x=1时，x+1x 有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如ab=1，求下列各式的值：
①11+a2+11+b2=___________．
②11+an+11+bn=___________．
(2)若abc=1，解方程5axab+a+1+5bxbc+b+1+5cxca+c+1=1．
(3)若正数a､b满足ab=1，求M=11+a+11+2b的最小值．
21. (1)已知a，b，c均为正数，求证：2b+3c-aa+a+3c-2b2b+a+2b-3c3c≥3；
(2)已知正数x，y满足x+y=2，若a22.已知a，b，c是正实数．
(1)若(a+b+c)(1a+1b+1c)≥m对任意的正实数a，b，c恒成立，求实数m的取值范围；
(2)记P=a+b-m(a+2 2ab)，若P≥0对任意的正实数a，b恒成立，求实数m的取值范围．
23. 符号[x]表示不大于x的最大整数(x∈R)，例如：[1.3]=1,[2]=2,[-1.2]=-2．
(1)已知[x]=2,[x]=-2，分别求两方程的解集M、N；
(2)设方程[|x|+|x-1|]=3的解集为A，集合B=x|2x2-11kx+15k2⩾0，若A∪B=R，求k的取值范围．
(3)在(2)的条件下，集合C=x|x2-ax+1-2a⩽0,a∈R，是否存在实数a，A∩C=A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
24. 已知关于x的不等式ax2-a+1x+1<0．
(1)若不等式的解集为-∞,-12⋃1,+∞，求实数a的值；
(2)若a∈R，求不等式的解集．
25. (1)设集合A=xx2-a+1x+a=0,a∈R，B=xx2-5x+4=0，求：A∩B，A∪B；
(2)已知x、y、z都是正数，且满足x32+y32+z32=32，求证：xy+z+yz+x+zx+y≤34 xyz．
26. (1)设x，y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小．
(2)已知a，b∈R+，求证：(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
27. (1)求证：已知a，b，x，y∈0,+∞，a2x+b2y≥a+b2x+y，并指出等号成立的条件；
(2)求证：对任意的x∈R，关于x的两个方程x2-5x+m=0与2x2+x+6-m=0至少有一个方程有实数根(反证法证明)；
(3)求证：使得不等式Ax-yx-z+By-zy-x+Cz-xz-y≥0对一切实数x，y，z都成立的充要条件是A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2AB+BC+CA．
28. 已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0，求两方程的根都是整数的充要条件．
29.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置).质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处．
(1)若b=3a，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值．
(2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低⋅为什么⋅
30. 已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0，a∈R.求：
(1)方程有两个不同正根的充要条件；
(2)方程至少有一正根的充要条件．
31. 已知不等式ax2+3x-2>0的解集为x|1(Ⅰ)求a,b的值；
(Ⅱ)若c∈R,且c>0，解关于x的不等式-12abx2-(c2-ac)x+c3<0．
32. (本小题12.0分)
已知集合M=xx=a+b 2,a2-2b2=1,a,b∈Z．
(1)证明：若x∈M，则x+1x是偶数；
(2)设m∈M，且12(3)设n∈M，求证：n3+2 2∈M；并求满足不等式3(3+2 2)4≤n<2(3+2 2)的n的值．
33．（1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件；
（2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）；
（3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且.
34．定义区间，，，的长度均为，其中.
(1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
(2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和；
(3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围.
35．定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数．
(1)设，都是正实数，且，求；
(2)解不等式：；
(3)设，都是正实数，求的最小值．
36．（1）证明：对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围；
（3）设关于的不等式的解集为A，试探究是否存在，使得不等式与的解都属于A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值.
37．定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:
(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；
(2)①求有序数组、、、的波动距离；
②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.
1. 关于x的不等式3x+12
3. 关于x的不等式kx2-2|x-1|+3k<0的解集为空集，则k的取值范围是 ．
4. 已知a，b∈R，若a2+b2-ab=1，则ab的取值范围是 ．
5. 已知x>0,y>0，则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值是 ．
6. 已知x，y为正实数，则yx+16x2x+y的最小值为________．
7. 若a>0，b>0，c>0，a+b+c=2，则4a+b+a+bc的最小值为______．
8. 关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集为[a,b]，则b-a= ．
9. 已知正实数m，n满足m+2n+12m+1n=92,则m+2n的最小值是 ．
10．若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 .
11．若实数，满足，则的最小值为 ．
12．设，若，则的取值范围为 ．
二、单选题
13. 已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. m≤6B. -6≤m≤0C. m≥0D. 0≤m≤6
14. 已知不等式1a2+16b2≥1+x2-x2对满足4a+b1-a=0的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
15. 已知a>0，b>0，且ab=1，不等式12a+12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是．( )
A. B. C. D.
16. 不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1)，则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为( )
A. (-1,43)B. (-∞,-1)∪(43,+∞)
C. (-43,1)D. (-∞,-43)∪(1,+∞)
17．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
18．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A．B．2C．4D．
19．定义在正整数集上的函数，其最小值是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：(1)整体观察；(2)整体设元；(3)整体代入；(4)整体求和等．
例如，ab=1，求证：11+a+11+b=1．
证明：原式=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式 ab≤a+b2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
例如：在x>0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值，最小值是多少？
解：∵x>0,1x>0，∴x+1x2≥ x⋅1x，即x+1x≥2 x⋅1x，∴x+1x≥2，
当且仅当x=1x，即x=1时，x+1x 有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如ab=1，求下列各式的值：
①11+a2+11+b2=___________．
②11+an+11+bn=___________．
(2)若abc=1，解方程5axab+a+1+5bxbc+b+1+5cxca+c+1=1．
(3)若正数a､b满足ab=1，求M=11+a+11+2b的最小值．
21. (1)已知a，b，c均为正数，求证：2b+3c-aa+a+3c-2b2b+a+2b-3c3c≥3；
(2)已知正数x，y满足x+y=2，若a
(1)若(a+b+c)(1a+1b+1c)≥m对任意的正实数a，b，c恒成立，求实数m的取值范围；
(2)记P=a+b-m(a+2 2ab)，若P≥0对任意的正实数a，b恒成立，求实数m的取值范围．
23. 符号[x]表示不大于x的最大整数(x∈R)，例如：[1.3]=1,[2]=2,[-1.2]=-2．
(1)已知[x]=2,[x]=-2，分别求两方程的解集M、N；
(2)设方程[|x|+|x-1|]=3的解集为A，集合B=x|2x2-11kx+15k2⩾0，若A∪B=R，求k的取值范围．
(3)在(2)的条件下，集合C=x|x2-ax+1-2a⩽0,a∈R，是否存在实数a，A∩C=A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
24. 已知关于x的不等式ax2-a+1x+1<0．
(1)若不等式的解集为-∞,-12⋃1,+∞，求实数a的值；
(2)若a∈R，求不等式的解集．
25. (1)设集合A=xx2-a+1x+a=0,a∈R，B=xx2-5x+4=0，求：A∩B，A∪B；
(2)已知x、y、z都是正数，且满足x32+y32+z32=32，求证：xy+z+yz+x+zx+y≤34 xyz．
26. (1)设x，y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小．
(2)已知a，b∈R+，求证：(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
27. (1)求证：已知a，b，x，y∈0,+∞，a2x+b2y≥a+b2x+y，并指出等号成立的条件；
(2)求证：对任意的x∈R，关于x的两个方程x2-5x+m=0与2x2+x+6-m=0至少有一个方程有实数根(反证法证明)；
(3)求证：使得不等式Ax-yx-z+By-zy-x+Cz-xz-y≥0对一切实数x，y，z都成立的充要条件是A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2AB+BC+CA．
28. 已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0，求两方程的根都是整数的充要条件．
29.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置).质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处．
(1)若b=3a，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值．
(2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低⋅为什么⋅
30. 已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0，a∈R.求：
(1)方程有两个不同正根的充要条件；
(2)方程至少有一正根的充要条件．
31. 已知不等式ax2+3x-2>0的解集为x|1
(Ⅱ)若c∈R,且c>0，解关于x的不等式-12abx2-(c2-ac)x+c3<0．
32. (本小题12.0分)
已知集合M=xx=a+b 2,a2-2b2=1,a,b∈Z．
(1)证明：若x∈M，则x+1x是偶数；
(2)设m∈M，且12
33．（1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件；
（2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）；
（3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且.
34．定义区间，，，的长度均为，其中.
(1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
(2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和；
(3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围.
35．定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数．
(1)设，都是正实数，且，求；
(2)解不等式：；
(3)设，都是正实数，求的最小值．
36．（1）证明：对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围；
（3）设关于的不等式的解集为A，试探究是否存在，使得不等式与的解都属于A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值.
37．定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:
(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；
(2)①求有序数组、、、的波动距离；
②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.
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