（压轴题特训）2024年高考数学等式与不等式综合专题练习

这是一份（压轴题特训）2024年高考数学等式与不等式综合专题练习，共28页。试卷主要包含了已知，且为奇函数，，已知函数，.，已知函数且.，已知函数，，已知定义在上的函数，已知函数；，已知函数.等内容，欢迎下载使用。

(1)求a，b的值；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
2．已知函数，.
(1)解不等式；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数a的取值范围.
3．已知函数且.
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围.
4．已知函数，．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，证明：函数在上单调递减；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
5．已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，与轴交于点，为坐标原点.
(1)证明：；
(2)若，求面积取得最大值时椭圆的方程.
6．已知函数是指数函数，且其图象经过点，.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性并证明：
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
7．已知定义在上的函数．
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．
8．已知函数；．
(1)解关于的不等式；
(2)对恒成立，求实数的取值范围．
9．已知函数.
(1)若函数，且是增函数，求实数的取值范围；
(2)若对任意的正数，不等式恒成立，求的取值范围．
10．已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．
(1)求实数，的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
11．已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数.
(1)从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
12．如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
(1)记，求证：为型函数；
(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
13．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数，是否具有性质，并说明理由；
(2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质；
(3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围.
14．已知函数.
(1)解方程；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围；
(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，再利用两次换元法，结合基本不等式求得的最小值，从而得解.
【详解】（1）由题意，，即，
又为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称，
则必有，得，
故的定义域为，
因为为奇函数，所以，即，，
验证：当，时，，定义域为，
而，
所以是奇函数，
综上：，.
（2）由（1）知，，，
由有意义，得，故，
因为，所以恒成立，
设，
令，则，即，
再令，则，，
得，
因为，当且仅当时“＝”成立，
所以，
故，可得，
所以实数m的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
2．(1)；
(2).
【分析】（1）利用对数运算及换底公式变形函数，换元并结合二次不等式求解即得.
（2）求出函数在上的值域，再分类探讨函数在上的值域，借助集合的包含关系列式求解即得.
【详解】（1）函数，
由，得，令，则不等式可化为：，
整理得，解得或，
即或，解得或，
所以原不等式的解集是.
（2）当时，，，
因此函数的值域是，依题意，是函数，值域的子集，
当时，函数在上单调递增，，
有，则，解得，于是；
当时，函数在上单调递减，，
有，则，无解，不存在符合条件的实数a；
当时，（表示数中最大者），
由，得，与矛盾，由，得，与矛盾，
综上所述，实数a的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
①若，，总有成立，故；
②若，，有成立，故；
③若，，有成立，故；
④若，，有，则的值域是值域的子集 ．
3．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用基本不等式求得的最小值，得出其取值范围后可得函数值域；
（2），使得 因此，因此只要分别求得在各自范围内的最小值，然后解相应不等式可得．
【详解】（1）由题意，
，当且仅当即时等号成立，
所以，从而，
所以的值域是；
（2）若，使得 因此，
．，则，
所以时，，
由（1）知当时，时，，
，解得，
当时，,易知函数为偶函数，
结合对勾函数性质知在上递增，在递减，
，
，无解，
综上，的取值范围是．
【点睛】结论点睛：本题涉及不等式的恒成立，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
4．(1)函数为奇函数，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）先求函数的定义域，确定关于原点对称，然后利用奇函数的定义判定为奇函数.
（2）任取，将通分，提取公因式，转化为数个因式的乘积的的形式，然后得到，从而证明函数在上单调递减.
（3）化简整理，并利用换元法转化为恒成立.然后分与分别求解，综合得到的取值范围.
【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，关于原点对称.
，
所以是奇函数.
（2）任取，则
.
因为，所以，
又，所以，
所以，所以函数在上单调递减.
（3）.
令(且)，则有恒成立.
当时显然恒成立；
当时，因为对称轴为，故有，即.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判定与证明；用定义法证明函数的单调性，不等式恒成立，求参数的取值范围问题，属综合题，判定函数的奇偶性要首先关注定义域是否关于原点对称；利用定义法证明函数单调性时要注意将通分，提取公因式，转化为数个因式的乘积的的形式，不等式恒成立问题，要注意平方项的系数是否为零的讨论，并结合换元思想转化，利用二次函数的图象和性质求解.
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率得到，联立直线方程和椭圆方程，根据代入计算即可得证；
（2）由题意得到，进而得到，通过直线方程和韦达定理代入求解得到，再结合弦长公式和点到直线的距离求得三角形面积的表达式，根据基本不等式即可求解答案.
【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，
所以椭圆，
联立，得，
因为直线与交于两点，
所以，
即，则得证
（2）设，由题意知
由（1）得，，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
因为，
，
代入上式得，，
化简得，，即，
因为
，
点到直线的距离，
显然，若三点能构成三角形，则，
所以面积，
当且仅当，即时等号成立，面积取得最大值，
此时，由，得，解得 ，则，
所以面积取得最大值时椭圆的方程为
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：
（1）结合几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；
（2）将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
6．(1)
(2)为奇函数，证明见解析
(3)6
【分析】（1）设，代入点可求的解析式；
（2）利用定义法判断并证明的奇偶性；
（3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）设指数函数，且，
函数图象经过点，有，解得，
所以.
（2）为奇函数，证明如下：
，函数定义域为R，
，
所以为奇函数.
（3）不等式，
即，得，
令，
由，当且仅当，即时等号成立，得，
则有在时恒成立，得在时恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，则有，
所以实数的最大值为6.
【点睛】关键点点睛：
不等式恒成立，即不等式恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得，利用换元得在时恒成立，结合基本不等式求解即可.
7．(1)
(2)
【分析】（1）令，根据二次不等式以及指数函数单调性解不等式；
（2）根据题意可知方方程在内有2个不同的根，换元，结合函数单调性分析可知在内有2个不同的根，分类参数结合对勾函数分析求解.
【详解】（1）当时，不等式即为，
令，可得，解得或（舍去），
即，解得，
所以关于的不等式的解集为.
（2）对于函数，
令，解得，
可知函数的定义域为.
令，
可得，即，
即方程在内有2个不同的根，
令，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
可知方程有且仅有一个根1，
由题意可知：在内有2个不同的根，
即在内有两个根，
令，可知在内有两个根，
即与在内有两个不同的交点，
由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，
当时，取到最小值2，
则，可得，
所以实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：1.注意对数的真数大于0；
2.利用换元法和转化的思想，结合函数分析函数交点、零点以及方程的根.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式得出正弦型函数，再根据其图象求得解集；
（2）利用巧妙替换，将题设不等式转化成的不等式，最后运用参数分离法求得参数的取值范围.
【详解】（1），定义域为R，又，故函数是奇函数；
又函数均为增函数，则为增函数，
则不等式
，
即得：，
故，即，
故不等式的解集为.
（2）因为，
所以，
不等式，
又，当且仅当时取等号，即对恒成立，
令，易知在上单调递减，所以，即的最大值为2，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象不等式的求解和不等式恒成立问题.解决关键在于通过相关函数的奇偶性和单调性将其转化为具体不等式的求解；对于不等式恒成立问题，一般将其参变分离，转化为求对应函数的最值.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数单调性和边界值的大小关系得到不等式组，解出即可；
（2）首先分离参数求出，再次分离得到在上恒成立，利用换元法和基本不等式求出右边最大值即可得到范围.
【详解】（1）函数是上的增函数，
，.
（2）的定义域为，
，
由得在上恒成立，
，，，，.
对任意的正数,不等式恒成立，
，
在上为增函数，
在上恒成立，
在上恒成立，令,
则，在上恒成立，
，当且仅当时,等号成立，
，
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是灵活运用分离参数法得到在上恒成立和在上恒成立，然后利用换元法求出右边的范围即可.
10．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得，
（2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为.
（3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为.
【详解】（1）由可知关于对称，又，
所以函数在上单调递增，可得，即，
解得，.
（2）由（1）可知，则不等式，
可化为，所以，
即，令，又，可得，
即，显然函数，为对称轴，
所以在上单调递增，
由题意得，即可，
所以，所以的取值范围为.
（3），所以，
即为，可化为：
，令，即
，所以关于的方程
有四个不同的实数解等价于有两个不相等的
正实数根，，满足，，
解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围.
11．(1)①不满足题意，②满足题意，理由见解析
(2)
【分析】（1）首先得出，结合基本不等式，以及零点存在定理即可进一步求解.
（2）由题意首先通过换元得出恒成立，分析得知，进一步解不等式组即可得解.
【详解】（1）由题意，
解得，
①令，有，等号成立当且仅当，而此时，
所以此时恒成立，即函数与的图象在区间上没有公共点，不满足题意；
②令，则，，即，
且此时的图象连续不断，
所以由零点存在定理可知此时存在零点，即此时函数与的图象在区间上有公共点，满足题意.
（2）由题意关于的不等式恒成立，首先显然有，
其次有恒成立，
所以恒成立，
令，因为，所以，
所以恒成立，即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
因为，若，则，此时不等式变为了恒成立，这显然不可能成立，
所以，即，
所以，
所以，即，
解得，即数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是通过换元得出（一元二次）不等式恒成立，所以，当然这也要求有一定的计算能力，由此即可顺利得解.
12．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）证明函数满足型函数的定义即可；
（2）根据是型函数，则由其满足条件①推出，再结合其满足条件②得关于b的不等式，利用构造函数，结合函数最值，即可求得答案；
（3）举出具体函数，说明其满足型函数的定义，即可得结论.
【详解】（1）当时，，
当，，时，
，，
则，
，，
，为型函数.
（2）当时，由得，
当，，时，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
则对称轴，
所以在上的最小值为，只要，则，
因为，
所以．
（3）存在，举例1：．
理由如下：当时，符合；
当，，时，
，，
，，
故，
，即，
即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立；
举例2：；
理由如下：当时，，符合，
当，，时，
，，
，
，
即，即是型函数，
且对任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立.
【点睛】关键点睛：解答此类给出新的函数定义的题目，解答的关键是要理解题中所给的新的函数定义的含义，明确其满足的条件，然后按照其需满足的条件求解即可.
13．(1)具有性质，不具有性质，理由见解析
(2)，，具有性质
(3)
【分析】（1）根据“函数具有性质”的要求，计算检验函数符合，通过举反例说明不具有性质即得；
（2）利用函数与反函数的对应关系，先求出原函数的值域，再通过解析式反求，即得反函数，最后根据性质的要求检验即得；
（3）先根据函数具有性质列出等式，推理得到，从而替换函数式中的，由求解含参数的一元二次不等式即得.
【详解】（1），恒成立，
故具有性质；
又，所以不具有性质；
（2）因，由可得，解得：，故有
则有，即得：，又由可得：，
从而，可得：，故得：，.
又因为，恒有
成立，故，具有性质；
（3）由题意的恒成立，
即恒成立，所以，即，，
由，（*）
又，则，（*）因，
故不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义函数性质和反函数的求法，含参数的一元二次不等式的解法等.其中对新定义函数的性质的理解和把握是关键，需要整体换元的思想；对于反函数求法，必须先求原函数的值域作为反函数的定义域，再反求，最后才是互换位置即得；对于含参的不等式，一般需要就参数进行讨论分类求解.
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数运算求得方程的解.
（2）利用分离参数法化简，根据函数的单调性求得的取值范围.
（3）化简不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】（1）由题，
解得.
（2）依题意，存在，使成立，
即存在，使成立，
由于，所以，函数在上单调递减，最小值为，
所以，
所以.
（3）函数在上单调递增，
依题意，不等式对恒成立，
所以对恒成立，
即对恒成立，
二次函数的开口向上，
对称轴为，在对称轴两侧左减右增，所以：
①当时，函数在上单调递增，
所以，又，
所以；
②当，即时，
则，
整理得（舍去）.
③不等式组无解.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】求解含参数的一元二次不等式在区间上恒成立问题，主要的方法是对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.分类标准的制定可以根据一元二次不等式对应的函数的开口方向、对称轴、判别式等知识来进行.