【期中模拟卷】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1第三章 不等式 单元重点综合测试卷

第三章 不等式（单元重点综合测试）

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)

1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是(　　)

A．>    B．>1        

C．a2<b2    D．ab<a＋b

【答案】D

【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2．则<，A错误；<0，B错误；a2＝b2，C错误；故选D．

2．不等式<的解集是(　　)

A．{x|x<2}    B．{x|x>2}     

C．{x|0<x<2}    D．{x|x<0或x>2}

【答案】D

【解析】由<，得－＝<0，即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D．

3．如果二次函数y＝x2－(k＋1)x＋k＋4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪(5，＋∞)   B．(－∞，－5)∪(3，＋∞)

C．(－3，5)    D．(－5，3)

【答案】A

【解析】由题意，得Δ＝(k＋1)2－4(k＋4)>0，即k2－2k－15>0，∴k>5或k<－3．

4．已知a>0，b>0，且满足＋＝1，则ab的最大值是(　　)

A．2    B．3   

C．4   D．6

【答案】B

【解析】因为a>0，b>0，且满足＋＝1，所以1≥2，化为ab≤3，当且仅当a＝，b＝2时取等号，则ab的最大值是3．

5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A．a<v<    B．v＝

C．<v<    D．v＝

【答案】A

【解析】设甲、乙两地的距离为s，则v＝＝．由于a<b，∴＋<，∴v>a，

又＋>2，∴v<．故a<v<，选A．

6．已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥3m恒成立，则m的最大值为(　　)

A．1   B．2    C．3     D．7

【答案】C

【解析】∵2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当a＝b时，取等号)．∴3m≤9，即m≤3．

7．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　)

A．m>   B．m<        C．m<1    D．m>1

【答案】A

【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，

又∵m>⇒Δ＝1－4m<0，所以“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件，故选A．

8．设实数1<a<2，则关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(　　)

A．{x|3a<x<a2＋2}   B．{x|a2＋2<x<3a}

C．{x|3<x<4}  D．{x|3<x<6}

【答案】B

【解析】由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵1<a<2，∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为{x|a2＋2<x<3a}．故选B．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9．若＞＞0，则下列不等式中，正确的有(　　)

A．－a＞－b    B．|a|>|b|

C．a<b    D．＋>2

【答案】ACD

【解析】∵＞＞0，∴b＞a＞0，∴－a＞－b，故A正确，B错误，C正确；由于>0，>0，∴＋>2＝2，故D正确．故选ACD．

10．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则(　　)

A．a＝2    B．a＝1 

C．b＝5  D．b＝1

【答案】AD

【解析】y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2－5＝2×3－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，故a＝2，b＝1．故选AD．

11．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．ab≤1      B．＋≤

C．a2＋b2≥2      D．＋≥2

【答案】ACD

【解析】因为ab≤＝1，所以A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故B不正确；a2＋b2≥＝2，所以C正确；＋＝＝≥2，所以D正确．故选ACD．

12．下列命题是假命题的是(　　)

A．不等式>1的解集为{x|x<1}

B．函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)

C．若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2

D．x2－3x＋2<0是x<2成立的充分条件但不是必要条件

【答案】ABC

【解析】由>1得<0，∴解集为(0，1)，故A错误；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为－2和4，故B错误；C 中，y＝＋≥2＝2，等号成立的条件为＝，即x2＋4＝1，无解，故C错误；D中，由x2－3x＋2<0得1<x<2，能够推出x<2，但反之不成立，所以是充分条件但不是必要条件．故选ABC．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________________．

【答案】(－∞，1]∪[9，＋∞)

【解析】由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，

∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1．

14．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【解析】要满足y＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，只需

即解得－<m<0．

15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨，总运费与总存储费用之和最小值为________万元(本题第一空2分，第二空3分)．

【答案】20　160

【解析】设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20时，总费用最小，为160万元．

16．若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是________．

【答案】(4，＋∞)

【解析】依题意有解得m>4．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)当x>3时，求的最小值．

【解析】∵x>3，∴x－3>0．∴＝

＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，等号成立，∴的最小值为24．

18．(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

【解析】(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴

解得a＝3．∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即为2x2－x－3>0，

解得x<－1或x>．∴所求不等式的解集为．

(2)由(1)，知ax2＋bx＋3≥0即为3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6．

19．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0．

【解析】(1)由题意知，a＞0且1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，

则解得

(2)由(1)，知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0．

①当c>2时，原不等式的解集为{x|2<x<c}；

②当c<2时，原不等式的解集为{x|c<x<2}；

③当c＝2时，原不等式无解．

综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2<x<c}；

当c<2时，原不等式的解集为{x|c<x<2}；

当c＝2时，原不等式的解集为∅．

20．(本小题满分12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？

【解析】(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40．

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，

等价于当x>25时，a≥＋＋有解．

由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立．

所以a≥10．2．

故当该商品改革后的销售量a至少达到10．2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

21．(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

证明　因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac．

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．①

同理＋＋≥＋＋，②

又因为a，b，c均为正数，故a2＋b2＋c2＋

＝a2＋b2＋c2＋＋＋＋＋＋

≥ab＋bc＋ac＋＋＋＝＋＋≥6，③

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，

当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立．所以原不等式成立．

22．(本小题满分12分)已知不等式>0(a∈R)．

(1)解这个关于x的不等式；

(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．

【解析】(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0．

①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1．

②当a>0时，不等式可化为(x＋1)>0，解得x<－1或x>．

③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0．

若<－1，即－1<a<0，则<x<－1；

若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；

若>－1，即a<－1，则－1<x<．

综上所述，当a<－1时，不等式的解集为；

当a＝－1时，不等式的解集为∅；

当－1<a<0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；

当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪．

(2)∵当x＝－a时不等式成立，∴>0，即－a＋1<0，

∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．