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期末模拟卷05-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）
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这是一份期末模拟卷05-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册），文件包含期末模拟卷05原卷版docx、期末模拟卷05解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
1．已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算化简得到复数的基本形式，在根据复数为纯虚数，即可求解的值.
【解析】由题意
，
又由为纯虚数，所以，解得.
故选：A.
2．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A．8，8.5B．8，8C．9，8D．8，9
【答案】A
【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.
【解析】党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是
故选：A
3．在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】C
【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解.
【解析】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
4．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【解析】依题意，至少答对一个问题的概率是.
故选：A
5．已知圆台的上、下底面半径分别是2，5，且侧面积等于两底面面积之和，则圆台母线长为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用侧面积等于两底面面积之和列方程求解．
【解析】设圆台的母线长为，则圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为，所以圆台的底面面积为．又圆台的侧面积，故有 ，即．
【点睛】本题主要考查了圆台的侧面积公式（其中分别为上下底面圆半径，为圆台的母线长）
6．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的值域为
B．的单调递减区间为
C．为奇函数，
D．不等式的解集为
【答案】D
【分析】首先化简函数，再结合三角函数的性质，即可判断选项.
【解析】因为，
所以，所以，故选项A正确；
由得，
所以的单调递减区间为，故选项B正确；
所以，
所以为奇函数，故选项C正确；
由得，
即
所以，
所以不等式的解集为，故选项D错误.
故选：D.
7．在边长为3的正方形中，点在线段上，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】由题设易得，即可求、，根据向量数量积的几何意义可知、，即可求目标式的值.
【解析】∵，
∴，故，而，
∴，，
，
，
∴.
故选：C
8．如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取AF的中点G，联结AC交BD于O点，异面直线与所成角即直线与所成角.在中，分别求得，利用余弦定理即可求得，从而求得异面直线夹角的余弦值.
【解析】取AF的中点G，联结AC交BD于O点，如图所示，
则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，
由平面平面知，平面，
由题易知，，则，，
，则在中，由余弦定理知，
，
由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为
故选：C
【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得线线夹角.
二、多选题
9．下列各式中，值为的是（ ）
A．2sin15°cs15°B．
C．1﹣2sin215°D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.
【解析】解：对于选项A，2sin15°cs15°＝sin30；
对于选项B，；
对于选项C，1﹣2sin215°＝cs30；
对于选项D，.
∴值为的是BCD.
故选：BCD.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题.
10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件对立
C．事件与事件相互独立D．
【答案】AC
【分析】由互斥，对立以及独立的定义判断即可.
【解析】样本空间为，
因为，所以事件与事件互斥，故A正确；
因为，，所以事件与事件不对立，故B错误；
，，，即事件与事件相互独立，故C正确；
因为，所以事件与事件不互斥，故D错误；
故选：AC
11．已知复数，复数 ，其中，a，b为实数，i为虚数单位，定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为（ ）.
A．
B．
C．若，则，
D．若，，且，则锐角的值为
【答案】ACD
【分析】根据，利用复数的乘法以及复数相等，可求得 ，即可判断A,B;根据利用两角差的正弦公式结合复数相等，确定a,b的值，判断C;利用结合三角恒等变换，可求得锐角的值，判断D.
【解析】由题意知：
，
故，，故A正确，B错误；
若，即，
则，，故C正确；
若，，且，即，
即，因为为锐角，故，D正确，
故选：ACD
12．如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（ ）
A．直线平面B．直线不可能与平面垂直
C．直线与所成角为定值D．三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直的判定定理一一判断即可；
【解析】解：如图由正方体的性质可知，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
同理可证，，平面，所以平面，
同理可证平面，因为平面，所以，故C正确；
当点为的中点时，，所以平面，故B错误；
又，平面，平面，所以平面，
所以到平面的距离不变，设为，又的面积不变，
所以为定值，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
【答案】
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.
【解析】由题意，应抽取的女生人数是人.
故答案为：
14．如图，测量河对岸的塔高时可以测量与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高______米（精确到整数，参考数据）
【答案】
【分析】先根据三角形内角和得，再根据正弦定理求得，进而在中，根据求解．
【解析】在△BCD中,，
由正弦定理得，
所以.
在中, ，
∴米.
故答案为:.
15．如图，在四边形中，E，F分别是和的中点，若，其中，则________.
【答案】
【分析】由、分别是、的中点，根据相反向量的定义，易得，，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量分别表示为和的形式，两式相加后，易得到结论．
【解析】解：、分别是、的中点，
，，
又，
①
同理②
由①②得，
．
整理得：．
又
故答案为：.
16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为________.
【答案】
【分析】确定三棱锥体积取最大值时顶点的位置，根据体积求得其高，继而利用勾股定理求得外接球的半径，即可求得答案.
【解析】如图示：
由题意知 是等腰直角三角形，故AC为截面圆的直径，
则外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D,
当P,O,D三点共线，且P,O位于截面ABC的同一侧时，棱锥体积最大，
此时棱锥的高为PD，且高此时最大，
故 ,即得 ，
设外接球半径为R，则 ,
在中， ,故，
解得 ,所以外接球的表面积为,
故答案为：
四、解答题
17．已知，为平面向量，且.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且向量与平行，求实数k的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标；
（2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值.
【解析】（1）设，因为，所以①
又因为，所，即②
由①②联立得，解之得或，
则所求向量的坐标为或
（2）因为，，
所以，，
又因为向量与平行，所以，
解之得
18．如图，三棱柱中，E为中点，F为中点．
(1)求证：平面ABC；
(2)若平面，求证：平面ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取BC中点M，连接AM，EM，证明四边形EFAM为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）易得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证.
(1)
证明：取BC中点M，连接AM，EM，
因为中，E为中点，M为BC中点，
所以且，
三棱柱中，且，
因为F为中点，
所以且，
所以四边形EFAM为平行四边形，所以，
又因为平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC；
(2)
证明：因为，由（1）知，所以，
因为平面平面，所以，
又因为，平面ABC，
所以平面ABC．
19．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【解析】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
20．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）根据表格数据求出根据均值、方差的实际意义作出判断；
（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率
详解：（1），
，
，
，
显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好.
（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共5个.
由古典概型计算公式可知.
点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
21．如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，.
(1)求角D的大小；
(2)若，，，，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；
（2）设，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理，联立可解得的值，在中，由正弦定理可得的值.
(1)
解：因为在中，
所以，①
即在中，由余弦定理得，
，②
则由①②两式得，，
又因为在中，，所以，
(2)
解：在中，设，，则由正弦定理得，
即①
又在中，，，
则由正弦定理得，
即②
则由①②两式得，，即，
展开并整理得，也即
，
又因为在中，，所以，
把代入①式得，.
22．如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点B作一平面与垂直，分别交，于点E，F.
(1)求证：平面；
(2)求点E到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直证明，利用面面垂直的性质定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用等体积法即，即可求得答案.
【解析】（1）证明：如图②，因为平面，且平面，
所以
图②
又因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面
（2）由（1）知平面，平面，所以，
在直角三角形中， ,
由等面积代换得，，
即，
又因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面
又因为平面，所以
在直角三角形中， ,
由等面积代换得， ，
即，
又在直角三角形中，，
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，由等体积代换得，，
即，
也即，
即所求点到平面的距离为.
党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
1．已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算化简得到复数的基本形式，在根据复数为纯虚数，即可求解的值.
【解析】由题意
，
又由为纯虚数，所以，解得.
故选：A.
2．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A．8，8.5B．8，8C．9，8D．8，9
【答案】A
【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.
【解析】党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是
故选：A
3．在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】C
【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解.
【解析】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
4．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【解析】依题意，至少答对一个问题的概率是.
故选：A
5．已知圆台的上、下底面半径分别是2，5，且侧面积等于两底面面积之和，则圆台母线长为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用侧面积等于两底面面积之和列方程求解．
【解析】设圆台的母线长为，则圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为，所以圆台的底面面积为．又圆台的侧面积，故有 ，即．
【点睛】本题主要考查了圆台的侧面积公式（其中分别为上下底面圆半径，为圆台的母线长）
6．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的值域为
B．的单调递减区间为
C．为奇函数，
D．不等式的解集为
【答案】D
【分析】首先化简函数，再结合三角函数的性质，即可判断选项.
【解析】因为，
所以，所以，故选项A正确；
由得，
所以的单调递减区间为，故选项B正确；
所以，
所以为奇函数，故选项C正确；
由得，
即
所以，
所以不等式的解集为，故选项D错误.
故选：D.
7．在边长为3的正方形中，点在线段上，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】由题设易得，即可求、，根据向量数量积的几何意义可知、，即可求目标式的值.
【解析】∵，
∴，故，而，
∴，，
，
，
∴.
故选：C
8．如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取AF的中点G，联结AC交BD于O点，异面直线与所成角即直线与所成角.在中，分别求得，利用余弦定理即可求得，从而求得异面直线夹角的余弦值.
【解析】取AF的中点G，联结AC交BD于O点，如图所示，
则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，
由平面平面知，平面，
由题易知，，则，，
，则在中，由余弦定理知，
，
由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为
故选：C
【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得线线夹角.
二、多选题
9．下列各式中，值为的是（ ）
A．2sin15°cs15°B．
C．1﹣2sin215°D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.
【解析】解：对于选项A，2sin15°cs15°＝sin30；
对于选项B，；
对于选项C，1﹣2sin215°＝cs30；
对于选项D，.
∴值为的是BCD.
故选：BCD.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题.
10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件对立
C．事件与事件相互独立D．
【答案】AC
【分析】由互斥，对立以及独立的定义判断即可.
【解析】样本空间为，
因为，所以事件与事件互斥，故A正确；
因为，，所以事件与事件不对立，故B错误；
，，，即事件与事件相互独立，故C正确；
因为，所以事件与事件不互斥，故D错误；
故选：AC
11．已知复数，复数 ，其中，a，b为实数，i为虚数单位，定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为（ ）.
A．
B．
C．若，则，
D．若，，且，则锐角的值为
【答案】ACD
【分析】根据，利用复数的乘法以及复数相等，可求得 ，即可判断A,B;根据利用两角差的正弦公式结合复数相等，确定a,b的值，判断C;利用结合三角恒等变换，可求得锐角的值，判断D.
【解析】由题意知：
，
故，，故A正确，B错误；
若，即，
则，，故C正确；
若，，且，即，
即，因为为锐角，故，D正确，
故选：ACD
12．如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（ ）
A．直线平面B．直线不可能与平面垂直
C．直线与所成角为定值D．三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直的判定定理一一判断即可；
【解析】解：如图由正方体的性质可知，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
同理可证，，平面，所以平面，
同理可证平面，因为平面，所以，故C正确；
当点为的中点时，，所以平面，故B错误；
又，平面，平面，所以平面，
所以到平面的距离不变，设为，又的面积不变，
所以为定值，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
【答案】
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.
【解析】由题意，应抽取的女生人数是人.
故答案为：
14．如图，测量河对岸的塔高时可以测量与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高______米（精确到整数，参考数据）
【答案】
【分析】先根据三角形内角和得，再根据正弦定理求得，进而在中，根据求解．
【解析】在△BCD中,，
由正弦定理得，
所以.
在中, ，
∴米.
故答案为:.
15．如图，在四边形中，E，F分别是和的中点，若，其中，则________.
【答案】
【分析】由、分别是、的中点，根据相反向量的定义，易得，，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量分别表示为和的形式，两式相加后，易得到结论．
【解析】解：、分别是、的中点，
，，
又，
①
同理②
由①②得，
．
整理得：．
又
故答案为：.
16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为________.
【答案】
【分析】确定三棱锥体积取最大值时顶点的位置，根据体积求得其高，继而利用勾股定理求得外接球的半径，即可求得答案.
【解析】如图示：
由题意知 是等腰直角三角形，故AC为截面圆的直径，
则外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D,
当P,O,D三点共线，且P,O位于截面ABC的同一侧时，棱锥体积最大，
此时棱锥的高为PD，且高此时最大，
故 ,即得 ，
设外接球半径为R，则 ,
在中， ,故，
解得 ,所以外接球的表面积为,
故答案为：
四、解答题
17．已知，为平面向量，且.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且向量与平行，求实数k的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标；
（2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值.
【解析】（1）设，因为，所以①
又因为，所，即②
由①②联立得，解之得或，
则所求向量的坐标为或
（2）因为，，
所以，，
又因为向量与平行，所以，
解之得
18．如图，三棱柱中，E为中点，F为中点．
(1)求证：平面ABC；
(2)若平面，求证：平面ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取BC中点M，连接AM，EM，证明四边形EFAM为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）易得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证.
(1)
证明：取BC中点M，连接AM，EM，
因为中，E为中点，M为BC中点，
所以且，
三棱柱中，且，
因为F为中点，
所以且，
所以四边形EFAM为平行四边形，所以，
又因为平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC；
(2)
证明：因为，由（1）知，所以，
因为平面平面，所以，
又因为，平面ABC，
所以平面ABC．
19．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【解析】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
20．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）根据表格数据求出根据均值、方差的实际意义作出判断；
（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率
详解：（1），
，
，
，
显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好.
（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共5个.
由古典概型计算公式可知.
点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
21．如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，.
(1)求角D的大小；
(2)若，，，，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；
（2）设，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理，联立可解得的值，在中，由正弦定理可得的值.
(1)
解：因为在中，
所以，①
即在中，由余弦定理得，
，②
则由①②两式得，，
又因为在中，，所以，
(2)
解：在中，设，，则由正弦定理得，
即①
又在中，，，
则由正弦定理得，
即②
则由①②两式得，，即，
展开并整理得，也即
，
又因为在中，，所以，
把代入①式得，.
22．如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点B作一平面与垂直，分别交，于点E，F.
(1)求证：平面；
(2)求点E到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直证明，利用面面垂直的性质定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用等体积法即，即可求得答案.
【解析】（1）证明：如图②，因为平面，且平面，
所以
图②
又因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面
（2）由（1）知平面，平面，所以，
在直角三角形中， ,
由等面积代换得，，
即，
又因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面
又因为平面，所以
在直角三角形中， ,
由等面积代换得， ，
即，
又在直角三角形中，，
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，由等体积代换得，，
即，
也即，
即所求点到平面的距离为.
党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
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