黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：张英芝 审题人：王永立
一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（ ）
A. －9B. 0C. 9D. 无法确定
3. 已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝，a2+a4＝，则＝（ ）
A. B. C. 2D. 9
5. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（ ）
A. 12B. 22C. 37D. 55
6. 已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A B. C. D.
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9. 函数，，下列说法中，正确的是（ ）
A.
B. 在单调递增
C.
D.
10. 已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 数列为等差数列C. D.
11. 等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论，其中正确的是（ ）
A.
B
C. 的值是中最大的
D. 的值是中最大的
12. 已知数列满足，，则（ ）
A. 是递减数列B.
C. D.
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13. 若函数的导函数为，且满足，则__________．
14. 已知数列的前项和，的通项公式为______.
15. 已知数列满足，，，则__________．
16. 已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数___________.
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）
17. 已知数列满足：，数列为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：．
18. 已知数列为等差数列，为的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列前项和为，求证：.
19. 设为实数，函数，．
（1）求极值；
（2）对于，，都有，试求实数的取值范围．
20. 已知等差数列满足：，，数列满足，且，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列满足，求的前项和.
21. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.
22. 已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点，
（1）求椭圆方程；
（2）若直线的斜率记为，求的值；
（3）若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.2022级高二学年上学期期末考试数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
命题人：张英芝 审题人：王永立
一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质得到，设出公比，从而得到，得到答案.
【详解】因为，所以，
设的公比为，则，
则，负值舍去，
故.
故选：C
2. 已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（ ）
A. －9B. 0C. 9D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
由得出，代入可得答案.
【详解】设的公差为d，因为是与的等比中项，
所以，即，可得，
所以.
故选：B.
3. 已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程.
【详解】解： ，
求导得：，
，
又，
在处的切线方程为，即.
故选：D
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝，a2+a4＝，则＝（ ）
A. B. C. 2D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式求得公比，再由等比数列的前项和公式可求得结论．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，q≠1.
∴，
则＝＝1+q3＝1+8＝9.
故选：D.
5. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（ ）
A. 12B. 22C. 37D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】根据是公差为的等差数列，求出的通项公式，判断其为等差数列，确定该数列为递减数列，确定其正项，即可求得答案.
【详解】由题意，且是公差为的等差数列，
可知的首项为，
则，
故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列，
令，
即等差数列的前4项为正项，从第5项开始为负，
故的最大值为，
故选：B
6. 已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，设，则，利用导数讨论函数的性质求出即可.
【详解】设，则，
所以，令，
则，
令，函数单调递减，
令，函数单调递增，
所以，
即的最小值为.
故选：C
7. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可．
【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
，
因为等差数列前项和公式为，
所以不妨令为常数，且，
所以时，，．
，，．
,
故选：A
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斐波那契数列的性质求解即可.
【详解】由，
得
.
故选：C
二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9. 函数，，下列说法中，正确的是（ ）
A.
B. 在单调递增
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，由函数值正负判断；对B，C，求出的导数，可判断；对D，构造函数，可证明，可判断.
【详解】，，
，，
，故A正确；
又，
上单调递增，故B正确，C错误；
令，，
，
在上单调递减，
即，
，又，
，即，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 数列为等差数列C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，令计算即可判断A；根据计算可得，进而得，结合等差中项应用即可判断BC；由选项B可知数列的奇、偶数项均为等差数列，结合等差数列前n项求和公式计算即可判断D.
【详解】A：当时，，又，
所以，故A正确；
B：当时，由，得，
两式相减得，
由，得，所以，
所以，得，则，
即，所以数列不为等差数列，故B错误；
C：由选项B可知，所以，故C正确；
D：由选项B可知，所以，
即数列的奇数项为首项是1，公差是3的等差数列，
偶数项为首项是2，公差是3的等差数列，
所以
所以
故，故D正确.
故选：ACD
11. 等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论，其中正确的是（ ）
A.
B.
C. 的值是中最大的
D. 的值是中最大的
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用等比数列的定义和等比数列的性质根据题目条件逐项分析即得.
【详解】对于A，∵，，即，
，又，又，
，且，
，故A正确；
对于B，，，即，故B正确；
对于C，由于，而，故有，故C错误；
对于D，由题可知，
所以当时，，即，当时，，即，
∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知数列满足，，则（ ）
A. 是递减数列B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据数列单调性的判断方法，累加法，累乘法以及裂项求和法，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，又当时，与矛盾，故，即，
故该数列递增数列，A错误；
对B：，
根据A知：，即，，故B正确；
对C：，由可得，
故（当或时取得等号），故，C错误；
对D：由可得，即，
故，
又，故，故，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，累加法，累乘法以及裂项求和法，处理问题的关键是能够根据常见的地推关系，选择适当的方法求解，属困难题.
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13. 若函数的导函数为，且满足，则__________．
【答案】##
【解析】
分析】由求导计算公式求出，再代入求出即可.
【详解】由，得，
令，则，解得，
所以，.
故答案为：
14. 已知数列的前项和，的通项公式为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求得，再根据时，的关系求得，验证后即得答案.
【详解】当时，，
当时，，
不适合上式，
故的通项公式为，
故答案为：
15. 已知数列满足，，，则__________．
【答案】128
【解析】
【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，有等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解.
【详解】由题意知，，即，
所以数列是首项为，公比为4的等比数列，
所以，
当时，，
所以.
故答案为：128
16. 已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数___________.
【答案】2023
【解析】
【分析】将已知条件恒等变换为，则有是等比数列，从而得，，根据的单调性，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以，
所以
易知当时，单调递增，
又因为，
，
所以满足的最大整数为2023.
故答案为：2023
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）
17. 已知数列满足：，数列为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得
【小问1详解】
因为，，数列为等比数列，
所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
【小问2详解】
.
18. 已知数列为等差数列，为的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】18. ；
19. 证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求出基本量，然后可得通项；
（2）根据裂项相消法求和，然后可证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题知，即
解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以
，
因为，所以，即
19. 设为实数，函数，．
（1）求的极值；
（2）对于，，都有，试求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
解：对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
20. 已知等差数列满足：，，数列满足，且，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列满足，求的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，对原式进行化简，根据等比数列的定义证明即可；
（2）依题意，利用等差数列的通项公式，写出数列的通项，再结合（1）中的结论，得出数列的通项，从而得到数列的通项，然后利用数列的错位相减法求和，即可求出数列的前项和.
【小问1详解】
证明：因为，且，
所以，即，所以，
又因为，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列；
【小问2详解】
解：等差数列满足，，所以，
由（1）可知，，所以，
因为，
所以 ①，
② ，
①②，得：

，
所以.
21. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可知，，列出不等式组，解之可得，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）得，当为偶数时，，当为奇数时，，结合和恒成立问题依次计算即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为.
由，可知，，即
因为为整数，所以，
结合不等式组解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知.
当为偶数时，
.
又，即对任意偶数都成立，所以.
同理，当为奇数时，
，
又，即对任意奇数都成立，
易知当奇数时，函数取得最小值-15，
故.
综上，.
22. 已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率记为，求的值；
（3）若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）过定点，定点为
【解析】
【分析】（1）由函数的离心率求得，得出椭圆的方程；
（2）因为直线和直线都与圆相切,得出是方程的两根，根据根与系数关系得出结果；
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得到关于的方程，是方程的根. 方程与直线方程联立，求出，由，求出为定值，得出结果.
【小问1详解】
因为椭圆离心率所以，解得
所以椭圆方程为
【小问2详解】
因为直线和直线都与圆相切
所以，即是的两根，
将两边平方，可得
所以.
又因为点在上，
所以点，即，
所以.
【小问3详解】
设直线的方程为，联立，
整理可得，
因为点在直线上，所以且，
所以
整理得：①
联立，可得所以，
又因为所以，
因为点在上所以，代入上式继续化简得，
所以.
由①可知，，
所以解得所以（此时点在第三象限，不合题意，舍去），
所以直线过定点.
【点睛】圆锥曲线中直线斜率之积为定值方法点睛：本题中的两条直线与圆相切，根据关系得出关于的方程，根据根与系数关系得出结论.增
极大值
减
极小值
增