高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第二课时达标测试

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第三章第2课时　空间中的距离问题A级 必备知识基础练1.[2023福建厦门大学附属科技中学高二期中]已知平面α的一个法向量为n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),且A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　)A. B. C. D.12.四棱锥P-ABCD中,=(2,-1,3),=(-2,1,0),=(3,-1,4),则这个四棱锥的高为(　　)A. B. C. D.3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(　　)A. B. C. D.4.[2023江苏宿迁高二期末]已知经过点A(1,2,3)的平面α的法向量为n=(1,-1,1),则点P(-2,3,1)到平面α的距离为(　　)A. B.2 C.2 D.25.(多选题)已知直线l的方向向量n=(1,0,-1),A(2,1,-3)为直线l上一点,若点P(-1,0,-2)为直线l外一点,则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为(　　)A.2 B. C. D.16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,则点B到平面D1AC的距离等于　　　　　. 7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.           B级 关键能力提升练9.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为(　　)A. B. C. D.110.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(　　)A. B. C. D.11.如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离是(　　)A. B.C. D.12.已知直线l的一个方向向量为m=(1,,-1),若点P(-1,1,-1)为直线l外一点,A(4,1,-2)为直线l上一点,则点P到直线l的距离为　　　　　. 13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,则点B1到平面A1BC1的距离为　　　　　. 14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2,(1)求证:AC⊥平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)求直线FG与平面BCD所成角的正弦值.             C级 学科素养创新练15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.  参考答案第2课时　空间中的距离问题1.B　∵A(1,0,-1),B(0,-1,1),=(-1,-1,2).又平面α的一个法向量为n=(1,2,1),∴点A到平面α的距离为,故选B.2.A　设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,可得y=2,z=0,即n=(1,2,0),∴cos<n,>=,于是点P到平面ABCD的距离为|||cos<n,>|=,即四棱锥P-ABCD的高为故选A.3.C　以点A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,,1,所以=1,,-1,=(0,0,1),所以点C1到直线CE的距离d=故选C.4.D　依题意,=(-3,1,-2),所以点P到平面α的距离为d==2故选D.5.AB　由题设条件可知,=(-3,-1,1),∴n=1×(-3)+0×(-1)+(-1)×1=-4,∴点P到直线l的距离为d=∴点P到直线l上任意一点Q的距离要大于或等于,故选AB.6　如图,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),=(0,2,0),=(-2,2,0),=(-2,0,1),设平面D1AC的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,1,2),∴点B到平面D1AC的距离d=7　8.解 以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1),=(-1,0,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),∴点D1到平面A1BD的距离d=根据题意有B1C∥A1D,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD,同理D1B1∥平面A1BD,B1C∩P1B1=B1,∴平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为9.B10.D　以点P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由令x=1,则y=z=1,所以平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1).所以点P到平面ABC的距离d=故选D.11.B　如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接A1D,OD1,则D(0,0,0),O,1,D1(0,0,1),A1(1,0,1),=-,-,0.∵AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又AD1⊥A1D,AB∩AD1=A,∴A1D⊥平面ABC1D1,故平面ABC1D1的一个法向量为=(1,0,1),∴点O到平面ABC1D1的距离d=故选B.12　∵P(-1,1,-1),A(4,1,-2),=(5,0,-1),又m=(1,,-1),∴cos<m,>=,∴sin<m,>=,又||=,∴点P到直线l的距离为||sin<m,>=13　14.(1)证明 在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1⊥平面ABC,所以四边形AA1C1C为矩形.又因为E,F分别为AC,A1C1的中点,EF∥C1C,所以AC⊥EF.又因为AB=BC,所以AC⊥BE.由于BE∩EF=E,所以AC⊥平面BEF.(2)解 由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥C1C,又因为CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC,所以EF⊥BE.所以BE⊥平面CEF,即BE⊥平面AA1C1C.如图建立空间直角坐标系E-xyz.则为平面AA1C1C的法向量,由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),G(0,2,1),所以=(2,0,1),=(1,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0).设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),所以从而令a=2,则b=-1,c=-4,所以平面BCD的法向量n=(2,-1,-4),平面AA1C1C的法向量=(0,2,0).因为cos<,n>=,由图易知二面角B-CD-C1为钝角.所以二面角B-CD-C1的余弦值为-(3)解 取EF的中点为H,坐标为H(0,0,1),连接BH,=(0,-2,1),||=,由(1)知EF∥C1C,由三棱柱的性质知EF∥B1B,HF=EF=BB1=BG,所以四边形HFGB为平行四边形,FG∥BH且FG=BH.求直线FG与平面BCD所成角的正弦值可转化为求HB与平面BCD所成角的正弦值.由(2)知n=(2,-1,-4)是平面BCD的法向量,则点H到平面BCD的距离d=设HB与平面BCD所成角为θ,所以sinθ=,所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为15.解 存在点Q满足题意,此时取AD的中点O,在△PAD中,∵PA=PD,∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),则=(-1,0,1),=(-1,1,0).假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为,设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则=(-1,y,0).设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则即x0=y0=z0,取x0=1,则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).∴点Q到平面PCD的距离d=,∴y=-或y=(舍去).此时,则||=,||=∴存在点Q满足题意,此时