高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程巩固练习

第二章§1　椭圆

1.1　椭圆及其标准方程

A级 必备知识基础练

1.已知A(-5,0),B(5,0).动点C满足|AC|+|BC|=10,则点C的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.直线 

C.线段 D.点

2.设P是椭圆=1上一点,点P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

3.已知椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=(　　)

A. B. C.3 D.5

4.(多选题)已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点且|F1F2|=2,若2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆C的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

5.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a2-2a+7(a∈R),则动点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.线段

C.椭圆或线段 D.双曲线

6.[2023上海奉贤高二校考期末]如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=　　　　　. 

B级 关键能力提升练

7.已知F1,F2分别是椭圆=1(0<m<9)的左、右焦点,P是椭圆上异于左、右顶点的一点,若△PF1F2的周长为8,则m=(　　)

A.1 B.2 

C.8 D.4

8.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(　　)

A.圆 B.双曲线 

C.抛物线 D.椭圆

9.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1,C2:(x-5)2+y2=225,动圆C满足与C1外切且与C2内切,则动圆圆心C的轨迹方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

10.已知椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　　. 

11.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,求b的值.

C级 学科素养创新练

12.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).

(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值;

(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.

13.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.

参考答案

第二章　圆锥曲线

§1　椭圆

1.1　椭圆及其标准方程

1.C　由|AC|+|BC|=10=|AB|,知点C的轨迹是线段AB.

2.B　由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8,不妨设|PF1|>|PF2|,因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3.又因为|F1F2|=2c=4,所以由勾股定理可知△PF1F2为直角三角形.

3.D

4.AB　由已知得2c=|F1F2|=2,所以c=因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,所以a=2,所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是=1或=1.

5.C　由题得,|F1F2|=6,|PF1|+|PF2|=a2-2a+7=(a-1)2+6≥|F1F2|=6,所以动点P满足条件|PF1|+|PF2|=|F1F2|或|PF1|+|PF2|>|F1F2|,则点P的轨迹是线段或椭圆.

6.35　由已知得a=5,如图,

设E是椭圆的右焦点,

由椭圆的对称性知|FP1|+|FP7|=|EP7|+|FP7|=2a,同理,其余两对的和也是2a.

又|FP4|=a,

∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.

7.C　因为P是椭圆上一点,所以△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=8,由椭圆方程得2a=6,又a2=b2+c2,解得所以m=b2=8.

8.D

9.A　设动圆圆心C的坐标为(x,y),半径为r,则|CC1|=r+1,|CC2|=15-r,所以|CC1|+|CC2|=r+1+15-r=16>|C1C2|=10,由椭圆的定义知,点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,则2a=16,a=8,c=5,b2=82-52=39,故圆心C的轨迹方程为=1.

10.2　120°

11.解 ∵F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,∴|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1|·|PF2|=9,∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+36=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.

12.解 (1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,

所以|PF1|·|PF2|≤2=2=4,

当且仅当|PF1|=|PF2|=2时,等号成立,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.

(2)设C(x0,y0).因为B(0,-1),F1(-,0),所以=(-,1),=(--x0,-y0).

因为=,即(-,1)=λ(--x0,-y0),得x0=,y0=-又=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1.因为C异于B点,故λ=1舍去,所以λ=-7.

13.解 以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.

由重心性质可知,|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20>12.

∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不包括与x轴交点),∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为=1(x≠±10).

设G(x',y'),A(x,y),则有=1.

由重心坐标公式知故A点轨迹方程为=1,整理得=1(x≠±30).