新高考数学二轮复习百题必刷题专题08 基本不等式综合（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习百题必刷题专题08 基本不等式综合（含解析），共67页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题08 基本不等式综合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-40题
一、单选题
1．已知均为正实数，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，结合基本不等式求得，再利用对数的运算，即可求解.
【详解】
由均为正实数，且满足，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，即的最大值为.
故选：C
2．已知，，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件将多项式写成的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由题知，，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：B
3．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【分析】
根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，

当且仅当a2＝2b2时等号成立．
故选：D.
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】
，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到，进而结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是，
故选：C.
6．已知直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值.
【详解】
解：因为直线与圆相切，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：D.
7．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】A
【分析】
根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以A正确，
对于B，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以B错误，
对于C，因为，且，所以，所以，由选项B的解答可知，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以C错误，
对于D，因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以D错误，
故选：A
8．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，可得，
，
当且仅当且，即时等号成立．
故选：C．
9．已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，然后利用均值不等式即可求解.
【详解】
解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故选：C.
10．若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．
【详解】
解：，
又，
，令，
则，
，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．
故选：A．
11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（ ）
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【分析】
由x2+2xy-3=0，可得y=，则2x+y=2x+，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，
∴2x+y=2x+2=3，
当且仅当，即x=1时取等号.
故选：B.
12．已知，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求的最小值.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ (当且仅当时等号成立)，
∴ (当且仅当时等号成立)，
∴的最小值为3，
故选：C.
13．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
法一：由基本不等式即可求出结果；法二“1”的妙用结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
解析：法一：由题意，得，，且，即，亦即，由基本不等式，得，解得（当且仅当时，取等号），
所以的最小值为.
法二：由，得.
因此（当且仅当时，取等号） ，所以的最小值为.
故选：C.
14．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据题意得到，结合基本不等式，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】
在中，满足，且，
可得，当且仅当时取等号，所以，可得，
所以．
故选：A.
16．设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
【答案】A
【分析】
求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．
故选：．
17．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：D.
18．已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依题意可得，结合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范围，从而得解．
【详解】
解：，，且，
，
当且仅当且时取等号，此时，
若恒成立．
，
，
解不等式可得，，故实数的最小值为，
故选：．
19．已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】
由目标式可得，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
∵，
∴当且仅当时等号成立.
故选：C
20．已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】D
【分析】
整理得出，进而得，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故选：D．
21．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
22．若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据直线被圆截得的弦长为4，以及圆的半径为2，可知直线过圆心，即，
，根据此特点，可选择基本不等式求出最小值.
【详解】
直线被圆截得的弦长为4，
圆的半径为 ,圆心为
直线过圆心，故 ，即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，最小值为9.
故选：A
【点睛】
理解题意，直线与圆相交后弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，以及由，求的最小值联想用基本不等式求最值.
23．设为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式，结合“1”的妙用，即可得解.
【详解】
可得，

当且仅当时成立，
故选：A
24．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】
，因为，
所以，
因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
故选：A
25．在等比数列中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等比数列性质可求得及，利用基本不等式可求得的最大值，即为所求结果.
【详解】
由等比数列性质知：，
（当且仅当时取等号），
，，即的最大值为.
故选：B.
26．已知实数a，b，c成等差数列，则点到直线的最大距离是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
由等差数列性质得，求出点到直线的距离，代入消元后应用基本不等式可得最大值．
【详解】
由已知，点P到直线的距离，
由均值不等式知，当且仅当时取等，故，最大值为．
故选：C．
27．实数a，b满足，，，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】
令，，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
令，，则，，且，，，
所以，
当且仅当时取等号.
故选：D.
28．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】
，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
29．设 (其中0