新高考数学二轮复习百题必刷题专题01 集合（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习百题必刷题专题01 集合（含解析），共66页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题01 集合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-50题
一、单选题
1．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）设全集，集合，，则为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【分析】
解不等式求出集合，，再求与的并集，然后计算补集即可求解.
【详解】
因为，
，
所以，所以，
故选：D．
2．（2021·山东烟台·高三期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，求出集合，再由交集与补集的定义求解即可.
【详解】
由题意，或 ，
则，
故.
故选：A.
3．（2021·全国·高三期中）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出集合，再由集合的运算结果列不等式即可求解.
【详解】
由题意得，，
因为，所以，所以，
故选：B.
4．（2021·山东德州·高三期中）已知全集，若集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【分析】
将集合结合一元二次不等式，对数不等式化简，再由集合的交并补概念求解.
【详解】
由，由，故，，则.
故选：B
5．（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．R
【答案】A
【分析】
先解一元二次不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集定义得结果.
【详解】
，或，
所以
故选：A.
6．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知：全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
解出集合中对应的不等式，然后可得答案.
【详解】
因为，
所以图中阴影部分表示的集合是
故选：A
7．（2021·全国·高三月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求解两个集合，再求集合的交集.
【详解】
由得所以集合．
由，得，解得，所以集合，
所以.
故选：B．
8．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据韦恩图分析出表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可
【详解】
由韦恩图可得，
因为，，
所以，
所以=
故选：D
9．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】C
【分析】
根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【详解】
由 且，则，
∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，,
故．
故选：C.
10．（2021·浙江金华·高三月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合交集和补集运算直接求解即可.
【详解】
由可得或，则.
故选：C
11．（2021·河北石家庄·高三月考）已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合的元素个数求解.
【详解】
如图所示：
，
集合有3个元素，
所以集合的真子集的个数为7，
故选：C
12．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）已知集合，，且、都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B．或
C． D．
【答案】C
【分析】
解不等式求出集合，再计算即可求解.
【详解】
，
或，
由图知阴影部分所表示的集合为，
故选：C.
13．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求解集合A中函数的定义域，可得，利用交集的定义即得解
【详解】
由题意，集合，由交集的定义

故选：C
14．（2021·湖北·高三期中）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
解对数不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集的定义即可计算作答.
【详解】
由得，即，
由得，解得，即，
于是得.
故选：D
15．（2021·江苏如皋·高三月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C．M D．N
【答案】C
【分析】
先求得集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解.
【详解】
由不等式，可得，即集合，
又由，所以.
故选：C.
16．（2021·四川成都·高三月考（理））已知集合，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分别求得集合，然后根据集合之间的关系判断即可.
【详解】
由题可知：，
所以可知是的真子集，可知，A,B,C均错，D正确.
故选：D
17．（2021·河南·高三月考（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出函数在上的值域得集合A，再按交集运算求解即得.
【详解】
因函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在上的值域是，
则，而，
所以.
故选：A
18．（2021·江苏高邮·高三月考）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（ ）
A． B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据复合抽象函数定义域，值域的求法求出函数的定义域和值域，再根据交集的运算解出．
【详解】
因为，且的定义域为，，值域为，，
则的定义域为，，值域为，，由得，
所以的定义域为，，值域为，，
则，，，，
所以.
故选：C.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
解不等式求出集合，，再进行交并补运算即可求解.
【详解】
因为，
所以或，
因为，
所以或，
所以，，
所以，
故选：C.
20．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】
根据集合的定义，依次分析选项即得.
【详解】
对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
21．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））下列各式中，与表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用集合相等的定义判断.
【详解】
A. 表示点 的集合，表示点的集合，故错误；
B. 的元素是1,2，的元素是1,2，故正确；
C. 的元素是0，没有元素，故错误；
D. 因为，，故错误；
故选：B
22．（2021·江苏省阜宁中学高三月考）设全集为，非空真子集，，满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，可知和，结合Venn图一一判断即可.
【详解】
由，可知，又因，得.
对于选项AB，由题意可知，集合，都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定，因此AB都错；
对于选项C，由，可知，故C错误；
对于选项D，由和，知，又因集合是全集的非空真子集，故，所以D正确.
故选：D.
23．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）设集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据韦恩图中阴影部分，应用集合运算法则计算．
【详解】
阴影部分为．
故选：C．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【答案】B
【分析】
根据已知得，从而有，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；
【详解】
由于,故,必有,所以即得.
故选：B
25．（2021·河南·高三月考（文））已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用一元二次不等式和求解集合，然后利用函数定义域求解集合，然后通过集合间的并运算即可求解.
【详解】
由，得，又因为，故，
由的定义域知，，即，故，
所以.
故选:A.
26．（2021·全国·高三月考（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据集合交集运算，即可求解.
【详解】
解:，.
故选：B
27．（2021·全国·模拟预测（理））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
解不等式得集合M，求函数定义域得集合N，然后求M与N的交集即可.
【详解】
依题意，解不等式得：，则，
由知：，解得，则，
于是得，
所以.
故选：C
28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））设是非空集合，定义：且且.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别求出集合A，B，C，再根据集合的新定义运算即可得出答案.
【详解】
解：或，，，
所以.
故选：A.
29．（2021·全国·高三月考）已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求出函数定义域得集合A，求出函数在上的值域得集合B，再按给定运算计算即得.
【详解】
依题意，集合，
又函数在上单调递减，当时，，当时，，
于是得集合，则，
所以.
故选：A
30．（2021·陕西·西安中学高三期中）设集合，，且，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由和题干信息可判断，分和求解.
【详解】
因为，，且，所以，
当时，；当时，，
综上所述，.
故选：D

二、多选题
31．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知集合，集合，集合，则（ ）
A． B．
C．Ü D．Ü
【答案】BCD
【分析】
先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可
【详解】
由，得，所以，
由，得且，得或，所以或，
由，得，所以，
对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，因为或，所以，所以Ü，所以C正确，
对于D，因为，所以，因为或，所以Ü，所以D正确，
故选：BCD
32．（2020·全国·高三专题练习）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
【答案】ABD
【分析】
根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】
选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当时，设，
则，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
33．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】CD
【分析】
根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果.
【详解】
集合，，，，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合.
故选：CD.
34．（2021·河北·藁城新冀明中学高三期末）已知集合，，若，则可以等于（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】AB
【分析】
先化简集合Q，再根据求解.
【详解】
因为，且，
所以m=1或2，
故选：AB
35．（2021·山东潍坊·高三期末）设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域

对于A选项，显然表示区域3，故不正确；
对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；
对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；
对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；
故选：BC
36．（2022·全国·高三专题练习）设不大于的最大整数为，如．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
利用的性质化简集合，再利用集合交集与并集的定义求解即可.
【详解】
，
因为，
所以，，，
∵，∴，
故选：AD.
【点睛】
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
37．（2021·山东·高三专题练习）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.
【详解】
由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数， 所以，即．
故选：BD．
【点睛】
本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.
38．（2021·湖南·长沙一中高三月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
先化简集合，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.
【详解】
因为，解不等式得，又因为.
对于A，由题意得，故A错误；
对于B，由上已证可知B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误；
故选:BC

39．（2020·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0 E.-2
【答案】ABD
【分析】
由，得，按，分类讨论，求得m的值即可.
【详解】
因为，所以，.
当时，，符合题意；
当时，，所以或，解得或．
所以m的值为1或-1或0．
故选ABD．
【点睛】
本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题，集合元素的特性、分类讨论以及问题转化的思想，属于基础题.
40．（2020·江苏·东海县石榴高级中学高三月考）设集合，，若实数，则的值可以是
A．1 B． C．0.5 D．1.5
【答案】AC
【分析】
首先求出集合、，再根据交集的定义求出，从而判断可得；
【详解】
解：因为，
所以，
所以
所以，
故选：AC
【点睛】
本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.


第II卷（非选择题）

三、填空题
41．（2022·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】
把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.

42．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）若集合，则________.
【答案】
【分析】
分别求出集合再求交集即可.
【详解】
∵，
，
∴,
故答案为：.
43．（2021·上海市敬业中学高三月考）已知全集，集合，则_________.
【答案】
【分析】
先求得集合，再根据集合补集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
根据集合的补集的概念及运算，可得.
故答案为：.
44．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，若，则的取值范围是________.
【答案】．
【分析】
先化简确定集合A，再根据分和两种情况进行讨论，最后解不等式确定m的取值范围．
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以是的子集，
当时，则，解得，符合题意；
当时，则，解得，符合题意；
综上所述，m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题．
45．（2022·全国·高三专题练习）集合满足Ü，则集合的个数有________个.
【答案】3
【分析】
根据题意先求出所有的集合，再确定个数即可.
【详解】
解：因为Ü，
所以Ü，
所以，，，
所以集合的个数有3个.
故答案为：3
【点睛】
本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.
46．（2020·上海崇明·高三月考）对于集合、，定义运算且，若，，则__________.
【答案】
【分析】
利用新定义和交集的定义可求出集合.
【详解】
，，则，
根据题中定义可得.
故答案为.
【点睛】
本题考查集合运算，同时也考查了集合中的新定义，考查计算能力，属于基础题.
47．（2020·上海市行知中学高三开学考试）若，，且，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
先求出集合中不等式的解集，再由列不等式组求解即可.
【详解】
解：由已知，
，
当时，，解得
当时，，解得，
综合得.
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的思想，是基础题.
48．（2020·上海·模拟预测）已知集合，，则______．
【答案】
【分析】
先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.
【详解】
因为，，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.

49．（2021·江苏·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先求出集合A，在根据包含关系列出不等式即可求出.
【详解】
可得，
，
，解得.
故答案为：.

50．（2021·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则_________（用区间表达）．
【答案】
【分析】
利用对数函数的性质和指数函数的性质解出集合和，然后根据集合性质求解即可求解
【详解】
，故符合，
得，得到；
；

故答案为：



































任务二:中立模式(中档)1-30题
一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练习（理））设集合A＝，集合B＝.则AB＝（ ）
A． B．
C． D．R
【答案】D
【分析】
求定义域确定集合，根据函数的单调性得集合，再由集合的运算计算．
【详解】
由得，所以，
，时，，
，，由勾形函数知在上递减，在上递增，
时，，时，，时，，所以，
所以，即，，
所以．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元的属性进行求解．集合是求函数的定义域，集合求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（ ）．
A．1 B．3 C．6 D．10
【答案】B
【分析】
将方程平方整理得，再根据判别式得，故，再依次检验得，最后根据集合关系即可得答案.
【详解】
解:根据题意将两边平方得，
继续平方整理得：，故该方程有解.
所以，即，解得，
因为，故，
当时，易得方程无解，当时，，有解，满足条件；
当时，，方程有解，满足条件；
当时，，方程有解，满足条件；
故，因为且集合中恰有2个元素，
所以集合可以是，，.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为，再结合判别式得，进而求出集合.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.
3．（2022·全国·高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是U的一个环
B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且
D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且
【答案】D
【分析】
对A，根据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在满足；对D，根据环的定义可得出中至少8个元素.
【详解】
对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；
对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；
对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意.
对D，，，，，
，，
再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是正确理解环的定义.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【分析】
由题得直线与直线平行，解方程即得解.
【详解】
因为，
所以直线与直线平行，
所以
所以. 经检验，当时，两直线平行.
故选：B.
5．（2021·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.
【详解】
，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.
故选：D.
【点睛】
易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（ ）
A．3 B． C．3或 D．或1
【答案】A
【分析】
将问题转化为“直线与直线互相平行”，由此求解出的取值.
【详解】
因为，所以直线与直线没有交点，
所以直线与直线互相平行，
所以，解得或，
当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足，
当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，
所以的值为，
故选：A.
7．（2020·天津·南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ）
A．没有最大元素，有一个最小元素
B．没有最大元素，也没有最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．有一个最大元素，没有最小元素
【答案】C
【分析】
本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误
【详解】
若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；
若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；
若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；
有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.
故选：C
8．（2021·全国·高三专题练习）已知，，若，则a的取值范围是（ ）.
A． B．或
C．或 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】
法1.可以代特殊值，对答案进行排除；
法2.画出图形，进而使得双曲线与圆没有公共点即可，然后根据图形的位置关系解得答案.
【详解】
法1.当时，总可找到一个适当的a值，使；又当时，也有.于是a的取值范围有三个不同的区间，对照选择，排除A、B、C.
故选：D.
法2.由已知，集合P表示双曲线上的点构成的集合；集合Q表示圆上的点构成的集合，则问题双曲线C1与圆C2没有公共点.
如图1所示：圆C2位于双曲线C1外，

此时，.
如图2所示：圆C2位于双曲线C1内（仅画了圆在右侧），

先考虑两者相切时，联立，
，
由图形可知，若圆C2位于双曲线C1内，则或.
综上：或或.
故选：D.
9．（2021·山西长治·高三月考（理））集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据函数定义域的求法求出函数的定义域，进而求出集合M，然后再根据指数不等式的解法求出的解，进而求出集合N，最后根据交集的求法确定的结果即可.
【详解】
要使函数有意义，须满足，即，
所以集合，
不等式的解为，所以集合，
所以.
故选：C.
10．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三月考（理））设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.
【详解】
如图，，此时
∅，A错，
B，B错，
，D错，


故选：C
11．（2021·全国·高三专题练习）已知集合若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用集合的包含关系即求.
【详解】
由题意， ，
∵集合，
①；
②m 时，成立；
③
综上所述，
故选：B.
12．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对于集合，令和，即得解.
【详解】
，，，，
对于集合，当时，，；
当时，，．
，
故选：B．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知， ，若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由集合分别求出的范围，由得范围相同，可知交是否是空集取决于的范围，然后分情况讨论即可求解
【详解】
因为，
所以得到；得到；
因为
所以，，
所以交是否是空集取决于的范围，
因为，
所以，
当时，；当时，
所以当集合时，实数的取值范围是：
故选：A．
14．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】
由绝对值的几何意义化简集合，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：，，
，故A不正确；
，故B不正确；
或，
或或，故C不正确；
或，故D正确．
正确的是D．
故选：D．
15．（2020·上海市松江二中高三月考）函数，则集合元素的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
根据分段函数解析式，结合集合元素要满足的性质，通过分类讨论求所有满足条件的的值，进而确定集合中元素的个数．
【详解】
当时，，解得，
当时，若，解得，
当时，若，解得，
当时，若，则，解得或.
又∵
∴或
∴或或或或.
∴集合元素的个数有5个.
故选：D．
16．（2021·全国·模拟预测）已知集合}，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
先由N中的不等式求得x,y的取值范围，再列举出其中的整点，然后检验是否满足M中的不等式，即得到交集中的元素个数.
【详解】
由可得, ，即,
N中的满足的整点有：
，共9个点，
其中只有(1,1)这一个点不满足，
故中的元素个数为8个，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交集，关键是寻找M中同时符合N中的条件的元素.
17．（2021·江苏·模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
化简集合A，B，根据交集运算求解即可.
【详解】
由可得，
解得，
所以，
当时，
又，
所以，
故选：D
18．（2021·全国·高三专题练习），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
集合表示圆心为原点，半径为1的圆，集合表示四条直线围成的正方形，根据圆在正方形内求出的范围即可．
【详解】
集合为圆内部或圆周 上的点集，
为直线，，，围成的正方形，
画出图象，如图所示，
当直线与圆相切时，设切点为，连接，
为等腰直角三角形，，，，
为斜边上的中线，
，即，
，
此时，
因为圆在正方形内，所以，
故答案为：

【点睛】
转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题子集问题转化为圆在正方形内问题是解题的关键.

二、多选题
19．（2021·广东·普宁市普师高级中学高三月考）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】
根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】
因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
【点睛】
本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一般.集合中元素个数与集合的子集个数的关系：集合中有个元素，则集合有个子集.
20．（2021·全国·高三专题练习）定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.
【详解】
∵，，故A正确；
∵定义且，
∴，，故B正确；
，故C错误；
，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案．
21．（2021·全国·高三专题练习）设全集为，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】
根据集合的交并补运算法则可得ACD正确，举出反例可得B错误.
【详解】
对于A选项，，，即，所以该选项正确；
对于B选项，考虑，则该选项不正确；
对于C选项，，，即，所以该选项正确；
对于D选项，根据集合关系，则显然正确.
故选：ACD
【点睛】
此题考查集合运算相关概念的辨析，关键在于熟练掌握集合的运算规则.
22．（2020·全国·高三专题练习）若集合，，则正确的结论有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
根据正弦函数可得集合，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.
【详解】
由，
又，
显然集合
所以，
则成立，所以选项A正确.
成立，所以选项B正确，选项D不正确.
，所以选项C不正确.
故选：AB
【点睛】
本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
23．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
求出集合和，即可
【详解】
，
所以，，或，所以，
，
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了集合的交并补运算，涉及求函数值域和对数复合型函数的定义域，属于中档题.
24．（2020·上海市大同中学高三月考）（多选）集合，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集 B．对任意，不是的子集
C．存在，使得不是的子集 D．存在，使得是的子集
【答案】AD
【分析】
讨论、均为非空或空集，研究集合、之间的包含关系.
【详解】
当、均不为空集时，，，此时，是的子集；
当、均为空集时，，与互为子集，
故选：AD.

第II卷（非选择题）
三、填空题
25．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知关于的不等式的解集为，则当，且时，实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据题意，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，不等式的解集为，若，且，
则有，解可得或，
即的取值范围为；
故答案为：．
26．（2021·福建省厦门第二中学高三月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.
【答案】
【分析】
首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.
【详解】
因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为，
故答案为：.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f(x)|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．
【答案】0＜t＜1
【分析】
首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不等式，求出不等式的解集，进一步求出集合B的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到t的值．
【详解】

要解|f(x)|≥1，需要分类来看，
当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1
∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤-1
∴x≥2或x≤0或x＝1，又x≥0
∴x≥2或x＝1或x＝0．
当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1
∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1
∴﹣2≤x≤0或或，又x＜0
∴﹣2≤x＜0或
综上可知B＝{x|-2≤x≤0或或x≥2或x＝1}
∵集合A∩B只含有一个元素，
∴t＞0且t+1＜2
∴0＜t＜1
故答案为：0＜t＜1
28．（2021·上海·上外浦东附中高三月考）设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则_______．
【答案】/
【分析】
先求解两个集合，由交集的定义即得解
【详解】
由不等式，即

函数的定义域：



故答案为：
29．（2021·上海市七宝中学高三月考）函数，记集合，集．若，且A、B都不是空集，则的取值范围是________．
【答案】/
【分析】
由可得，从而求得；从而化简，从而分和讨论求得答案.
【详解】
解：设，
，
，
即，
故；
故，
当时，成立；
当时，的解为或，
又，则或，
由，则应无解，
故，
解得：；
综上所述，.
故答案为：.
30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三月考）已知集合，，若，则___________；
【答案】2
【分析】
结合已知条件，分别讨论和时，集合和集合是否满足即可求解.
【详解】
由，结合已知条件由下列两种情况：
①若，则，
此时，，满足；
②若，则，
(i)当时，，，不满足；
(ii)当时，，，不满足，
综上所述，.
故答案为：2.




































任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）
①若为一个“群”，则必为无限集；
②若为一个“群”，且，，则；
③若，都是“群”，则必定是“群”；
④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据性质，运用特例法逐一判断即可.
【详解】
①：设集合，显然，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；
②：根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述是正确；
③：设，
若，一定有，因为，都是“群”，
所以，因此，若，所以，
，故本叙述正确；
④：因为，，一定存在且，且，
因此且，所以，因此本叙述正确，
故选：C
【点睛】
关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.
2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：
①，，有
②如，，，有；
③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；
④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群．
例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．，则为一个群
B．，则为一个群
C．，则为一个群
D．{平面向量}，则为一个群
【答案】B
【分析】
对于选项A,C,D分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则不为一个群，所以该选项错误.
【详解】
A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确；
B. ，为的单位元，但是，当时，不存在唯一确定的，所以不满足④，则不为一个群，所以该选项错误；
C. ，满足①②，为的单位元满足③，是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则为一个群，所以该选项正确；
D. {平面向量}，满足①②，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确.
故选：B
3．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
【答案】B
【分析】
运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．
【详解】
解：对于集合，，
可得当，即，可得，
即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误
当时，，，
可得是的子集；
当时，，且，
可得不是的子集，故A错误．
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．
故选：B.
4．（2022·浙江·高三专题练习）设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解即可得结果．
【详解】
若①错，则，，，
有两种情况：，，，，
或，，，，；
若②错，则，，互相矛盾，故②对；
若③错，则，，，
有三种情况：，，，，；
，，，，；
，，，，；
若④错，则，，，
只有一种情况：，，，，
所以
故选：C
5．（2021·福建·福州四中高三月考）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】
由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.
6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，故，故①错误，
而，故，故②正确.
若整数，属于同一“类”，设此类为，
则，故即，
若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，
故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确.
由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.
7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.
【详解】
①因为，令，得，所以，①不正确；
②，故②正确；
③若整数、属于同一“类”，则整数被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为，即；若，则被6除所得余数为，则整数被6除所得余数相同，故“整数、属于同一“类””的充要条件是“”，所以③正确；
④若整数、满足，，则，，，，
所以，，所以；若，则可能有，所以“整数、满足，”的必要不充分条件是“”，所以④不正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.
8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（ ）
A．若有2个元素，则有3个元素
B．若有2个元素，则有4个元素
C．存在3个元素的集合，满足有5个元素
D．存在3个元素的集合，满足有4个元素
【答案】A
【分析】
不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.
【详解】
若有2个元素，不妨设，
以为中至少有两个元素，不妨设，
由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，
由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，
当集合有个元素时，由②得：，则或.
当集合有多于个元素时，不妨设，
其中，
由于，所以，
若，则，但此时，
即集合中至少有这三个元素，
若，则集合中至少有这三个元素，
这都与集合中只有2个运算矛盾，
综上，，故A正确；
当集合有个元素，不妨设，
其中，则，所以，
集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.
故选：A.
【点睛】
解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

9．（2021·广东番禺中学高一期中）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】
对子集分，，，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解.
【详解】
，与是的子集，，
对子集分情况讨论：
当时，，，，，有种情况；
当时，，，有种情况；
当时，，，有种情况；
当 时，，有种情况；
所以共有种，
故选：D.
10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间内任意两个正整数，，定义某种运算“*”如下：当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，，则在此定义下，集合中元素个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】
分别讨论，都是正偶数时，，，都是正奇数时，，所以，再由即可求出集合，进而可得集合中的元素的个数.
【详解】
因为当，都是正偶数时，；
当，都为正奇数时，，
所以当，都是正偶数时，，可得；
当，都是正奇数时，，所以，
因为，
所以，；
，；
，；
，；
所以，
所以集合中的元素有个，
故选：C.

11．（2021·全国·高三专题练习）设是直角坐标平面上的任意点集，定义，，．若，则称点集“关于运算对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，，则，，从而由，，分别求出，，，再根据点集“关于运算对称”的定义依次分析判断即可得出答案．
【详解】
解：令，，
则，，
，
，，故；
，
，即，故；
，
，即，故；
所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个.
故选：B.
12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X是实数集R的子集，如果点R满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合X的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ）
A． B．
C． D．整数集Z
【答案】B
【分析】
根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．
【详解】
A中，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
所以在的时候，不存在满足的x，不是集合的聚点；故A不正确；
B中，集合，对任意的a，都存在实际上任意比a小的数都可以，使得，
所以是集合的聚点；故B正确；
C中，因为，所以当时，不存在满足的x，不是集合的聚点，故C不正确；
D，对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能满足，从而0不是整数集Z的聚点．故D不正确.
综上得以0为聚点的集合是选项B中的集合.
故选：B．

二、多选题
13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数，集合.令集合，且三条件恰有一个成立，若和都在中，则下列选项不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【分析】
根据集合的定义可以得到和的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项.
【详解】
因为，则的大小关系有3种情况，同理，，则的大小关系有3种情况，

由图可知，的大小关系有4种可能，均符合，，所以ACD错，
故选:ACD.
【点睛】
本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.
14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ）
A．集合是“完美集”
B．有理数集是“完美集”
C．设集合是“完美集”，、，则
D．设集合是“完美集”，若、且，则
【答案】BCD
【分析】
利用第（2）条性质结合，可判断A选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；当时，推到出，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出，结合性质（2）可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，取，，则，集合不是“完美集”，A选项错误；
对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确；
对于C选项，若，则，，C选项正确；
对于D选项，任取、，若、中有或时，显然；
当、均不为、且当，时，，
则，所以，，，，
所以，若、且，则，从而，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）
A．是优集 B．是优集
C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集
【答案】ACD
【分析】
结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.
【详解】
对于A中，任取，
因为集合是优集，则，则 ，
，则，所以A正确；
对于B中，取，
则或，
令，则，所以B不正确；
对于C中，任取，可得，
因为是优集，则，
若，则，此时 ；
若，则，此时 ，
所以C正确；
对于D中，是优集，可得，则为优集；
或，则为优集，所以是优集，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合,若对于,,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”集合的为( )
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得．
在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，
所以不是“互垂点集”集合；
对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以在中的任意点，在中存在另一个，使得，
所以是“互垂点集”集合；
在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点， 所以不是“互垂点集”集合；
对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以所以是“互垂点集”集合，
故选：．
【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．

第II卷（非选择题）

三、填空题
17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设，，若方程至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是_________.
【答案】
【分析】
根据，用列举法列举出集合A中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可.
【详解】
集合A中，从小到大8个数中，设两数的差为正：
则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3；
间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4；
间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6；
间隔三个数的两数差：12，13，11，12；
间隔四个数的两数差：14，14，14；
间隔五个数的两数差：15，17；
间隔六个数的两数差：18；
这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次，
故k取值为：3，6，14时，方程至少有六组不同的解，
所以k的可能取值为：，
故答案为：
18．（2021·北京·高三开学考试）记正方体的八个顶点组成的集合为.若集合，满足，，，使得直线，则称是的“保垂直”子集.
给出下列三个结论：
①集合是的“保垂直”子集；
②集合的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；
③若是的“保垂直”子集，且中含有5个元素，则中一定有4个点共面.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】②
【分析】
首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合是的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案.
【详解】
对于①，当取体对角线时，找不到与之垂直的直线，①错误；
对于②，当8个点任取6个点时，如图

当集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合是的“保垂直”子集；
当集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如，则存在四点共面，根据正方体的性质，符合是的“保垂直”子集；
如，取存在，取存在，取存在，符合是的“保垂直”子集，所以②正确；
对于③，举反例即可，如，③错误.
故答案为：②.
19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列，定义集合，，其中且，若，则的所有元素之和为___________.
【答案】660
【分析】
可得，得出中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.
【详解】

，
则中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，
每个被选出的次数是相同的，
若被选中，则共有种选法，即每个被选出的次数为，
则的所有元素之和为.
故答案为：660.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是判断出中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.
20．（2021·北京东城·一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①②④
【分析】
举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.
【详解】
对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确；
对于③，取，，，，但，故③错误；
对于④，假设具有性质P，即对任意，都有，即对任意，都有，举反例，取，，但，故假设不成立，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.