新高考数学一轮复习精选讲练专题5.6 平面向量的数量积及其应用（含解析）

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1．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知向量， ，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
【解题思路】根据得到的方程求解即可．
【解答过程】解：由题意得，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（5分）设向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由数量积的运算性质与充分条件与必要条件的定义求解即可
【解答过程】向量，均为单位向量，由化简可得
，
所以，
所以，即.
向量，均为单位向量，当时，
则，
，
，
所以，
所以“”是“”的充要条件，
故选：B.
3．（5分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角为
D．在的投影向量是
【解题思路】应用向量坐标的线性运算求、，结合向量共线定理、模长的坐标运算判断A、B，根据向量夹角的坐标表示、投影向量的定义判断C、D.
【解答过程】由，不存在使，即与不共线，A错误；
由，故，B错误；
由，又，故，C正确；
由在的投影向量，D错误.
故选：C.
4．（5分）（2022·江西赣州·高三期中（理））已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据给定条件，利用垂直的向量表示求出，再利用夹角公式计算作答.
【解答过程】因非零向量，满足，由得：，解得，
于是得，而，则，
所以与的夹角为.
故选：B.
5．（5分）（2022·江苏南通·高三期中）已知的外接圆的圆心为，半径为1，，在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．1D．
【解题思路】先根据条件得为直角三角形，再根据投影向量的公式可得，进而可得三角形中每个角的大小，再通过计算可得答案.
【解答过程】解：，则为中点，又是外接圆圆心，
则为直角三角形，为在上的投影向量，
，∴，
∴，∴
，，
,
的外接圆半径为1，∴，∴，,
∴，
故选：B.
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设锐角内部的一点O满足，且，则角A的大小可能为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据三角恒等变换和外心的向量性质，将原式化简，即可求得角A的大小.
【解答过程】由于锐角△ABC内部的一点O满足|OA|＝|OB|＝|OC|，
所以点O为△ABC外接圆的圆心，外接圆的半径为R；
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
故 ，
则 ，
所以 ，
故，
由于，
所以，
解得．
故选：D．
7．（5分）（2022·江苏盐城·高三期中）已知点，及圆上的两个动点C、D，且，则的最大值是（ ）
A．6B．12C．24D．32
【解题思路】求出两点坐标，设，计算，由弦的中点在以原点为圆心3为半径的圆上，求得圆方程，然后用三角换元法化为三角函数式，利用和与差的正弦公式化简后可得最大值．
【解答过程】，，
，，
，
，同理，，，
设，
，
，则中点到圆心的距离为，中点的轨迹方程为，
中点在上，
∴，令（），
，时等号成立，
故选：C．
8．（5分）（2022·北京·高三阶段练习）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；②的最小值为；
③的最大值为；④的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可.
【解答过程】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，所以设，则
，，
所以，
所以，即（为任意角），
所以
（其中），
所以的最大值为，最小值为，
所以①③错误，
因为，
所以
（其中）
因为，
所以，
所以，
所以的最小值为，最大值为14，
所以②正确，④错误，
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·福建省高三期中）已知向量，则（ ）
A．，则B．
C．与的夹角正弦值为D．向量在向量上的投影向量为
【解题思路】求出即可判断A；根据平面向量共线的坐标表示即可判断B；求出两向量夹角的余弦值，从而可判断C，根据投影向量的计算公式计算即可判断D.
【解答过程】解：对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，，
因为，所以与不平行，故B错误；
对于C，，
则，
所以与的夹角正弦值为，故C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
10．（5分）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（ ）
A．1B．C．2D．
【解题思路】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，.
即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可
【解答过程】由题，
，又，则，
则，为正三角形，，
故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设，则，
则，
则当时，取最小值；当时，取最大值3，故.
故选：BC.
11．（5分）（2023·浙江温州·模拟预测）已知向量，，，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影向量为B．的最小值是
C．若，则D．若，则
【解题思路】根据投影向量的定义求得在上的投影向量判断A，求出向量的模，由函数性质得最小值判断B，计算，根据其正负确定的范围，然后判断的正负，从而判断CD．
【解答过程】，
在上的投影向量为，A正确；
，
，
所以时，取得最小值，B正确；
，，无法判断的符号，C错误；
，，则，D正确．
故选：ABD．
12．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为1B．最大值为2
C．最大值是8D．最大值是
【解题思路】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的性质逐一求解即可.
【解答过程】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，，
又，
则，
，即，
，
解得，
因为，则，,
,
，其中，为锐角，
当，即时，取最大值，故A正确，B错误；
，C正确；
，
其中，为锐角
当，即时，取最大值，D正确
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海杨浦·高三期中）已知，在上的投影向量为，则 ．
【解题思路】根据投影向量可得，结合向量模长公式得模长即可求解.
【解答过程】由得，
在上的投影向量为，
所以，
故答案为：.
14．（5分）向量满足，且，则与夹角的余弦值等于 ．
【解题思路】利用向量数量积公式得到，解出即可.
【解答过程】
，
解得.
故答案为：.
15．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为 6 .
【解题思路】首先根据平面图形的几何性质求出外接圆半径长度与，然后将向量，，用向量，，线性表示.
再根据数量积运算得，最后根据的取值范围求得的最大值即可
【解答过程】中，，是外接圆圆心，如图所示：
则，又因为，
所以，即外接圆的半径.
，
，，即.
故得，
因为、不重合，所以向量与的夹角范围为，
所以，
所以，即为的中点时，
取得最大值为.
故答案为：.
16．（5分）（2022·北京通州·高三期中）已知满足.给出下列四个结论：
①为锐角三角形；
②；
③；
④.
其中所有正确结论的序号是 ②③④ .
【解题思路】根据平面向量数量积的定义，结合余弦定理、两角和的余弦公式、正弦型函数的单调性逐一判断即可.
【解答过程】由，
所以是钝角三角形，因此①不正确；
因为，所以，
因为都是锐角，所以可得，因此②正确；
由，
因此③正确；
由
，因此④正确，
故答案为：②③④.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021·辽宁·高二期末）已知向量，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与垂直，求实数的值．
【解题思路】（1）根据向量夹角的坐标运算，结合已知条件，列出方程即可求得参数；再结合平面向量的运算求模长即可；
（2）根据（1）中所求，结合向量垂直的坐标运算，即可求得参数.
【解答过程】（1）因为，且与的夹角为，所以.
因为，故，解得或（舍）．
所以，则 ．
（2）因为，与垂直，
所以，即，解得．
18．（12分）（2022·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量，满足，，．
(1)求的值；
(2)设在上的投影向量为，求实数的值．
【解题思路】（1）根据向量计算的相关公式解方程；
（2）根据向量的投影的概念及公式直接计算.
【解答过程】(1)
由，即，
解得；
(2)
在上的投影向量为，
故.
19．（12分）（2022·湖北·高三期中）已知的内角 所对的边分别是
向量，，且．
(1)求角A；
(2)若， 的面积为，求b、c．
【解题思路】（1）由向量数量积的坐标运算代入中，利用正弦定理边化角的转化及进行化简得到，再利用辅助角公式得，根据条件求出；
（2）由及（1）求出的值，在利用余弦定理及，求出的值，联立方程组解出结果.
【解答过程】（1），
根据正弦定理，即，
因为，得，由，
整理得，，即，，
或，得或（舍去），即；
（2），，
根据余弦定理，得，
则，，，
又，则或.
20．（12分）（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知，．
(1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若，函数，求的最小值．
【解题思路】(1)若与的夹角为钝角，则且与不能共线.
(2) 化简得，利用转化为关于的二次函数求值域问题.
【解答过程】（1）
当时， ，若与的夹角为钝角，
则且与不能共线，
，所以，
又，所以
当与共线时，，故，所以.
综上：.
（2）
，
令，则

而函数在上为增函数，故当时有最小值.
故的最小值为.
21．（12分）（2022·江苏无锡·高三期中）已知向量，满足，，．
(1)求向量和的夹角；
(2)设向量，，是否存在正实数t和k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）用计算，求向量夹角公式为，代入计算即可.
（2）由整理的关系式，由得t的取值范围.
【解答过程】（1），
∴，
设向量和的夹角为，
，
∴与夹角为．
（2）假设存在正实数t和k，使得，则，
，
∴，
∵，∴，
∴，，
故 或 ，解得，
即存在且t的取值范围为．
22．（12分）（2022·湖北·高一期末）如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.
(1)求中线的长度；
(2)设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值.
【解题思路】（1）先由正弦定理与余弦定理进行边角互化，求出，再由结合数量积的运算性质即可求解；
（2）设，再根据的面积为面积的一半，得到，然后利用共线和基本定理，利用数量积运算求解.
【解答过程】（1）
，由正弦定理：，
由余弦定理：.
因为为中点，所以，设的夹角为，
又，
，即，
解得或，又，∴,∴；
（2）
设，则，
∵的面积为面积的一半，∴，∴.
设，则，
又共线，∴可设，
则，
∴，解得：.
∴，
又，
∴
.
又，化简得，
又，则，则时，的最大值为.