新高考数学一轮复习提升训练5.3 三角函数的性质（精练）（含解析）

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5.3 三角函数的性质（精练）（提升版）
题组一 值域

1．（2021·北京市第五中学高三阶段练习）已知，则的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由
设，，，，，，
即的值域为，.故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）
A． B．3
C． D．4
【答案】C
【解析】解：根据题意，设，则，
则原函数可化为，，所以当时，函数取最大值.
故选：C.
3．（2021·河南·高三阶段练习（文））函数的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
因此，当且仅当是，取最小值，故选：A
4．（2022·河北张家口）已知函数，其中．若函数的最大值记为，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
因为，所以当时
当且仅当，即时取等号故选：D
5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由的值域为,可得，
由可得，所以，
解得，所以a的取值范围是，故选:C
6．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））将函数向右平移个单位长度得到函数，若函数在上的值域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将函数向右平移个单位长度得到函数，
由，得，由，得，
所以，所以，故选：B.
7．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的最小值是，并且观察当时，，
所以当时，恒成立，即，当时，，
当时，恒成立，即时，的最大值是，所以的最小值是，所以.故选：D
8． （2022·江苏江苏·一模）（多选）下列函数中，最大值是1的函数有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，当且仅当，即时取“=”，即当时，，A不正确；
对于B，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，B正确；
对于C，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，C正确；
对于D，依题意，由，都有意义，且得：，且，且，，，显然最大值为1，
此时，，而使函数无意义，即不能取到1，D不正确.
故选：BC
9．（2022·江西九江·一模（理））函数的值域为______．
【答案】
【解析】当，时，，
而，∴，此时．
当，时，，
而，∴，此时．
∴的值域为．故答案为：
10．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
【答案】4或10
【解析】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.当时，，
y＝sinx图像如图：

要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.
11．（2020·全国·高三专题练习）函数的值域为________.
【答案】
【解析】，
由题意可得，所以，，
因此，函数的值域为.故答案为：.
12．（2022·河南·高三阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在时恒成立，则实数m的最大值是___．
【答案】1
【解析】因为，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，．
∵，∴．∴，即．∴．故实数m的最大值是1，故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
【答案】
【解析】因为函数在上单调递减，所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，所以，即，
所以.故答案为：
13．（2022·全国·高三专题练习）当时，函数的最大值为______．
【答案】-4
【解析】由题意得所以，
当时，，设所以，
所以当时，函数取最大值.所以的最大值为-4．故答案为：
14．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））求函数()的值域
【答案】
【解析】令，所以，
所以当，即 ()时，
；当，即()时，，
因此函数的值域应为．

题组二 伸缩平移

1．（2022·江西·高三阶段练习）已知函数的部分图象如下所示，其中，.将的图象的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的一条对称轴方程是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，故，故，故，
将代入，可得，故，解得，
因为所以，则，
将的图象的横坐标缩短为原来的，得到，再向右平移个单位长度后，得到，
的对称轴方程为，解得，
当时，，当时，，当时， ，所以选项A满足题意，
故选：A.
2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到
即由题意的图像关于直线对称.
所以，即当时，，此时最小故选：C
3．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的值可能为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，
向左平移得，
与函数的图象重合，故，
（1）若，
符合.
（2）若，
符合.
故选：AC
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，且.将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像；若，，，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，
又由题图可知图象的一个对称中心为点，
故，，故，，
因为，所以，所以.
又因为，
故，
所以；
将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，
得到的图象；
因为，所以 同时令取得最大值3，
由，可得，，
又，要求的最大值，故令，得；
令，得，所以的最大值为，
故选：D.
5．（2022·安徽黄山·二模（文））将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（       ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】依题意，函数，
于是得，由，得：，
因此，函数在上为增函数，而在上为增函数，
于是得，解得，有，
所以的最大值为2.
故选：C
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数是奇函数．若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于x的方程在有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是奇函数，
所以，解得，即，
则，
向左平移个单位长度后，得到，
向上平移个单位长度，得到，
当时，，结合正弦函数对称性可知，
在有两个不相等实根，则且，
此时，实数m的取值范围是.
故选：C．
7．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（       ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，
所以的最小值为.
故选：A.
8．（2022·安徽安庆·二模（理））已知函数，的最小正周期为，将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

由其最小正周期为，有，所以，
将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象对应函数为，
其图象关于对称，则有，
所以， ，
由，实数的最小值为.
故选：B.
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知的最小正周期，∴，∴，
∴，作出的图象如图所示，

数形结合可知 ，解得：
∴实数a的取值范围是.
故选：D
10．（2022·四川巴中·一模（文））为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】，
所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位长度，
故选：B.
题组三 三角函数的性质

1．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）（多选）已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（       ）

A．为偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
【答案】BC
【解析】由图知，，则，即，因为，所以.
因为为的零点，则，得.由图知，，
则，所以，，从而.
由题设，，
则为非奇非偶函数，所以A错；的最小正周期，所以B正确；
当时， ，则的图象关于直线对称，所以C正确.
当时， ，不单调，所以D错误.故选：BC.
2．（2022·海南·模拟预测）（多选）已知函数（，），则（            ）
A．存在的值，使得是奇函数 B．存在的值，使得是偶函数
C．不存在的值，使得是奇函数 D．不存在的值，使得是偶函数
【答案】BC
【解析】因为，所以.因为，所以，所以不可能是奇函数，则A错误，C正确.
当时，是偶函数，则B正确，D错误.
故选：BC
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知，则（       ）
A．，的最小正周期为 B．，
C．，使得为偶函数 D．，使得为奇函数
【答案】BC
【解析】
，
对于A选项，取，则为常函数，A错；
对于B选项，，，B对；
对于C选项，取，则，此时函数为偶函数，C对；
对于D选项，若函数为奇函数，由，
得，
可得，但，则，可得，D错.
故选：BC.
4．（2021·江苏·淮阴中学高三阶段练习）（多选）已知函数，下列结论正确的是（       ）
A．的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的最小值为
【答案】AD
【解析】解：对于A选项，由于函数的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A选项正确；
对于B选项，当时，，且当时，，此时函数在单调递减；当时，，此时函数在上单调递增，故B选项错误；
对于C选项，由于，，故函数的图象不关于直线对称，故C选项错误；
对于D选项，由题知，当时，，，此时函数在上的值域为；当时，，，此时函数在上的值域为，故函数在一个周期内的值域为，进而函数的值域为，即最小值为，故D选项正确.
故选：AD
5．（2022·全国·模拟预测）（多选）对于函数，下列说法正确的是（       ）
A．最大值为1 B．最小值为
C．最小正周期为 D．图像的对称中心为
【答案】AC
【解析】因为

，，，
对：当时，，，即，时，取得最大值1，
故正确；
对：当时，，，即，，不在定义域内，故不存在最小值，故错误；
对：的最小正周期，故正确；
对：定义域不满足关于点对称，所以不是图象的对称中心，故错误.
故选：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下列结论：①是奇函数；②是周期函数；③的图象是轴对称图形；④的值域是，其中正确结论的序号为___________.
【答案】②③
【解析】由，，可得①错误；
由，可得②正确；
由，可知的图象关于直线对称，③正确；
当时，，当时，，所以的值域是，④错误，所以正确结论的序号为②③ .故答案为：②③
7．（2022··模拟预测（理））已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
故函数的周期为，故，
若对恒成立，即当时， 恒成立，
所以，解得
因为，所以.
故选：D．
8．（2022·四川达州·二模（理））设，则下列说法正确的是（       ）
A．值域为 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．
【答案】B
【解析】∵，
由，可得，
∴，即或，
∴函数的值域为，故A错误；
∵，
当时，单调递增，单调递减，单调递增，
故在上单调递增，故B正确；
∵，，
令，则，
由，可得，，根据正弦函数在上单调递增，可知在上存在唯一的实数，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上有增有减，故C错误；
由，可得
，故D错误.
故选：B.
9．（2022·河北石家庄·二模）（多选已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】由知，A正确；
由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；

关于直线对称，故D正确.
故答案为：ABD
10．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）（多选）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（       ）

A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
D．函数在区间上的单调递减区间为
【答案】ABD
【解析】根据函数的图象，可知，
当时，满足，则，即，
因为，所以，可得．
对于A中，当时，，可得函数的图象不关于直线对称，所以A项错误；
对于B中，当时，，可得函数的图象不关于点对称，所以B项错误；
对于C中，因为，将其图象向左平移个单位，可得函数的图象，所以C项正确；
对于D中，因为，所以，所以当，即时，单调递减，所以D项错误．
故选：ABD
11．（2022·全国·模拟预测）（多选）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（       ）
A．的周期为
B．的单调递减区间为
C．的对称轴为
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
【答案】ABD
【解析】由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确．
又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故.
，解得，，B正确；
，，，C错误；
的图象向左平移个单位得，D正确．
故选：ABD．
12．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模（文））已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有___________（填序号）.

①；
②方程所有根的和为；
③函数与函数图象关于对称.
【答案】①③
【解析】由图象可知：，，；
又，由五点法可知：，解得：；
；
对于①，，①正确；
对于②，，即；
，，或或或，
所有根的和为，②错误；
对于③，，
与图象关于对称，③正确.
故答案为：①③
13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模（文））已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有___________（填序号）.

①；
②方程所有根的和为；
③函数与函数图象关于对称.
【答案】①③
【解析】由图象可知：，，；
又，由五点法可知：，解得：；
；
对于①，，①正确；
对于②，，即；
，，或或或，
所有根的和为，②错误；
对于③，，
与图象关于对称，③正确.
故答案为：①③
题组四 三角函数性质与其他知识的综合运用

1．（2022·贵州黔东南·一模（文））若函数在区间内只有一个极小值点，则的值不可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，且，则，解得.
结合各选项，只有A不可能.故选：A
2．（2022·新疆昌吉·一模（文））已知函数在上是增函数，且在上恰有一个极大值点与一个极小值点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，，所以，解得，
由在，上仅有一个极大值点与一个极小值点，则有，所以，又，
所以的取值范围为，．故选：．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的值可以是（       ）
A．17 B．14 C．5 D．2
【答案】A
【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得，
所以.由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，故结合选项知选A.故选：A
4．（2022·山东潍坊·一模）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（       ）.
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数，所以其最小正周期为，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，
因为函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以当区间关于它的图象对称轴对称时，取得最小值，对称轴为，此时函数有最值，
不妨设y取得最大值，则有，所以，
解得，得，
所以，
所以的最小值为，
故选：D.
5．（2022·四川省泸县第四中学模拟预测（理））已知函数，给出下列四个命题：
①是函数的一个周期；       ②函数的图象关于原点对称；
③函数的图象过点；       ④函数为上的单调函数.
其中所有真命题的序号是__________.
【答案】①②③
【解析】函数，
对于①：，故函数的最小正周期为，故①正确；
对于②：函数故函数的图像关于原点对称，故②正确；
对于③：当时，，故③正确；
对于④：由于，所以，由于，由于的导数有正有负，所以函数在上有增有减，所以函数在上不是单调函数.故④错误．
故选：①②③．
6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）函数，则方程在上的根的个数为（       ）
A．14 B．12 C．16 D．10
【答案】B
【解析】由题意，函数满足，
所以函数为偶函数，
当时，，
因为，即，
设，可得，解得或，
即或，此时共有4个解；
当时，，
因为，即，
设，可得，解得或（舍去），
即，此时共有2个解，
所以方程在上的根的个数为个.
故选：B.
7．（2022·河南·模拟预测（理））已知对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解：设，所以.
所以对任意，不等式恒成立，
所以对任意，不等式恒成立，
当时，不等式不是恒成立；
当时，在是增函数，在是减函数，在是减函数，在是增函数，所以函数在是增函数，在是减函数，所以当时，，与矛盾，所以舍去；
当时，对任意，不等式恒成立，如图所示，

所以.综合得.故答案为：
8．（2022·北京西城·一模）如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（       ）

A．在区间上是增函数
B．恰有个零点
C．的最小值为
D．的图象关于点中心对称
【答案】B
【解析】由题意得：，
所以，
由得，
令，则，因为在上递减，在上递增，
所以在区间上是减函数，故A错误；
令，得或，解得或，故B正确；
因为，所以的最小值为，故C错误；
因为，关于对称，是轴对称图形，
所以不可能关于点中心对称，故D错误；
故选：B
9．（2022·江苏南通·模拟预测）（多选）已知直线与函数的图象相交，A，B，C是从左到右的三个相邻交点，设，，则下列结论正确的是（       ）．
A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
B．若，则
C．若在上无最值，则的最大值为
D．
【答案】BCD
【解析】A：将函数的图象向右平移个长度单位，
则，
若图象关于原点对称，则为奇函数，有()，
解得()，又，得，
所以当且仅当且时，图象关于原点对称，故A错误；
B：若，则，即，
设，则，且，
所以，得①，
又点A、B的中点的横坐标为，则，
所以，即②，
由①②得，，有，，
所以，所以，故B正确；
C：由函数在上无最值，知在上是单调的，
有，所以，，
解得，，所以当时，取得最大值，故C正确；
D：由B选项的分析可知，，，
两式相加，得，有，
所以，
即，所以，令，
则，又，易得在上单增，且，所以，
所以，则函数在上单调递减，所以，
即，故D正确.
故选：BCD
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若集合，集合，则______．

【答案】
【解析】由图可知周期，∴．
由得，∴，，
∵，∴k取0，，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，∴．
故答案为：﹒
11．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)解：由，
令，即，解得

，∴，
此时数列是等差数列，公差为，首项为.
∴
(2)证明：因为，，


∵，
∴.