新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 复数的运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 复数的运算（含解析），共23页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1、复数的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.
②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
③eq \f(z1,z2)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(z2≠0).
(2)复数加、减法的几何意义
(3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有
2. (1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，其中n∈N.
4. zz＝|z|2＝|z|2，|z1z2|＝|z1||z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
【题型归纳】
题型一：复数的加减运算
1．复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
题型二：复数的乘法运算
4．若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．7D．5
5．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
题型三：复数的除法运算
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A．0B．1C．D．3
9．已知复数（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
10．设，则（ ）
A．B．C．D．
11．若复数满足，则（ ）
A．3B．C．2D．
12．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
13．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．若复数满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
15．已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（ ）
A．如果，则，互为共轭复数
B．如果复数，满足，则
C．如果，则
D．
16．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
17．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（ ）
A．2B．C．D．－2
18．复数的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A．且B．且
C．D．
19．已知复数z满足z4且z|z|0，则z2019的值为
A．﹣1B．﹣2 2019C．1D．2 2019
20．已知z=，(i是虚数单位)的共轭复数为，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
21．已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数+i是实数，则|z|的最小值为（ ）
A．0B．C．5D．
22．若，则（ ）
A．1B．C．2D．
23．计算的值是 （ ）
A．B．C．D．
24．已知为虚数单位，则（ ）.
A．B．
C．D．
25．在复平面内，点分别对应复数，则（ ）
A．B．1C．D．i
【高分突破】
单选题
26．复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
27．若，则z=（ ）
A．1–iB．1+iC．–iD．i
28．设，，则（ ）
A．B．C．D．
29．已知复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．
30．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
31．设z=i(2+i)，则=
A．1+2iB．–1+2i
C．1–2iD．–1–2i
32．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
33．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
34．已知复数，i为虚数单位，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
35．已知复数，是的共轭复数，则（ ）
A．B．
C．复数在复平面内所对应的点在第一象限D．
36．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ）
A．B．
C．的共轭复数为D．的虚部为
37．下列命题为真命题的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
38．设，，为复数，.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
39．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.
40．若复数，的共轭复数对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为___________.
41．若复数z满足：，则______.
42．下列说法正确的序号为______．
①若复数，则；
②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
③已知复数，，若，则，均为实数；
④复数的虚部是1．
43．复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________.
44．已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限.
四、解答题
45．已知复数，其中，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求的虚部．
46．已知满足等式．
（1）计算；；；
（2）求证：对任意复数，有恒等式；
（3）计算：，．
47．已知复数，满足，，求，值．
48．复数满足，且．求．
49．已知复数，i为虚数单位.
（1）求和；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
加
法
复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量eq \(OZ,\s\up6(→))所对应的复数
减
法
复数z1－z2是从向量eq \(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量eq \(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数
交换律
z1＋z2＝z2＋z1
结合律
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由复数的加减运算化简复数，即可得出答案.
【详解】
，故虚部为.
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的加法运算直接计算作答.
【详解】
.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
先求出复数，化成标准形式，再根据复数的几何意义来判断.
【详解】
依题意得，，对应复平面的点是，在第四象限.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【详解】
解：，
又复数为纯虚数，
，解得．
故选：A．
5．A
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算算出，然后可得答案.
【详解】
由题意得，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
7．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算算出答案即可.
【详解】
.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
先计算，再计算，，最后求即可
【详解】
易知，
则，，
所以，
故选：D
9．A
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算和除法运算化简复数，再由共轭复数即可得出答案.
【详解】
复数，
则.
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
11．B
【解析】
【分析】
由复数的乘法及除法运算可得，然后求其模即可.
【详解】
解：由，
则，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题.
12．C
【解析】
先求出，再求出得解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：C
13．D
【解析】
【分析】
根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
【详解】
因为，所以，
所以复数所对应的点的坐标为.
故选:D.
14．D
【解析】
【分析】
利用复数的除法求复数及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.
【详解】
由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；
由在复平面内对应的点为，所以，D正确.
故选：D
15．D
【解析】
【分析】
对于A，举反例，可判断；对于B，设，代入验证可判断；对于C，举反例可判断；对于D，设，，代入可验证.
【详解】
对于A，设，，，但，不互为共轭复数，故错误；
对于B，设（，），（，）．
由，得，
则，而不一定等于，故错误；
对于C，当时，有，故错误；
对于D，设，，则，正确
故选：
16．B
【解析】
【分析】
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由，得，
所以的虚部是，
故选：B
17．A
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义，可得，根据复数的运算法则，即可得答案.
【详解】
由题意得：，
所以，
又是纯虚数，所以，
解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
18．D
【解析】
【分析】
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
因为为实数，
所以，
反之，当时，复数的平方是一个实数，
所以复数的平方是一个实数的充要条件是，
故选：D
19．D
【解析】
首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z4和z|z|0得出方程组，求解可得：
z，通过计算可得：，代入即可得解.
【详解】
设z=a+bi（a，b∈R），
由z4且z|z|=0，得
，解得a=﹣1，b.
∴z，
而1，
.
∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.
20．D
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算化简复数z，再得到共轭复数和其对应的点的坐标，判断所在的象限即可.
【详解】
因为z==2+i，
所以z的共轭复数为=2﹣i，则在复平面上对应的点为(2，﹣1)，位于第四象限.
故选：D.
21．D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.
【详解】
解：∵复数是实数
故
当且仅当时取等号
的最小值为
故选：D
22．D
【解析】
【分析】
根据共轭复数的定义及复数的除法运算求，进而求模即可.
【详解】
由题意，，
∴．
故选：D.
23．A
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则可得结果.
【详解】
＝＝＝.
故选：A
24．C
【解析】
【分析】
利用复数的除法化简可得结果.
【详解】
，
故选：C.
25．D
【解析】
【分析】
根据复数几何意义，求得，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.
【详解】
由点和分别对应复数，
可得，，
所以.
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
根据复数除法的运算法则，求出复数，然后由虚部的定义即可求解.
【详解】
解：因为复数，
所以复数的虚部为，
故选：A.
27．D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】
因为，所以.
故选：D
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
28．B
【解析】
【分析】
首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.
【详解】
，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.
故选：B
29．C
【解析】
【分析】
利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】
因为，
所以，
，
所以|z|=.
故选：C.
30．D
【解析】
【分析】
先化简，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
.
所以复数对应的点在第四象限，
故选：D
【点睛】
结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限.
31．D
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
32．D
【解析】
【分析】
先利用复数的模长和除法运算化简得到，再根据虚部的定义，即得解
【详解】
由，
得，
∴的虚部为.
故选：D
33．D
【解析】
【分析】
由复数除法运算求得，再根据复数的几何意义得其对应点坐标，从而得结论．
【详解】
由题意，对应点坐标为，在第四象限．
故选：D．
34．D
【解析】
分别求解模以及其共轭复数，相加即可.
【详解】
因为，
所以
.
故选：D.
【点睛】
考查复数模长的求解、共轭复数的求解.
35．ACD
【解析】
【分析】
求出，，再求出、，即得解.
【详解】
因为，
所以，
则，所以复数在复平面内所对应的点在第一象限.
，则选项A，C，D正确，选项B错误.
故选：ACD
36．BD
【解析】
【分析】
化简复数，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，复数，则，
其中复数的虚部为.
故选：BD.
37．ACD
【解析】
【分析】
根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，为纯虚数，所以，C正确.
D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.
故选：ACD
38．BC
【解析】
【分析】
对于A：取特殊值判断A不成立；
对于B、C、D：直接利用复数的四则运算计算可得.
【详解】
对于A：取，满足，但是不成立，故A错误；
对于B：当时,有，又，所以,故B正确;
对于C：当时,则,所以,故C正确;
对于D：当时,则,可得.
因为，所以.故D错误
故选：BC
39．
【解析】
【分析】
将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
【详解】
解：将代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由复数相等的充要条件，得解得
故.
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
根据条件先分析的对应点所在象限，根据象限内坐标的特点列出关于的不等式组，由此求解出结果.
【详解】
因为对应的点在第一象限，所以的对应点在第四象限，
所以，解得，即，
故答案为：.
41．
【解析】
【分析】
设，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得求a、b，写出复数.
【详解】
设，原式化为，则解得
∴.
故答案为：
42．①②③
【解析】
【分析】
根据复数的概念及复数的除法即可求解.
【详解】
对于①，因为，
所以，故①正确；
对于②，复数集实数集虚数集，故②正确；
对于③，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由，得
，均为实数，故③正确；
对于④，复数的虚部是，故④不正确.
故答案为：①②③.
43．①②③
【解析】
【分析】
①根据平面向量加法交换律判定；
②结合平面向量加法运算法则判定；
③由判定；
④结合平面向量数量积判定；
⑤结合平面向量数量积判定.
【详解】
解：①成立，故①正确；
②由平面向量加法运算法则可得，故②正确；
③成立，故③正确；
④，故④不成立，
⑤若非零向量，满足，
则，则，
所以不一定成立，故⑤不成立.
故答案为：①②③
44．一
【解析】
化简得到，得到复数对应象限.
【详解】
，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），
故复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：一.
【点睛】
本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
45．(1)
(2)8
【解析】
【分析】
（1）由题意得，求解即可；
（2）先由题意求得，再根据复数的除法法则化简复数，由此可求得答案.
(1)
解：若z为实数，则，解得．
(2)
解：由题意得解得，
∴，故，
∴的虚部为8．
46．（1）；0；4；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据，利用复数的乘方逐个求解；
（2）利用多项式公式展开，再根据求解判断；
（3）根据，分当， ，求解.
【详解】
（1）因为，
所以；
；
；
（2），
，
，
，成立；
（3）当时，；
当时，，
当时，，
综上：
47．，；或，．
【解析】
先设，再根据求，最后根据列方程组，解得结果.
【详解】
设，则．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得：，或，．
∴，；或，．
【点睛】
本题考查复数的模、复数加法，考查基本分析求解能力，属基础题.
48．或
【解析】
由题意可知设复数,计算出,,,代入中可得可求得复数.
【详解】
由题意可知：,则,,,
∴,
∴,即，
若，则，由得，所以，
若，则，得，
∴或.
【点睛】
本题考查复数的计算，关键在于设出复数的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.
49．（1），；（2），．
【解析】
【分析】
（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．
（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．
【详解】
解：（1）复数
，
，．
（2）复数是关于的方程的一个根，
，
，，
，
解得，．
【点睛】
本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．