数学八年级上册11.2.1 三角形的内角同步达标检测题

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11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角第2课时   直角三角形的性质与判定【知识重点】1.直角三角形的性质   直角三角形的两个锐角互余 .几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.2.直角三角形的表示   直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC.注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.3.直角三角形的判定   有两个角互余的三角形是直角三角形.特别解读：在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.【经典例题】【例1】如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数. 【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形.  【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB.解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角.  【同步练习】一、选择题1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为(　　)A.65°    B.60°    C.45°    D.30°    第1题图　                  第2题图                     第5题图2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(　　)A．1个  　　 B．2个     C．3个  　　D．4个3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　)A．120°     　B．90°  　 C．60° 　   D．30°4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　)A．锐角三角形     B．钝角三角形     C．直角三角形    D．以上都有可能5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为(　　)A．70°  　　B．75°     C．80°  　　D．85°6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是         (　　)A．∠A＝2∠B＝3∠C   B．∠A＋∠B＝2∠CC．∠A＝∠B＝30°     D．∠A＝∠B＝∠C7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)A．∠A＋∠B＝∠C             B．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3    D．∠A＝2∠B＝3∠C8．直角三角形的三个内角的度数之比可以是             (　　)A．2∶3∶4   B．3∶4∶5    C．4∶5∶6     D．3∶3∶69．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(　　)度．A．70        B．65           C．60           D．55     第9题图　                第13题图                       第14题图10．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是      (　　)A．∠A＋∠B＝∠C              B．∠A－∠B＝∠CC．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3   D．∠A＝∠B＝3∠C二、填空题11．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________．12．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是          .13．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是      .14．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为                  .三、解答题15．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？  16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．   17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC上一点，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F，且∠AEF＝∠AFE.求证：△BED是直角三角形．   18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．       19．【2021·广陵区校级期中】已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF.    20．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？    (2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？ 
参考答案【经典例题】【例1】如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.解：∵∠BOD＝35°，∴∠AOC＝35° .又∵ AC⊥CD，∴∠ACD＝90° .∴ ∠A＝90° －∠AOC＝90°－35°＝55° .【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形.证明：∵ AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.又∵ EP平分∠BEF，FP 平分∠DFE，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.∴△EFP是直角三角形.【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB.解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角.证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.∴∠CDA＝90°. ∴ CD⊥AB.【同步练习】一、选择题1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为(　C　)A.65°    B.60°    C.45°    D.30°    第1题图　                  第2题图                     第5题图2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(　B　)A．1个  　　 B．2个     C．3个  　　D．4个3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　D　)A．120°     　B．90°  　 C．60° 　   D．30°4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　C　)A．锐角三角形     B．钝角三角形     C．直角三角形    D．以上都有可能5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为(　B　)A．70°  　　B．75°     C．80°  　　D．85°6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是         (　D　)A．∠A＝2∠B＝3∠C   B．∠A＋∠B＝2∠CC．∠A＝∠B＝30°     D．∠A＝∠B＝∠C7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　D　)A．∠A＋∠B＝∠C             B．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3    D．∠A＝2∠B＝3∠C8．直角三角形的三个内角的度数之比可以是             (　D　)A．2∶3∶4   B．3∶4∶5    C．4∶5∶6     D．3∶3∶69．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(　A　)度．A．70        B．65           C．60           D．55     第9题图　                第13题图                       第14题图10．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是      (　D　)A．∠A＋∠B＝∠C              B．∠A－∠B＝∠CC．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3   D．∠A＝∠B＝3∠C二、填空题11．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________．【答案】 互余   Rt△   Rt△ABC12．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是          .【答案】30°13．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是      .【答案】60° 14．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为                  .【答案】60°或90° 三、解答题15．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形．∴∠1＋∠A＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．　16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°.17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC上一点，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F，且∠AEF＝∠AFE.求证：△BED是直角三角形．证明：∵在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∴∠ABF＋∠AFE＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBD.∵∠AEF＝∠AFE，∠BED＝∠AEF，∴∠BED＝∠AFE.∴∠EBD＋∠BED＝90°.∴△BED是直角三角形．18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.∴△EFP为直角三角形．19．【2021·广陵区校级期中】已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；解：△ABC是直角三角形，理由如下：在△ABC中，CD是高，∴∠CDA＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠A＝∠DCB，∴∠DCB＋∠ACD＝90°.∴∠ACB＝90°.∴△ABC是直角三角形．(2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF.证明：∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE.∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°，∴∠AFD＝∠CEA.∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.20．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？    解：有．理由：∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°.∴∠BCD＝∠A.(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？解：有．理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠BED＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°.∴∠BED＝∠A.(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？解：有．理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠E＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°.∴∠E＝∠A.