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内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类
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内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类
一.一次函数的应用(共3小题)
1.(2023•内蒙古)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元,某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同.
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价;
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售,经调查了解到有A,B两个厂家可供选择,两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案:
A厂家:一律打8折出售.
B厂家:若一次性购买礼盒数量超过25盒,超过的部分打7折.
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒,设去A厂家购买应付y1元,去B厂家购买应付y2元,其函数图象如图所示:
①分别求出y1,y2与x之间的函数关系;
②若该商家只在一个厂家购买,怎样买划算?
2.(2022•内蒙古)某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品.若购进A种纪念品10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品3件,需要550元.
(1)求购进A、B两种纪念品的单价;
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍,且购进B种纪念品数量不少于20件,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?求出最大利润.
3.(2021•兴安盟)移动公司推出A,B,C三种套餐,收费方式如表:
套餐
月保底费(元)
包通话时间(分钟)
超时费(元/分钟)
A
38
120
0.1
B
C
118
不限时
设月通话时间为x分钟,A套餐,B套餐的收费金额分别为y1元,y2元.其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示.
(1)结合表格信息,求y1与x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)结合图象信息补全表格中B套餐的数据;
(3)选择哪种套餐所需费用最少?说明理由.
二.二次函数综合题(共3小题)
4.(2023•内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B(1,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,3),点P是直线AC上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,过点P做x轴平行线交AC于点E,过点P做y轴平行线交x轴于点D,求PE+PD的最大值及点P的坐标;
(3)如图2,设点M为抛物线对称轴上一动点,当点P,点M运动时,在坐标轴上确定点N,使四边形PMCN为矩形,求出所有符合条件的点N的坐标.
5.(2022•内蒙古)如图,抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0),D(﹣2,﹣)两点,与x轴的另一个交点为A,与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B,C不重合),求使△MBC面积最大时M点的坐标,并求最大面积;(请在图1中探索)
(3)设点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.(请在图2中探索)
6.(2021•兴安盟)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A(,)和点B(4,m).抛物线与x轴的交点分别为H、K(点H在点K的左侧).点F在线段AB上运动(不与点A、B重合),过点F作直线FC⊥x轴于点P,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接AC,是否存在点F,使△FAC是直角三角形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图2,过点C作CE⊥AB于点E,当△CEF的周长最大时,过点F作任意直线l,把△CEF沿直线l翻折180°,翻折后点C的对应点记为点Q,求出当△CEF的周长最大时,点F的坐标,并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值.
三.平行四边形的判定与性质(共1小题)
7.(2022•内蒙古)如图,在平行四边形ABCD中,点O是AD的中点,连接BO并延长交CD的延长线于点E,连接BD,AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)若BD=CD,判断四边形ABDE的形状,并说明理由.
四.圆心角、弧、弦的关系(共1小题)
8.(2021•兴安盟)如图,AB是⊙O的直径,==2,连接AC、CD、AD.CD交AB于点F,过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E.
(1)求证:AC=CD;
(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.
五.相似形综合题(共1小题)
9.(2023•内蒙古)已知正方形ABCD,E是对角线AC上一点.
(1)如图1,连接BE,DE.求证:△ABE≌△ADE;
(2)如图2,F是DE延长线上一点,DF交AB于点G,BF⊥BE.判断△FBG的形状并说明理由;
(3)在第(2)题的条件下,BE=BF=2.求的值.
六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)
10.(2023•内蒙古)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处,测得河流右岸D处的俯角为30°,线段AM=24米为无人机距地面的铅直高度,点M,C,D在同一条直线上,其中tanα=2.求河流的宽度CD(结果精确到1米,参考数据:≈1.7).
11.(2022•内蒙古)在一次综合实践活动中,某小组对一建筑物进行测量.如图,在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°,沿山坡向上走20m到达D处,测得建筑物顶端B的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4,即tanθ=,请你帮助该小组计算建筑物的高度AB.
(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.732)
七.频数(率)分布直方图(共2小题)
12.(2023•内蒙古)为了激发学生的航天兴趣,某校举行了太空科普知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分为如下5组,A组:75≤x<80,B组:80≤x<85,C组:85≤x<90,D组:90≤x<95,E组:95≤x≤100,并绘制了如图不完整的统计图表.请结合统计图表,解答如下问题:
(1)本次调查的样本容量为 ,学生成绩统计表中m= ;
(2)所抽取学生成绩的中位数落在 组;
(3)求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数;
(4)若成绩在90分及以上为优秀,学校共有2000名学生,估计该校成绩优秀的学生有多少名?
学生成绩统计表
组别
成绩x
频数
A
75≤x<80
20
B
80≤x<85
m
C
85≤x<90
144
D
90≤x<95
45
E
95≤x≤100
n
13.(2021•兴安盟)某校九年级在“停课不停学”期间,为促进学生身体健康,布置了“云健身”任务.为了解学生完成情况,体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试,他的测试结果与分析过程如下:
(1)收集数据:两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下(二班一个数据不小心被墨水遮盖):
一班:100 94 86 86 84 94 76 69 59 94
二班:99 96 82 96 79 65 96 55 96
(2)整理、描述数据:根据上面得到的两组数据,分别绘制了频数分布直方图如图;
(3)分析数据:两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示:
班级
平均数
众数
中位数
方差
一班
①
94
86
147.76
二班
83.7
96
②
215.21
根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图;
(4)得出结论:根据以上信息,判断哪班完成情况较好?说明理由(至少从两个不同角度说明判断的合理性).
八.列表法与树状图法(共1小题)
14.(2021•兴安盟)一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球,上面分别标有数字﹣2,0.3,,0.
(1)从口袋中随机摸出一个小球,求摸出的小球上的数字是分数的概率(直接写出结果);
(2)从口袋中一次随机摸出两个小球,摸出的小球上的数字分别记作x、y,请用列表法(或树状图)求点(x,y)在第四象限的概率.
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参考答案与试题解析
一.一次函数的应用(共3小题)
1.(2023•内蒙古)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元,某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同.
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价;
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售,经调查了解到有A,B两个厂家可供选择,两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案:
A厂家:一律打8折出售.
B厂家:若一次性购买礼盒数量超过25盒,超过的部分打7折.
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒,设去A厂家购买应付y1元,去B厂家购买应付y2元,其函数图象如图所示:
①分别求出y1,y2与x之间的函数关系;
②若该商家只在一个厂家购买,怎样买划算?
【答案】(1)50,40元;
(2)①y1=32x,y2=;
②该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒,从A厂家购买比较划算;若等于75盒,从A和B两个厂家任选一家即可;若超过75盒,从B厂家购买比较划算.
【解答】解:(1)设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为x元和y元.
根据题意,得,解得.
∴每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元40元.
(2)①根据题意,得:
y1=0.8×40x=32x;
当x≤25时,y2=40x;
当x>25时,y2=25×40+0.7×40(x﹣25)=28x+300.
综上,y1=32x;y2=.
②设y1和y2两函数图象交点的横坐标为x,则32x=28x+300,解得x=75.
根据函数图象可知:
当x<75时,y1<y2;
当x=75时,y1=y2;
当x>75时,y2<y1.
∴该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒,从A厂家购买比较划算;若等于75盒,从A和B两个厂家任选一家即可;若超过75盒,从B厂家购买比较划算.
2.(2022•内蒙古)某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品.若购进A种纪念品10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品3件,需要550元.
(1)求购进A、B两种纪念品的单价;
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍,且购进B种纪念品数量不少于20件,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?求出最大利润.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)设该商店购进A种纪念品每件需a元,购进B种纪念品每件需b元,
由题意,得,
解得,
∴该商店购进A种纪念品每件需50元,购进B种纪念品每件需100元;
(2)设该商店购进A种纪念品x个,购进B种纪念品y个,
根据题意,得50x+100y=10000,
由50x+100y=10000得x=200﹣2y,
把x=200﹣2y代入x≥6y,解得y≤25,
∵y≥20,
∴20≤y≤25且为正整数,
∴y可取得的正整数值是20,21,22,23,24,25,
与y相对应的x可取得的正整数值是160,158,156,154,152,150,
∴共有6种进货方案;
(3)设总利润为W元,
则W=20x+30y=﹣10y+4000,
∵﹣10<0,
∴W随y的增大而减小,
∴当y=20时,W有最大值,W最大=﹣10×20+4000=3800(元),
∴当购进A种纪念品160件,B种纪念品20件时,可获得最大利润,最大利润是3800元.
3.(2021•兴安盟)移动公司推出A,B,C三种套餐,收费方式如表:
套餐
月保底费(元)
包通话时间(分钟)
超时费(元/分钟)
A
38
120
0.1
B
58
360
0.1
C
118
不限时
设月通话时间为x分钟,A套餐,B套餐的收费金额分别为y1元,y2元.其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示.
(1)结合表格信息,求y1与x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)结合图象信息补全表格中B套餐的数据;
(3)选择哪种套餐所需费用最少?说明理由.
【答案】(1);
(2)58,360,0.1;
(3)当0≤x≤320 时,A套餐所需费用最少;当320<x≤960时,B套餐所需费用最少;当x>960 时,C套餐所需费用最少.
【解答】解:(1)当0≤x≤120 时,y1=38;
当x>120时,y1=38+0.1(x﹣120)=0.1x+26,
∴;
(2)由图象可知,当月保底费为58元;包通话时间360分钟;超时费:(70﹣58)÷(480﹣360)=0.1(元),
故答案为:58,360,0.1;
(3)当x>360时,设:y2=kx+b,
又∵图象过点(360,58),(480,70)两点,
∴,
解得,
∴y2=0.1x+22;
∴;
当y1=58,0.1x+26=58,
解得x=320,
∴当x=320 时,A、B套餐所需费用一样多,都比C套餐花费少;
当0≤x<320 时,A套餐所需费用最少.
当y2=118时,0.1x+22=118,
解得x=960,
当x=960 时,B、C套餐所需费用一样多,都比A套餐花费少;
当320<x<960时,B套餐所需费用最少.
当x>960 时,C套餐所需费用最少,
综上所述:当0≤x≤320 时,A套餐所需费用最少;
当320<x≤960时,B套餐所需费用最少;
当x>960 时,C套餐所需费用最少.
二.二次函数综合题(共3小题)
4.(2023•内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B(1,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,3),点P是直线AC上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,过点P做x轴平行线交AC于点E,过点P做y轴平行线交x轴于点D,求PE+PD的最大值及点P的坐标;
(3)如图2,设点M为抛物线对称轴上一动点,当点P,点M运动时,在坐标轴上确定点N,使四边形PMCN为矩形,求出所有符合条件的点N的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;
(2)PD+PE取最大值,P(﹣,);
(3)N点坐标为(0,4).
【解答】解:(1)把B(1,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c得:
,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)在y=﹣x2﹣2x+3中,令y=0得0=﹣x2﹣2x+3,
解得x=﹣3或x=1,
∴A(﹣3,0),
由A(﹣3,0),C(0,3)得直线AC解析式为y=x+3,
设P(t,﹣t2﹣2t+3),则D(t,0),E(﹣t2﹣2t,﹣t2﹣2t+3),
∴PD+PE=﹣t2﹣2t+3+(﹣t2﹣2t)﹣t=﹣2t2﹣5t+3=﹣2(t+)2+,
∵﹣2<0,
∴当t=﹣时,PD+PE取最大值,
此时P(﹣,);
(3)设M(﹣1,m),P(t,﹣t2﹣2t+3),
设PC的中点为K(t,﹣t2﹣t+3),
∵N点、M点的中点为K,
∴N(t+1,﹣t2﹣2t+6﹣m),
∵N点在坐标轴上,
∴t+1=0或﹣t2﹣2t+6﹣m=0,
当t=﹣1时,此时PM∥y轴,
∵四边形PMCN是矩形,
∴PM⊥MC,
∴M(﹣1,3),
∴N(0,4);
当m=t2+2t﹣6=(t+1)2﹣7时,
∵P点在直线AC上方,
∴﹣3<t<0,
∴﹣7≤m<﹣3,
当P点与A点重合时,m=,
∴m>,
∴此时M点不存在,
综上所述:N点坐标为(0,4).
5.(2022•内蒙古)如图,抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0),D(﹣2,﹣)两点,与x轴的另一个交点为A,与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B,C不重合),求使△MBC面积最大时M点的坐标,并求最大面积;(请在图1中探索)
(3)设点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.(请在图2中探索)
【答案】(1)y=﹣x2+x+,C(0,);
(2)△MBC的面积有最大值,M(,);
(3)(2,)或(﹣4,﹣)或(4,﹣).
【解答】解:(1)将B(3,0),D(﹣2,﹣)代入y=ax2+x+c,
∴,
解得,
∴y=﹣x2+x+,
令x=0,则y=,
∴C(0,);
(2)作直线BC,过M点作MN∥y轴交BC于点N,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴y=﹣x+
设M(m,﹣m2+m+),则N(m,﹣m+),
∴MN=﹣m2+m,
∴S△MBC=•MN•OB=﹣(m﹣)2+,
当m=时,△MBC的面积有最大值,
此时M(,);
(3)令y=0,则﹣x2+x+=0,
解得x=3或x=﹣1,
∴A(﹣1,0),
设Q(0,t),P(m,﹣m2+m+),
①当AB为平行四边形的对角线时,m=3﹣1=2,
∴P(2,);
②当AQ为平行四边形的对角线时,3+m=﹣1,
解得m=﹣4,
∴P(﹣4,﹣);
③当AP为平行四边形的对角线时,m﹣1=3,
解得m=4,
∴P(4,﹣);
综上所述:P点坐标为(2,)或(﹣4,﹣)或(4,﹣).
6.(2021•兴安盟)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A(,)和点B(4,m).抛物线与x轴的交点分别为H、K(点H在点K的左侧).点F在线段AB上运动(不与点A、B重合),过点F作直线FC⊥x轴于点P,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接AC,是否存在点F,使△FAC是直角三角形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图2,过点C作CE⊥AB于点E,当△CEF的周长最大时,过点F作任意直线l,把△CEF沿直线l翻折180°,翻折后点C的对应点记为点Q,求出当△CEF的周长最大时,点F的坐标,并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值.
【答案】(1);
(2)存在点 F(3,5)或(,);
(3)当时,CF最大即△FEC的周长最大,此时F点坐标为,折叠过程中,KQ的最大值为,
KQ的最小值为.
【解答】解:(1)∵直线y=x+2过点B(4,m),
∴m=4+2,
解得m=6,
∴B(4,6),
把点A和B代入抛物线的解析式,得:
,
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)存在点F,使△FAC为直角三角形,
设F(n,n+2),直线AB与x轴交于M,则M(﹣2,0),直线AB与y轴交于点N,则N(0,2),
∵FC∥y轴,
∴C(n,2n2﹣8n+6),
∵直线y=x+2与x轴的交点为M(﹣2,0),与y轴交点为N(0,2),
∴OM=ON=2,
∴∠ONM=45°,
∵FC∥y轴,
∴∠AFC=∠ONM=45°,
若△FAC为直角三角形,则分两种情况讨论:
(i)若点A为直角顶点,即∠FAC=90°,
过点A作AD⊥FC于点D,
在Rt△FAC中,
∵∠AFC=45°,
∴AF=AC,
∴DF=DC,
∴AD=FC,
∵n=,
化简得:2n2﹣7n+3=0,
解得:n1=3,(与A重合舍去),
∴F(3,5),
(ii)若点C为直角顶点,即∠FCA=90°,则AC∥x轴,
在Rt△FAC中,
∵∠AFC=45°,
∴AC=CF,
∴n=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6,
化简得:4n2﹣16n+7=0,
解得:,(舍去),
∴F(,),
综上所述:存在点 F(3,5)或(,),使△FAC为直角三角形;
(3)设F(c,c+2),
∵FC∥y轴,
∴C(c,2c2﹣8c+6),
在Rt△FEC中,
∵∠AFC=45
∴EF=EC=CF•sin∠AFC=,
∴当CF最大时,△FEC的周长最大,
∵CF=(c+2)﹣(2c2﹣8c+6)=﹣2c2+9c﹣4=,
又∵﹣2<0,
∴当时,CF最大即△FEC的周长最大,此时F点坐标为,
折叠过程中,当K,F,Q共线,且K和Q在F两侧时,KQ的最大,K和Q在F同侧时,KQ的最小,
∵CF=,
由(1)知点K的坐标为(3,0),
∴KF=,
∴KQ的最大值为CF+KF=,KQ的最小值为CF﹣KF=.
三.平行四边形的判定与性质(共1小题)
7.(2022•内蒙古)如图,在平行四边形ABCD中,点O是AD的中点,连接BO并延长交CD的延长线于点E,连接BD,AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)若BD=CD,判断四边形ABDE的形状,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2)菱形,理由见解析.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABO=∠DEO,
∵点O是边AD的中点,
∴AO=DO,
在△ABO和△DEO中,
,
∴△ABO≌△DEO(AAS),
∴OB=OE,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)解:四边形ABDE是菱形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵BD=CD,
∴AB=BD,
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴平行四边形ABDE是菱形.
四.圆心角、弧、弦的关系(共1小题)
8.(2021•兴安盟)如图,AB是⊙O的直径,==2,连接AC、CD、AD.CD交AB于点F,过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E.
(1)求证:AC=CD;
(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.
【答案】(1)见解析;
(2)2.
【解答】证明:(1)∵==2,
∴AD=CD,B是CD的中点,
∵AB是直径,
∴AD=AC,
∴AC=CD;
(2)如图,连接BD,
∵AD=DC=AC,
∴∠ADC=∠DAC=60°,
∵CD⊥AB,
∴∠DAB=∠DAC=30°,
∵BM切⊙O于点B,AB是直径,
∴BM⊥AB,
∵CD⊥AB,
∴BM∥CD,
∴∠AEB=∠ADC=60°,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDE中,
∵∠DBE=90°﹣∠DEB=30°,
∴BE=2DE=4,
∴BD===2,
在Rt△BDA中,
∵∠DAB=30°,
∴AB=2BD=4,
∴OB=AB=2,
在Rt△OBE中,OE===2.
五.相似形综合题(共1小题)
9.(2023•内蒙古)已知正方形ABCD,E是对角线AC上一点.
(1)如图1,连接BE,DE.求证:△ABE≌△ADE;
(2)如图2,F是DE延长线上一点,DF交AB于点G,BF⊥BE.判断△FBG的形状并说明理由;
(3)在第(2)题的条件下,BE=BF=2.求的值.
【答案】(1)证明见解答;
(2)△FBG是等腰三角形,理由见解答;
(3)的值为﹣1.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45°,
在△ABE和△ADE中,
,
∴△ABE≌△ADE(SAS).
(2)解:△FBG是等腰三角形,理由如下:
∵△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE,
∴∠ABC﹣∠ABE=∠ADC﹣∠ADE,
∴∠EBC=∠EDC,
∵AB∥CD,
∴∠FGB=∠EDC,
∴∠FGB=∠EBC,
∵BF⊥BE,
∴∠FBE=90°,
∴∠FBG=∠EBC=90°﹣∠ABE,
∴∠FGB=∠FBG,
∴BF=GF,
∴△FBG是等腰三角形.
(3)解:∵BE=BF=2,∠FBE=90°,
∴∠F=∠BEF=45°,
∴∠BAC=∠F,
∴∠AEG=∠AGF﹣∠BAC=∠AGF﹣∠F=∠FBG,
∵∠AGE=∠FGB,且∠FGB=∠FBG,
∴∠AGE=∠AEG,
∴AE=AG,
∵EF===2,BF=GF=2,
∴GE=EF﹣GF=2﹣2,
∵△ABE≌△ADE,
∴BE=DE=2,
∵AG∥CD,
∴△AGE∽△CDE,
∴===﹣1,
∴=﹣1,
∴的值为﹣1.
六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)
10.(2023•内蒙古)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处,测得河流右岸D处的俯角为30°,线段AM=24米为无人机距地面的铅直高度,点M,C,D在同一条直线上,其中tanα=2.求河流的宽度CD(结果精确到1米,参考数据:≈1.7).
【答案】64米.
【解答】解:过点B作BE⊥MD于点E.则四边形AMEB是矩形.
∴BE=AM=24,ME=AB=12米,
∵AF∥MD,
∴∠ACM=α.
在Rt△AMC中,∠AMC=90°,
∴tanα==2,
∴=2,
∴MC=12米,
在Rt△BDE中,∠BED=90°,∠DBE=90°﹣30°=60°,
∴tan∠DBE=,
∴tan60°==,
∴DE=24=72(米),
CD=DE﹣CE=DE﹣(MC﹣ME)=72﹣(12﹣12)=84﹣12≈84﹣12×1.7=84﹣20.4=64(米).
答:河流的宽度CD约为64米.
11.(2022•内蒙古)在一次综合实践活动中,某小组对一建筑物进行测量.如图,在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°,沿山坡向上走20m到达D处,测得建筑物顶端B的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4,即tanθ=,请你帮助该小组计算建筑物的高度AB.
(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.732)
【答案】建筑物的高度AB约为31.9米.
【解答】解:过点D作DE⊥AC,垂足为E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,
则DE=AF,DF=AE,
在Rt△DEC中,tanθ==,
设DE=3x米,则CE=4x米,
∵DE2+CE2=DC2,
∴(3x)2+(4x)2=400,
∴x=4或x=﹣4(舍去),
∴DE=AF=12米,CE=16米,
设BF=y米,
∴AB=BF+AF=(12+y)米,
在Rt△DBF中,∠BDF=30°,
∴DF===y(米),
∴AE=DF=y米,
∴AC=AE﹣CE=(y﹣16)米,
在Rt△ABC中,∠ACB=60°,
∴tan60°===,
解得:y=6+8,
经检验:y=6+8是原方程的根,
∴AB=BF+AF=18+8≈31.9(米),
∴建筑物的高度AB约为31.9米.
七.频数(率)分布直方图(共2小题)
12.(2023•内蒙古)为了激发学生的航天兴趣,某校举行了太空科普知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分为如下5组,A组:75≤x<80,B组:80≤x<85,C组:85≤x<90,D组:90≤x<95,E组:95≤x≤100,并绘制了如图不完整的统计图表.请结合统计图表,解答如下问题:
(1)本次调查的样本容量为 400 ,学生成绩统计表中m= 176 ;
(2)所抽取学生成绩的中位数落在 C 组;
(3)求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数;
(4)若成绩在90分及以上为优秀,学校共有2000名学生,估计该校成绩优秀的学生有多少名?
学生成绩统计表
组别
成绩x
频数
A
75≤x<80
20
B
80≤x<85
m
C
85≤x<90
144
D
90≤x<95
45
E
95≤x≤100
n
【答案】(1)400,176;
(2)C;
(3)13.5°;
(4)300名.
【解答】解:(1)本次调查的样本容量为144÷36%=400(人),学生成绩统计表中m=400×44%=176,
故答案为:400,176;
(2)∵B组的人数为176人,
∴所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数,A,B组的人数和为:20+176=196,C组人数为144,
∴所抽取学生成绩的中位数落在C组;
故答案为:C;
(3)∵n=400﹣20﹣176﹣144﹣45=15,
∴360°×=13.5°,
答:扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数13.5°;
(4)2000×=300(名).
答:估计该校成绩优秀的学生有300名.
13.(2021•兴安盟)某校九年级在“停课不停学”期间,为促进学生身体健康,布置了“云健身”任务.为了解学生完成情况,体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试,他的测试结果与分析过程如下:
(1)收集数据:两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下(二班一个数据不小心被墨水遮盖):
一班:100 94 86 86 84 94 76 69 59 94
二班:99 96 82 96 79 65 96 55 96
(2)整理、描述数据:根据上面得到的两组数据,分别绘制了频数分布直方图如图;
(3)分析数据:两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示:
班级
平均数
众数
中位数
方差
一班
①
94
86
147.76
二班
83.7
96
②
215.21
根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图;
(4)得出结论:根据以上信息,判断哪班完成情况较好?说明理由(至少从两个不同角度说明判断的合理性).
【答案】(3)84.2,89,补全的二班的频数分布直方图见解答;
(4)一班完成情况较好,理由见解答.
【解答】解:(3)表格中①对应的数据为:=84.2,
由(1)中二班的数据和(2)中二班对应的频数分布直方图可得,表格中②对应的数据是(82+96)÷2=89,
由二班的平均数是83.7可得,被墨水遮盖的数据是:83.7×10﹣(99+96+82+96+79+65+96+55+96)=837﹣764=73,
则二班60~70对应的频数是1,70~80对应的频数是2,补全的频数分布直方图如图所示;
(4)一班完成情况较好,
理由:一班的平均数高于二班,说明一班的成绩好于二班;一班的方差小于二班,说明一班的同学成绩波动小,大部分同学都在参加锻炼,故一班的完成情况好.
八.列表法与树状图法(共1小题)
14.(2021•兴安盟)一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球,上面分别标有数字﹣2,0.3,,0.
(1)从口袋中随机摸出一个小球,求摸出的小球上的数字是分数的概率(直接写出结果);
(2)从口袋中一次随机摸出两个小球,摸出的小球上的数字分别记作x、y,请用列表法(或树状图)求点(x,y)在第四象限的概率.
【答案】(1);(2).
【解答】解:(1)P(分数)==;
(2)列表得;
﹣2
0.3
0
﹣2
(0.3,﹣2)
(,﹣2)
(0,﹣2)
0.3
(﹣2,0.3)
(,0.3)
(0,0.3)
(﹣2,)
(0.3,)
(0,)
0
(﹣2,0)
(0.3,0)
(,0)
共出现12种等可能结果,其中点在第四象限的有2种(0.3,﹣2)、(0.3,),
∴P(第四象限)=.
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