内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共37页。试卷主要包含了阅读理解，定义，【生活情境】，已知，数学课上，有这样一道探究题，数学兴趣小组探究了以下几何图形等内容，欢迎下载使用。
内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2021•赤峰）阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为（2，0）．
①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为 　 　；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．

二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是 　 　；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 　 　，直线GH的解析式是y2＝　 　，y1＞y2时，x的取值范围是 　 　；
（3）如图②，已知点A，B是抛物线y＝﹣x2+x+上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．

3．（2022•赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　 　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　 　m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　 　，此时的x（m）值是 　 　；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　 　；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
4．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　 　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

三．四边形综合题（共1小题）
5．（2022•赤峰）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 　 　；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．


四．直线与圆的位置关系（共1小题）
6．（2021•赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且＝，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．

五．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2022•赤峰）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．

六．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023•赤峰）已知：如图，点M在∠AOB的边OA上．
求作：射线MN，使MN∥OB，且点N在∠AOB的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D．
②分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P．
③画射线OP．
④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N．
⑤画射线MN．
射线MN即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠AON＝　 　．
∵OM＝MN．
∴∠AON＝　 　（ 　 　）．（括号内填写推理依据）
∴∠BON＝∠ONM．
∴MN∥OB（ 　 　）．（填写推理依据）

七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2021•赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　 　，β＝　 　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　 　，β＝　 　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：＝　 　（用含m、n的式子表示）；β＝　 　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


八．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值．

九．方差（共1小题）
11．（2023•赤峰）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
【分析数据】
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80，85
c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
（3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
一十．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2021•赤峰）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6＜t＜8、t≥8分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是 　 　．
A．随机抽取一个班的学生
B．从12个班中，随机抽取50名学生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
睡眠时间t（小时）
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数（人）
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是 　 　，　 　；
②估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．

内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2021•赤峰）阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为（2，0）．
①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为 　12　；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．

【答案】（1）①12；②y＝x﹣2或y＝﹣x+2；（2）﹣24＜k＜﹣6．
【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），
∴点A、B的“相关矩形”的周长为（4﹣2+4）×2＝12，
故答案为：12；
②∵若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，

∴C（4，2）或（4，﹣2），
设直线AC的关系式为：y＝kx+b
将（2，0）、（4，2）代入解得：k＝1，b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
将（2，0）、（4，﹣2）代入解得：k＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x+2，
∴直线AC的解析式为：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；
（2）∵点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2），
设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M（3，﹣2），N（6，﹣4），
当函数y＝的图象过M时，k＝﹣6，
当函数y＝的图象过N时，k＝﹣24，
若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则﹣24＜k＜﹣6．

二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是 　M1，M2　；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 　H（﹣2，﹣2）　，直线GH的解析式是y2＝　x　，y1＞y2时，x的取值范围是 　x＜﹣2或0＜x＜2　；
（3）如图②，已知点A，B是抛物线y＝﹣x2+x+上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．

【答案】（1）M1，M2；
（2）H（﹣2，﹣2），x，x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）△ABC是直角三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），
∴矩形ABCD的“梦之点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，
∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“梦之点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“梦之点”，
故答案为：M1，M2；
（2）∵点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“梦之点”，
∴把G（2，2）代入y1＝得k＝4，
∴y1＝，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在y＝x的图象上，联立，
解得或，
∴H（﹣2，﹣2），
∴直线GH的解析式为y2＝x，
∴y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2，
故答案为：H（﹣2，﹣2），x，x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵点A，B是抛物线y＝﹣上的“梦之点”，
∴，
解得或，
∴A（3，3），B（﹣3，﹣3），
∵y＝﹣＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点C（1，5），
∴AC2＝（3﹣1）2+（3﹣5）2＝8，AB2＝（﹣3﹣3）2+（﹣3﹣3）2＝72，BC2＝（﹣3﹣1）2+（﹣3﹣5）2＝80，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
3．（2022•赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　3≤x＜6　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　9　m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　C，E　，此时的x（m）值是 　1或4　；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　0＜x＜1或4＜x＜6　；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
又∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∵0＜x＜6，
∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2．
故答案为：3≤x＜6；9；
（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：
x+4＝﹣x2+6x，
解得：x＝1或4，
∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4．
故答案为：C，E；1或4；
（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积，
故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6；
（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，

则线段FG表示两个水池面积差，
设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4），
∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，FG有最大值为．
∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；
（5）∵水池3与水池2的面积相等，
∴y3＝y2，
即：x+b＝﹣x2+6x，
∴x2﹣5x+b＝0．
∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，
解得：b＝．
∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米．
4．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　y＝﹣x2﹣2x+3　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）E（﹣，）．
（3）存在．点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，AC＝3，
∵AC∥直线m，
∴当直线m的位置确定时，△ACH的面积是定值，
∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）；

（3）存在．如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，

对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
三．四边形综合题（共1小题）
5．（2022•赤峰）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 　AE＝BF　；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．


【答案】见试题解答内容
【解答】解：【问题一】∵正方形ABCD的对角线相交于点O，
∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
故答案为：AE＝BF；

【问题二】如图③，
连接OA，OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴S△AOB＝S正方形ABCD＝×82＝16，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAE＝∠OBG＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵m⊥n，
∴∠EOG＝90°，
∴∠AOE＝∠BOG，
∴△AOE≌△BOG（ASA），
∴S△AOE＝S△BOG，
∴S四边形OEAG＝S△AOE+S△AOG＝S△BOG+S△AOG＝S△AOB＝16；

【问题三】在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP＝90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ＝BE＝BC+CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝90°＝∠E，
∴∠EFP+∠EPF＝90，
∵∠AFP＝90°，
∴∠EFP+∠AFQ＝90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF＝EQ﹣EF＝4，
∴，
∴EP＝1，
∴BP＝BE﹣EP＝7；

②当∠APF＝90°时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE＝BE﹣BP＝8﹣BP，
∴，
∴BP＝2或BP＝6；

③当∠PAF＝90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6，
∴FN＝EN﹣EF＝4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM＝3，
∴BP＝3，
即BP的长度为2或3或6或7．



四．直线与圆的位置关系（共1小题）
6．（2021•赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且＝，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）AB是⊙O的切线，理由见解答过程；
（2）⊙O的半径为5．
【解答】解：（1）AB是⊙O的切线，
理由如下：
连接OB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵＝，OE是⊙O的半径，
∴OE⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠OEB+∠CBE＝90°，
∴∠ABD+∠OBE＝90°，
∴OB⊥AB，即AB是⊙O的切线；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，BD＝，
∴BM＝BD＝，AC⊥BD，
∵tan∠CBD＝，
∴CM＝BM＝，
∴BC＝＝8，
∵＝，OE是⊙O的半径，
∴BF＝BC＝4，
∵tan∠CBD＝，OE⊥BC，
∴EF＝BF＝2，
设⊙O的半径为r，则OF的长为r﹣2，
在Rt△OFB中，
OF2+BF2＝OB2，即（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径为5．

五．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2022•赤峰）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，点O为AB的中点，
∴CO⊥AB．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠DAC．
∵∠DCA＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA．
∴DA∥OC，
∴DA⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（ASA），
∴CD＝CF＝6，
∴CO＝CF+OF＝10．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝AC．
∵∠CEF＝∠COA＝90°，∠ECF＝∠OCA，
∴△CEF∽△COA，
∴，
∴，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，
∵cos∠OCA＝，
∴cos∠DAC＝cos∠OCA＝．
六．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023•赤峰）已知：如图，点M在∠AOB的边OA上．
求作：射线MN，使MN∥OB，且点N在∠AOB的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D．
②分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P．
③画射线OP．
④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N．
⑤画射线MN．
射线MN即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠AON＝　∠NOB　．
∵OM＝MN．
∴∠AON＝　∠ONM　（ 　等边对等角　）．（括号内填写推理依据）
∴∠BON＝∠ONM．
∴MN∥OB（ 　内错角相等，两直线平行　）．（填写推理依据）

【答案】（1）见解答；
（2）∠NOB．∠ONM，等边对等角，内错角相等，两直线平行．
【解答】（1）解：如图：
（2）证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠AON＝∠NOB．
∵OM＝MN．
∴∠AON＝∠ONM（等边对等角）．
∴∠BON＝∠ONM．
∴MN∥OB（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠NOB．∠ONM，等边对等角，内错角相等，两直线平行．

七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2021•赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　　，β＝　60°　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　　，β＝　45°　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：＝　　（用含m、n的式子表示）；β＝　　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


【答案】（1），60°，，45°，，，（2）．
【解答】解：（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，
当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，
由此，可归纳出，β＝∠ACB＝；
（2）当α＝120°，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．
八．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值．

【答案】【探究一】见解析；
【探究二】见解析；
【探究三】＝．
【解答】【探究一】证明：∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上，
∴CM＝CH，∠MCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MCH﹣∠MCN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MCN＝∠HCN，
在△CNM和△CNH中，
，
∴△CNM≌△CNH（SAS），
∴∠CNM＝∠CNH；
【探究二】证明：如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA＝45°，
∵∠MCN＝45°，
∴∠FBN＝∠FCE＝45°°，
∵∠EFC＝∠BFN，
∴∠CEF＝∠FNB，
∵∠CNM＝∠CNH，
∴∠CEF＝∠CNM，
∵公共角∠ECF＝∠NCM，
∴△CEF∽△CNM；
【探究三】解：∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠CDA+∠EDM＝135°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝135°，
∴∠CDE＝∠CAN，
∵∠MCN＝∠DCA＝45°，
∴∠MCN﹣∠DCN＝∠DCM﹣∠DCN，
即∠ECD＝∠NCA，
∴△ECD∽△NCA，
∴∠CED＝∠CNA，＝＝，
如图所示，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上，

∴MC＝GC，∠MCG＝90°，
∴∠∠NCG＝∠NCM＝45°，
∵CN＝CN，
∴△NCG≌△NCM（SAS），
∴∠MNC＝∠GNC，
∵∠CNA＝∠CEF，
∴∠CNM＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠NCM，
∴△ECF∽△NCM，
∴＝＝＝，
即＝．
九．方差（共1小题）
11．（2023•赤峰）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
【分析数据】
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80，85
c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　79　，b＝　79　，c＝　27　；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
（3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】（1）79，79，27；
（2）乙班成绩比较好，理由见解答；
（3）42人．
【解答】解：（1）甲班成绩从高到低排列为：70、71、72、78、79、79、85、86、89、91，故中位数a＝79；
众数b＝79，
乙班的方差为：[2×（85﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+（77﹣80）2+（73﹣80）2+（74﹣80）2+（90﹣80）2+（75﹣80）2]＝27；
故答案为：79，79，27；
（2）乙班成绩比较好，理由如下：
两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好；
（3）45×+40×＝42（人），
答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2021•赤峰）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6＜t＜8、t≥8分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是 　B　．
A．随机抽取一个班的学生
B．从12个班中，随机抽取50名学生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
睡眠时间t（小时）
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数（人）
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是 　7　，　7　；
②估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A、C、D不具有全面性，
故答案为：B；
（2）①这组数据的众数为7小时，中位数为＝7（小时），
故答案为：7，7；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间t≥8的人数大约为：12×50×＝144（人）；
（3）把样本中学生平均每天睡眠时间为5小时、5.5小时、6小时的4个学生分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，
∴抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率为＝．