新高考数学一轮复习基础巩固8.7 指数运算及指数函数（精讲）（含解析）

   8.7 指数运算及指数函数（精讲）（基础版）

考点一 指数的运算

【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简：

（1）

（2）(a>0，b>0).

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】1）原式

（2）原式＝.

（3）原式.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高三专题练习）计算：

(1)

(2)；

(3)

(4)求值：

【答案】(1)(2)(3)625(4)

【解析】由对数和指数的运算求解即可.

(1)

(2)

(3)原式

.

(4)

2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求下列各式的值：

(1)；(2)；(3)．

【答案】(1)(2)(3)

【解析】(1)因为，且，所以；

(2)因为，所以，则，因为，所以舍去）；

(3)解：.

3（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；

（2）已知是方程的两根，求的值.

【答案】（1）16；（2）．

【解析】（1）原式＝；

（2）由题意，，又，而，所以，

所以

，

考点二 指数函数的三要素

【例2-1】（2022大同期中）函数 是指数函数，则有（　　） 

A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1

【答案】C

【解析】由已知得 ，即 ，解得 。 故答案为：C

【例2-2】（2022赣州）函数 的值域为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知 ，

当且仅当 ，即 时等号成立，

所以 的值域是 ．故答案为：B．

【一隅三反】

1．（2022保山月考）若函数 是指数函数，则（　　）  

A． 或  B．

C． D． 且

【答案】C

【解析】由题意得 ，解得 . 故答案为：C

2．（2022湖北期末）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：

∴5．故答案为：B

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．

【答案】

【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，

当时，由，可得，解得，合乎题意.

故答案为：.

4．（2022·上海·高三开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】令，由题意得的值域为，

又的值域为，所以解得

所以的取值范围为．故答案为：

考点三 指数函数的性质

【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，

由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，

又在区间上是增函数，所以，故有.故选：B．

【例3-2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））设函数则满足的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】①当时，，此时，不合题意；

②当时，，可化为，所以，解得．

综上，实数的取值范围是．

故选：B．

【例3-3】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为.所以.

因为.所以.所以.故选：A.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．

2．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，又恒成立，即恒成立，

因为在上单调递减，所以，所以，即；

故选：B

3．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数存在反函数，

所以函数在上单调，

若单调递增，即，则在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上单调递增，所以，所以；

若单调递减，即，则在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上单调递增，所以，所以；综上可得；故选：D

4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．

【答案】

【解析】因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，

函数图象如图所示：

由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．

故答案为：

4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.

【答案】.

【解析】函数的定义域为R.

因为，所以，所以，即是奇函数.

因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.

所以可化为.

所以，解得：或.故答案为：.

考点四 指数函数的综合运用

【例4】（2022南京月考）已知函数 函数

（1）若 的定义域为R求实数m的范围. 

（2）若函数y=|f(x)-3|-k=0在区间[-2，1]上有且仅有1个解，求实数k的范围，

（3）是否存在实数a，b使得函数 的定义域为[a，b]且值域为[2a，2b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 

【答案】见解析

【解析】（1）解： 定义域为R， 

则 对任意 恒成立，

时， 不恒成立，

时， 且 ，解得 ；

综上，实数m的取值范围是 .

（2）解： 即 ，由方程有解可得 ， 

时， 仅有一解 ，满足题意；

时， ，

在 上单调递减，值域为 ，

则 仅有一个属于 ， 时 ，

时 ，

两式仅有一个成立可得 ；

综上k的范围是 .

（3）解：令 ； 

在 递增， 递减，

若 ，则 在 递增，则值域为 ，

此时 ， ，即a，b为 两解，

由 可得 ， ，满足 ；

若 ，则 在 递增， 递减，则 最大值为 ，

则 ，即 ，不满足 ；

若 ，可得 ，而 ，不满足值域为 ；

综上，存在 ， 满足题意.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（   ）

A．为偶函数 B．是增函数

C．不是周期函数 D．的最小值为

【答案】AD

【解析】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，

，所以函数为偶函数，正确；

选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错；

选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错；

选项D，由上推理知是奇函数，时， ，

时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确．

故选：AD．

2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ）

A．的图象关于坐标原点对称 B．的图象关于轴对称

C．的最大值为1 D．在定义域上单调递减

【答案】AD

【解析】因为，所以为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；

因为，，，所以不是偶函数，图象不关于轴对称，故不B正确；

因为，又，所以，所以，

所以，故C不正确；

因为，且为增函数，所以在定义域上单调递减，故D正确.

故选：AD

3．（2022张掖期末）已知函数 （ ）在区间 上有最大值 和最小值 .设 .

（1）求 ， 的值；

（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.

【答案】见解析

【解析】（1）解：∵ ，∴ 为开口向上的抛物线，对称轴为： ，在 上是减函数，∴ ，解得

（2）解： .

由于 则有 整理得

令 ，则 .

∵ ，∴

令 ， 则

∵ 有解，∴ .

故符合条件的实数 的取值范围是