新高考数学一轮复习基础巩固8.7 指数运算及指数函数（精练）（含解析）

8.7 指数运算及指数函数（精练）（基础版）

1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；

（2）若，求的值．

【答案】（1）-5；（2）14.

【解析】（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．

（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．

2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式：

（1）－－π0；

（2）

【答案】（1）0；（2）.

【解析】（1）原式＝.

（2）＝.

3．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】（1）原式

；

（2）原式；

（3）原式

；

（4）原式.

4（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：；

（2）化简：.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）原式；

（2）原式.

5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：

（1）；

（2）已知，，求.

【答案】（1）；（2）-12.

【解析】（1）原式，，，

（2）∵，

∴

∵，

∴，

∴，

又∵，

∵，

∴，

∴.

1．（2022张家口 ）函数 的值域为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】 故答案为：C．

2．（2022湖南）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（        ）  

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】不等式 恒成立，即 ，即 恒成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ， 故答案为：B.

3．（2022嫩江月考）（多选）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（　　） 

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】ACD

【解析】由指数函数的定义得a2-4a+4=1且a≠1，解得a=3.故答案为：ACD.
4．（2022长春月考）已知函数 ，则函数 的值域为(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当x<-1时，f(x)=x2-2>-1， 当x≥-1时，， 综上可得函数 的值域为 . 故答案为：B【分析】根据分段函数，结合二次函数与指数函数的值域求解即可.

5．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|(  ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
6．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A. 函数的定义域为，值域为R；

B. 函数的定义域为R，值域为；

C. 函数的定义域为R，值域为R；

D. 函数的定义域为，值域为，故选：C

7．（2022·江苏·矿大附中高三阶段练习）（多选）函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】由于，

，，，，

即函数的定义域为

当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确；

当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确；

即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误；

故选：ACD

6．（2022奉贤期中）指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为　     　．

【答案】

【解析】指数函数且的图象经过点，  所以  ，解得  ，

所以该指数函数的表达式为  ．故答案为：  ．

7．（2022定远月考）已知 ，且 ，若函数 在区间 上的最大值为10，则 　        　.  

【答案】 或

【解析】（1）若 ，则函数 在区间 上是递增的，

当 时， 取得最大值 ，即 ，

又 ，∴ .（2）若 ，则函数 在区间 上是递减的，

当 时， 取得最大值 ，

所以 .

综上所述， 的值为 或 .

故答案为： 或

1．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

所以，

显然在上单调递增，

所以，即实数的取值范围为.

故选：D

2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令,则.

因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递减.

而

所以在上有.

所以在上单调递减.

所以，即

故.故.

故选：D

3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a

【答案】C

【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，

又函数 在上单调递增，且，于是得，即，

所以a、b、c的大小关系为．

故选：C

4．（2023·全国·高三专题练习）三个数a＝0.42，b＝log20.3，c＝20.6之间的大小关系是（    ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【答案】C

【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，

∵log20.3＜log21＝0，∴b＜0，

∵20.6＞20＝1，∴c＞1，

∴b＜a＜c，

故选：C．

5．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】因为存在非零实数，使得成立，

所以有解，

化简有解，即有解.

因为，当且仅当，即时取等号，

因为，所以，，

所以.

故答案为：

6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】由题意得：有解

令

有解，即有解，显然无意义

,当且仅当，即时取等，

故答案为：.

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】当时，，

∴当时，，

当时，为增函数，

所以时，取得最大值，

∵对，使得，

∴，

∴，解得.

故答案为：.

8．（2022遂宁期末）已知方程 有两个不相等实根，则 的取值范围为　     　．  

【答案】

【解析】令 ，因为 ，所以 ，方程 ，即 ，因为 有两个不相等实根，所以方程 在 由两个不相等的实数根，令 ，则 在 时有两个零点，

所以 ，解得 ，

故答案为：

9（2022河北）．设函数f（x）=x（ex+ae﹣x），x∈R，是偶函数，则实数a=　     　． 

【答案】-1

【解析】∵函数f（x）=x（ex+ae﹣x），x∈R是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即（﹣x）•（e﹣x+aex）=x（ex+ae﹣x），  整理，得（a+1）•x•（1+e2x）=0．

∵x∈R，1+e2x＞0，∴a+1=0，故a=﹣1．故答案为﹣1．

10．（2022云南）要使函数y=1+2x+a•4x在（x∈（﹣∞，1]）有y＞0恒成立，则实数a的取值范围是　                                        　． 

【答案】（ ．，+∞）

【解析】设t=2x，因为x∈（﹣∞，1]，所以0＜t≤2． 

则原函数等价为y=1+t+at2，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at2＞0，所以 ．

设 ，则 ，因为0＜t≤2，所以 ，

所以 ，所以a＞ ．

故答案为：（ ．，+∞）．

1．（2022泗县开学考）已知函数 的定义域为 . 

（1）求 ； 

（2）当 时，求 的最小值. 

【答案】见解析

【解析】（1）解：∵由题可得 可解得 .

（2）∴ ， 

又 ， ，∴ .

①若 ，即 时， ，

②若 ，即 时，

所以当 ，即 时， .

∴ .

2（2022石家庄期末）设指数函数 ，幂函数 . 

（1）求 ； 

（2）设 ，如果存在 ，使得 ，求 的取值范围. 

【答案】见解析

【解析】（1）解：根据题意得： ，解得 .

（2）解：由（1）知 ， ， 

存在 ，使得 ，等价于当 时， ，

又 ，所以 ，

，

所以 ，解得： ，

所以

3．（2022浙江期中）已知函数 . 

（1）若 在 是增函数，求实数 的取值范围； 

（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 

【答案】见解析

【解析】（1） ，令 ，则 ，由 可得 ， 

由条件可知 在 是增函数.

当 时，结论显然成立；当 时，则 ，∴ .

综上， 的取值范围为 .

（2）由 可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ， ， 

因为 ，所以 ，∴ ，

所以 的范围是 .

4．（2022泰州月考）已知函数

（1）当 时，求满足 的 的取值：

（2）若函数 是定义在 上的奇函数

①存在 ，不等式 有解，求 的取值范围；

②若函数 满足 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题意， ，化简得 解得 （舍）或 ，

所以

（2）解：因为 是奇函数，所以 ，所以 化简并变形得： 要使上式对任意 的成立，则 或 解得： 或 ，因为 的定义域是 ，所以 舍去所以 ，所以

①

对任意 ， 有：因为 ，所以 ，所以

因此 在 上递减

因为 ，所以 即 在 时有解，所以 ，解得

所以 的取值范围为

②因为 ，所以

即 所以 不等式 恒成立，即 即 恒成立，令 ， ，则 在 时恒成立令 ， 时， ，所以 在 上单调递减 时， ，所以 在 上单调递增所以 ，所以

所以，实数 的最大值是6．