新高考数学一轮复习课时过关练习第04章 三角函数、解三角形第3节 三角恒等变换第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第04章 三角函数、解三角形第3节 三角恒等变换第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切 (含解析)，共17页。试卷主要包含了化简等内容，欢迎下载使用。
第3节　三角恒等变换
考试要求　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).


1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).

1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为cos＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
3.(2021·泰安模拟)＝(　　)
A.－ B.－1 C. D.1
答案　D
解析　原式＝2×
＝2×＝2sin 30°＝1.故选D.
4.(2022·南昌质检)若tan＝2，则tan＝(　　)
A.－2－ B.－
C.2＋ D.
答案　B
解析　tan＝tan＝tan＝＝＝－.故选B.
5.化简：＝________.
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
6.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
答案　
解析　因为α，β为锐角，且sin α＝＜，cos β＝＞，则cos α＝，
且α∈，sin β＝且β∈，
所以sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝×＋×＝.
又α＋β∈，所以α＋β＝.

第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切

考点一　公式的基本应用
1.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)
A. B.－ C.－ D.
答案　B
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
2.已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A.－ B. C. D.－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
3.(2021·德州一模)已知sin α＝sin＋，则cos的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　B
解析　由sin α＝sin＋，得sin α＝sin αcos ＋cos αsin ＋＝sin α＋cos α＋，则cos α－sin α＝－，即cos＝－.
4.若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，
可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，①
sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，②
由①＋②得2sin 2αcos β＝，
所以sin 2αcos β＝.
感悟提升　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
　考点二　公式的逆用及变形
角度1　公式的活用
例1 (1)(多选)(2021·聊城质检)下列选项中，值为的是(　　)
A.sin sin B.－cos215°
C.＋ D.cos 72°·cos 36°
答案　AD
解析　对于A，sinsin＝sin cos＝sin＝，故A正确；
对于B，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－，故B错误；
对于C，原式＝
＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，cos 36°·cos 72°
＝
＝＝＝，故D正确.综上，选AD.
(2)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
答案　2
解析　tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
角度2　辅助角公式的运用
例2 化简：(1)sin －cos ；
(2)cos 15°＋sin 15°；
(3)－；
(4)3sin x＋3cos x.
解　(1)法一　原式＝
2
＝2
＝－2cos＝－2cos ＝－.
法二　原式＝2
＝2
＝－2sin
＝－2sin ＝－.
(2)cos 15°＋sin 15°
＝(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝cos(45°－15°)＝×＝.
(3)原式＝
＝
＝.
＝＝4.
(4)3sin x＋3cos x
＝6
＝6
＝6sin.
感悟提升　1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
训练1 (1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
答案　－
解析　∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得
sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.
(2)函数f(x)＝cos x－sin－sin在[0，π]的值域为(　　)
A.[－1，1] B.[－2，1]
C.[－2，2] D.
答案　B
解析　f(x)＝cos x－sin x－cos x－sin x＋cos x＝cos x－sin x＝2cos.
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
则当x＋＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x＋＝时，函数取得最大值2cos＝2×＝1，
即函数的值域为[－2，1].
　考点三　角的变换问题
例3 (1)已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以cos α＝，cos(β－α)＝，所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝＝，所以β＝.
(2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
答案　－
解析　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－＜0，
所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－.
(3)(2022·沈阳质量监测)若sin＝，则sin＝________.
答案　－
解析　法一　因为cos
＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝，cos＝sin＝sin＝－sin＝，
所以sin＝－.
法二　因为cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝，
cos＝(cos 2θ－sin 2θ)，
sin＝(sin 2θ－cos 2θ)，
所以sin＝－cos＝－.
感悟提升　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
训练2 (1)已知α为锐角，且cos＝，则cos α的值为________.
答案　
解析　∵0＜α＜，∴＜α＋＜，
∴sin＝，
∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝.
(2)若0