第03讲 简单的三角恒等变换（第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式）（解析版）练习题

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第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式  [A级　基础练]1.若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)A．－  B.  C．－  D.解析：选C.因为sin θ＝cos(2π－θ)＝cos θ，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.2．已知，则（     ）A．       B．      C．       D．【答案】A【解析】因为，所以，选A. 3.的值为(　　)A．   B．C．－   D．－解析：选B.原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝.4．若，，，，则（    ） A．     B．     C．    D．【答案】C【解析】，而，，因此，，则，故选C．5．（多选）如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则下列结论正确的是（     ）A．cos(α－β)=              B．cos(α－β)= C．cos(α+β)=         D．cos(α+β)=【答案】AD【解析】因为A点的纵坐标为，点B的横坐标为，所以sin α＝，cosβ＝．因为α，β为锐角，所以cosα＝，sin β＝．所以cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sin αsinβ＝×＋×＝． cos(α+β)＝cosα·cosβ-sin αsin β＝××＝． 6．（2020·山东青岛二模）已知，则__________.【答案】【解析】由题. 7．已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.答案：8．（2020·山东滨州三模）已知，，则________，________．【答案】；    【解析】由已知得，，将上述两式两边同时平方后相加可得，整理得，即，又由已知，则，又，所以，则，． 9．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．解：因为tan α＝，所以tan 2α＝＝＝.且＝，即cos α＝2sin α.又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1.又α∈，所以sin α＝，cos α＝.所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝－.10．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.又因为tan(α－β)＝－<0，所以－<α－β<0，即sin(α－β)＝－cos(α－β)，又sin2 (α－β)＋cos2(α－β)＝1，解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝，因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝.[B级　综合练]11．已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin＝(　　)A．－   B．  C．－   D．解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sin·cos ＝－.12．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．解析：因为coscos＝＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.所以cos 2θ＝.故sin4θ＋cos4θ＝＋＝＋＝.答案：13．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－或cos β＝.14．已知函数f(x)＝sin，x∈R.(1)求f的值；(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．解：(1)f＝sin＝sin＝－.(2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝×＝.[C级　创新练]15．(2020·湖南岳阳一中月考)黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2cos 72°.若n＝cos 36° cos 72°cos 144°，则mn＝(　　)A．－1  B.  C．－  D．1解析：选C.因为m＝2cos 72°，n＝cos 36°cos 72°cos 144°，所以mn＝2cos 72°cos 36°cos 72°cos 144°＝2sin 18°·cos 36°cos 72°cos 144°＝＝＝＝＝＝＝－，即mn＝－.故选C.16．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，所以即≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin.因为≤α≤π，所以≤α＋≤，所以－1≤sin≤1，即取值范围为[－1，1]．答案：[－1，1]