数学选择性必修 第一册1.2 等差数列图文课件ppt

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1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质,利用性质解决相关问题;2.掌握利用等差数列的知识解决一些简单的应用问题的方法.
基础落实·必备知识全过关
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1.等差数列的项与项数之间的关系
2.从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.
3.若{an}是公差为d的等差数列,则①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;③{an+an+k}(k为常数,k∈N+)是公差为2d的等差数列.4.若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若{an}是各项均为负数的等差数列,则{|an|}也是等差数列.(　　)(2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列.(　　)(3)若一个数列是摆动数列,则该数列不可能是等差数列.(　　)2.若{an}为等差数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)是am+an=ap+aq成立的充要条件吗?如果不是,是什么条件?
提示不是,如{an}是常数列,若am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N+),则m+n=p+q不一定成立.故m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)是am+an=ap+aq成立的充分而不必要条件.
探究点一 等差数列性质的应用
【例1】 (1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.
解 (1)(方法1)设{an}的公差为d,
(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
规律方法　等差数列运算的两种常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差数列中项数的特点,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.
变式训练1(1)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=8,则a3+a15=(　　)A.8D.8(n-1)
解析 因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=8,所以a3+a15=2a9=2×8=16.
(2)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且数列{an}的公差是d1=5,若a1=15,b1=25,a2+b2=60,那么数列{bn}的公差为　　　　　. 
解析 设等差数列{bn}的公差为d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn) =d1+d2,所以数列{an+bn}仍然是等差数列.又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=60-(15+25)=20,结合d1=5可知d2=15.
探究点二 等差数列中项的设法
【例2】 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.分析 由于已知条件中涉及四个数成等差数列,因此可以设出数列的公差与首项,列方程组求解,也可以利用对称思想设出四个数,结合已知条件求解.
解 (方法1)设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得
故这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.(方法2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得
变式探究将本例题中的条件改为“已知三个数成等差数列,若这三个数的和为6,积为-24”,求此数列.
规律方法　1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列.2.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:a-d,a+d,公差为2d;(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a-d,a,a+d,公差为d;(3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d.
探究点三 等差数列的实际应用
【例3】 现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为　　　　　升. 
规律方法　解答数列实际应用问题的基本步骤
变式训练2《九章算术》有如下问题:“今有金棰,长五尺.斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金棰,长五尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下一尺,重4斤;在细的一端截下一尺,重2斤.问各尺依次重多少?”按这一问题的题设,假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的质量是(　　)
解析 由题意可设金棰由粗到细各尺质量构成的等差数列为{an},首项
1.知识清单:等差数列的性质:等差数列的项与项数之间的关系,若{an}是等差数列,则{c+an}(c为任一常数)、{can}(c为任一常数)、{an+an+k}(k为常数,k∈N+)均为等差数列.2.方法归纳:利用对称性设等差数列的项,建立等差数列模型解决问题.3.注意事项:若{an}是等差数列,且m+n=p(m,n,p均为正整数),则am+an≠ap,将实际问题转化为等差数列模型要注意条件.
1.在等差数列{an}中,若a1=8,a3+a5=10,则a7=(　　)A.8D.14
解析 由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5.因为a1=8,a3+a5=10,所以a7=2.
2.在等差数列{an}中,a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,则a3的值为(　　)A.2B.3C.±2D.
解析 因为在等差数列{an}中,a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,所以a2+a4=3,所以 .故选D.
3.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　)A.7B.5C.3D.1
解析 2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.
4.由公差为d(d≠0)的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,则下列说法正确的是(　　)A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列
解析 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
5.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40=　　　　　. 
解析 由等差数列的性质可知,a10,a20,a30,a40成等差数列.故由a10=30,a20=50,可得a30=70,a40=90.