2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题30正弦定理和余弦定理（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题30正弦定理和余弦定理（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

专题30正弦定理和余弦定理
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：利用正弦定理、余弦定理解三角形
题型二：判断三角形的形状
题型三：与三角形面积有关的问题
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【考点预测】
1．正弦定理与余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)asin B
＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
3．三角形解的判断

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A0，所以BD＝b.
(2)解　法一　如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，
所以＝＝2，
＝，
所以BE＝，DE＝a.
在△BDE中，cos∠BED＝
＝＝
＝.
在△ABC中，cos∠ABC＝
＝＝.
因为∠BED＝π－∠ABC，
所以cos∠BED＝－cos ∠ABC，
所以＝－，
化简得3c2＋6a2－11ac＝0，
方程两边同时除以a2，
得3－11＋6＝0，
解得＝或＝3.
当＝，即c＝a时，cos ∠ABC＝＝＝；
当＝3，即c＝3a时，
cos ∠ABC＝＝＝>1(舍).
综上，cos ∠ABC＝.
法二　因为＝2，
所以＝＋，
所以2＝2＋·＋2.
因为BD＝b，
所以b2＝a2＋accos∠ABC＋c2，
所以9b2＝4a2＋4accos∠ABC＋c2.①
又b2＝ac＝a2＋c2－2accos∠ABC，②
所以①－②，得8ac＝3a2＋6accos∠ABC，
所以cos∠ABC＝＝－.
由①②知
所以11＝＋，
所以6－11×＋3＝0，解得＝或＝.
当＝时，cos∠ABC＝－＝；
当＝时，cos∠ABC＝－＝(不合题意，舍去).
所以cos∠ABC＝.
【典例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.
(1)求A；
(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a.
【解析】(1)根据正弦定理，
由bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C，
可得bc＋a2＝b2＋c2，
即bc＝b2＋c2－a2，
由余弦定理可得，cos A＝＝，
因为A为三角形内角，所以A＝.
(2)因为D是线段BC的中点，c＝2，AD＝，
所以∠ADB＋∠ADC＝π，
则cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，
整理得a2＝2b2－44，
又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4－2b，
所以b2＋4－2b＝2b2－44，
解得b＝6或b＝－8(舍)，
因此a2＝2b2－44＝28，
所以a＝2.
【题型二】判断三角形的形状
【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
故选B.
【典例2】(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
【解析】∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
故选ACD.
【典例3】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
【解析】因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cos C＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形.
故选B．
【题型三】与三角形面积有关的问题
【典例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
【解析】法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.
【典例2】在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．
【解析】因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin＝.
【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin－asin C＝0.
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面积为，周长为6，求a的值．
【解析】(1)因为csin－asin C＝0，
所以由正弦定理得sin C－sin A·sin C＝0.
因为sin C>0，
所以cos A－sin A＝0，即tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝，得bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－12，
因为△ABC的周长为6，即a＋b＋c＝6，
所以a2＝(6－a)2－12，
所以a＝2.
三、【培优训练】
【训练一】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝2sin A，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC的面积为(　　)
A． B．1
C． D．
【解析】因为a2sin C＝2sin A，所以a2c＝2a.又a＞0，所以ac＝2.
因为(a＋c)2＝6＋b2，所以a2＋c2＋2ac＝6＋b2，所以a2＋c2－b2＝6－2ac＝6－4＝2.所以△ABC的面积为S＝＝.
故选C.
【训练二】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A．a，b，c依次成等差数列
B.，，依次成等差数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a3，b3，c3依次成等差数列
【解析】在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋.所以＝＋.利用正弦定理和余弦定理得，2·＝＋，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列．此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，c3，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a＝b＝c.故都不一定成立．
故选ABD.
【训练三】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
【解析】(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，
所以tan B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝2.
所以cos A＝＝＝－.
因为D是AC的中点，所以AD＝.
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.
所以BD＝.
【训练四】如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?

【解析】设∠AMN＝θ，在△AMN中，
＝.
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝
sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，0°a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得
cos C＝＝
＝cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．
故选ABD．
11. 某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是(　　)
A. B．2 C．3 D．6
【解析】如图，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.

由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cos 30°.
解得x＝2或x＝，
故选AB.
12. 对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是(　　)
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>，则sin A>cos B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B，则>A>－B>0，∴sin A>cos B，故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故错误；
对于D，若sin2A＋sin2B