湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列当堂检测题

1.3　等比数列

1.3.1　等比数列及其通项公式

A级 必备知识基础练

1.数列1,-,-,…的一个通项公式为(　　)

A.(-)n-1

B.(-)n

C.(-1)n()n-1

D.(-1)n+1()n-1

2.已知等比数列{an},a3=1,a5=2,则首项a1=(　　)

A. B. C. D.0

3.等比数列{an}的前三项分别为1,2x+1,x+2,且该数列为递增数列,则该数列第4项为(　　)

A.2 B. C.1 D.

4.已知等比数列{an}满足a1=-1,a4=8,则a7等于(　　)

A.32 B.-32 C.64 D.-64

5.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁“衰分”得100,60,36,21.6个单位,衰分比为40%.今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,衰分比为20%,已知乙衰分得100石,则丁衰分得(　　)

A.90石 B.80石 C.51.2石 D.64石

6.(多选题)在等比数列{an}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q的取值可以为(　　)

A.-2 B.2 C.1 D.-1

7.如果-1,a,b,c,-16成等比数列,那么ac=　　　　　,b=　　　　　. 

8.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》,其意思为“一根一尺长的木棰,每天截取一半,永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺,第二天被截取剩下的一半剩下a2尺,…,第五天被截取剩下的一半剩下a5尺,则=　　　　　. 

9.数列{an},{bn}满足下列条件:a1=0,a2=1,an+2=(n∈N+),bn=an+1-an.

(1)求证:{bn}是等比数列;

(2)求{bn}的通项公式.

B级 关键能力提升练

10.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制,它与五度相生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第五个单音的频率为(　　)

A.5f B.f

C.4f D.f

11.(多选题)已知等比数列{an},若4a1,a3,2a2成等差数列,则公比q的取值可以为(　　)

A.1 B.-2

C.2 D.-1

12.现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用一年期自动转存业务,则第十年末的本利和为(　　)

A.8×1.0258万元

B.8×1.0259万元

C.8×1.02510万元

D.8×1.02511万元

13.在各项均不为0的数列{an}中,对任意n∈N+,都有an+1-2an=0,则等于(　　)

A. B.

C. D.1

14.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=(　　)

A.24 B.

C. D.-

15.在数列{an}中,a1=,am+n=aman(∀m,n∈N+),则a6=　　　　　. 

16.(2023全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　　. 

17.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.

(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;

(2)试判断是否存在实数λ,使数列{bn}为等比数列,并证明你的结论.

C级 学科素养创新练

18.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=　　　　　;若an>1,则n的最大值为　　　　　. 

1.3.1　等比数列及其通项公式

1.D　根据题意可知,该数列是一个以1为首项,-为公比的等比数列,所以该数列的通项公式为1×(-)n-1=(-1)n-1×()n-1=(-1)n+1×()n-1.

2.B　设等比数列的公比为q,则解得q2=2,

所以a1=.故选B.

3.D　由题意得(2x+1)2=x+2,解得x=或x=-1.

当x=时,前三项分别为1,,满足题意,则第4项为;

当x=-1时,前三项分别为1,-1,1,不满足题意.故选D.

4.D　根据题意,设等比数列{an}的公比为q,

若a1=-1,a4=8,则有q3==-8,解得q=-2,

故a7=a1q6=-64,故选D.

5.D　依题意丁衰分得100×(1-20%)2=64石,故选D.

6.AC　根据题意,得解得

7.16　-4　设-1,a,b,c,-16构成等比数列{an},公比为q,则a1=-1,a5=-16,q4==16,q2=4,则b=a3=a1q2=-4,ac=b2=16.

8.24　由题意可知,a1,a2,a3,…成等比数列,且公比为,首项为,所以=24.

9.(1)证明∵an+2=,

∴=-.

∴{bn}是等比数列.

(2)解∵b1=a2-a1=1,公比q=-,

∴bn=1×(-)n-1=(-)n-1.

10.D　由题设可得依次得到的十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列{an},

∴a5=f·f,故选D.

11.CD　因为在等比数列{an}中,4a1,a3,2a2成等差数列,

所以a3=2a1+a2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,故选CD.

12.C　由题意得,每年末的本利和依次构成以1+2.50%=1.025为公比,8×1.025为首项的等比数列,所以第十年末的本利和为8×1.025×1.02510-1=8×1.02510万元.

13.A　由an+1-2an=0,得=2,即数列{an}是以2为公比的等比数列,则.故选A.

14.B　设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-,因此a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=(-)×(-3)=.故选B.

15.　∀m,n∈N+,am+n=aman,且a1=,令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=a1qn-1=×()n-1=()n,故a6=()6=.

16.-2　(方法1)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,得可得所以a7=a1q6=a1q·q5=-2.

(方法2)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.

又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q3=-2,则a7=a2·q5=-2.

17.(1)证明假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有=a1a3,即(λ-3)2=λ(λ-4)⇔λ2-4λ+9=λ2-4λ⇔9=0,矛盾.所以对任意实数λ,{an}不是等比数列.

(2)解因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14)=-×(-1)n(an-3n+21)=-bn,又b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列;

当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,

∴=-(n∈N+),此时{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.

故当λ≠-18时,{bn}为等比数列.

18.-　3　因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q==-.

由a1+a3=a1+q2a1=10,解得a1=8,所以an=a1qn-1=8×(-)n-1.

所以当n为偶数时,an<0,当n为奇数时,an=8×(-)n-1=8×()n-1=24-n>0.

要使an>1,所以4-n>0且n为奇数,所以n=1或n=3.

故n的最大值为3.