湘教版（2019）选择性必修 第一册*1.4 数学归纳法教课内容课件ppt

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册*1.4 数学归纳法教课内容课件ppt，共57页。PPT课件主要包含了新知探究，情景导入，学习目标，课堂小结，随堂检测，错因分析，归纳猜想证明，数学归纳法的概念，概念归纳，典例剖析等内容，欢迎下载使用。

目录/CONTENTS
1.了解数学归纳法的原理
2.利用数学归纳法证明等式
如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，是否判断盒子里面的小球都是绿色的？
不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.
在多米诺骨牌游戏中，我们该如何保证所有的骨牌全部倒下？
要确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块滑牌也倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.
本章研究了大量与正整数 n 有关的数列问题.请你尝试解决下列问题：
通过对n=1，2，3，4进行归纳，可以猜想数列的通项公式是：
像这样由特殊到一般的推理方法，叫作归纳法.用归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律.当然，仅根据有限的特殊事例归纳得出的结论有时是不正确的.例如“n²+n+11是质数”这个命题对于n=1，2，3，…，9都成立，但当n=10时，10²+10+11=121=11²，是一个合数.
大家熟悉的“多米诺骨牌效应”或许能给我们以启发.
将骨牌竖立起来摆成一排，并确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.若推倒第一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，以此类推，直到所有骨牌全部倒下.
如何找到这样一种推理方法呢？
（1）（奠基）最初的一个命题正确,（2）（递推）由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性，那么便证明了这一系列命题的正确性.
第一步奠基,证明最初一个命题正确，相当于我们已经亲手“推倒第一块骨牌”.第二步递推,意味着“每一块倒下的骨牌怎样将下一块骨牌带倒”.这样一来，无论有多少块骨牌，只要保证（1）和（2）成立，那么所有的骨牌一定都会倒下.
注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择.
(1)用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )A.1 B.1＋3C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
(2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时，等式左边应在n＝k的基础上加上___________________________.
当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k时的左边应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
数学归纳法的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A.过程全部正确B.n＝1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
例 2 用数学归纳法证明：
这表明，当n=k+1时，等式也成立.
题型 1　用数学归纳法证明等式问题
用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构．(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
1.求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．
(拓展)题型 3　用数学归纳法证明几何问题
例 3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一 点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．②假设n＝k(k≥1)时命题成立．即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时，命题成立．综合①②可知，对一切n∈N＋，命题成立．
方法总结：对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
相对于证明，人们往往对等式右边的结论是如何想出来的感到为难.
由表中数据，我们可以猜想：
再看一个例子：前n个正整数的立方和表达式是怎样的？
一般来说，上述结论不是由数学归纳法发现出来的，而是通过观察具体实例“猜想”出来的，然后用数学归纳法来验证这个猜想.
题型 2　归纳—猜想—证明
方法总结： (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．
1.用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，由n＝k到n＝k＋1的凸n边形的内角和增加（ ）
2.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（ ）A.3k－1 B.3k＋1C.8k D.9k
3.以下是一个证明的全部过程：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立.因此等式对于任何n∈N＋都成立.则用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为____________________________.
缺少当n＝1时命题成立的证明
4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，等式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，等式为___________________________________________________.
1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
( )
1.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( )A.1 B.1＋2C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23
A.n＝k＋1时等式成立B.n＝k＋2时等式成立C.n＝2k＋2时等式成立D.n＝2(k＋2)时等式成立
( )
4.如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)·(n＋2)＝ n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于（ ）A.a＝1，b＝3 B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝2 D.a＝2，b＝3
5.若等式A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时等式也成立.现知等式对n＝n0(n0∈N＋)成立，则有( )A.等式对所有正整数都成立B.等式对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C.等式对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数 都成立D.以上说法都不正确
( )
7.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，左边＝右边，等式成立.②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式成立.由此可知，对任何n∈N＋等式都成立.上述证明的错误是_________________________.
8.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是______________________________.
f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
9.用数学归纳法证明：
等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，
那么当n＝k＋1时，有
10.设a>0，f(x)＝ ，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
因为a1＝1，an＋1＝f(an)，
(2)用数学归纳法证明你的结论.
①易知当n＝1时，等式成立；
即当n＝k＋1时，等式也成立.
11.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是( )A.p(k)对k＝528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立
12.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)(n∈N＋)时，将“n＝k→n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是( )
14.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋成立，那么a＝____，b＝_____，c＝_____.
15.用数学归纳法证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1(n∈N＋)是31的倍数，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________.
1＋2＋22＋23＋24
25k＋25k＋1＋…＋25k＋4
16.设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；
令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法加以证明.
由(2)可猜想f(n)＝n2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，等式成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(n)＝n2成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时f(n)＝n2也成立，由①②可知，f(n)＝n2对一切n∈N＋都成立.