九年级数学上学期第一次月考B卷（测试范围：第一章、第二章）（苏科版）-2023-2024学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

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2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章（一元二次方程）、第二章（相似三角形）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（    ）
A．2025 B．2024 C．2016 D．2015
【答案】A
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为(　　)
A．3 B． C．11 D．7
【答案】D
【分析】先将方程变形为，进而可得，即得答案．
【详解】解：∵
∴，即，
则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键．
3．关于的一元二次方程的根的情况是（　　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：方程整理，得，


，
故有两个不相等的实数根，
故选：．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
4．如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的周长为6，则的周长是（　　）
  
A．16 B．9 C．6 D．4
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：和是位似图形，位似比为，
和的相似比为，
的周长的周长，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
5．如图，，那么下列结论正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性．
【详解】解：由图，根据对应性，可得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的基础．
6．如图，在正方形和正方形中，在上，连接并延长，交于，若，，则（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质利用证明≌得到，利用角之间的关系得到，进而得到∽，根据相似的性质进而求解．
【详解】解：四边形和四边形为正方形，
，，，
≌，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据正方形的性质和全等三角形的性质判断∽．
7．若方程较大的根为，方程较小的根为，则（    ）
A．2016 B．2017 C． D．
【答案】B
【分析】分别用因式分解法求解两个方程，得到m和n的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴



解得：，，
∴，
又∵
∴，
解得：，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
8．在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为（如图1），而关于的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为（    ）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到的长度，分类讨论为直角三角形时的情况即可．
【详解】解：根据题意得：
，点到的距离为，即，此时点到达点，，
当点与点重合时，为直角三角形，则在右侧时，为锐角三角形，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当为锐角三角形时，，
故选：C．
【点睛】本题为动点函数图象问题，考查了二次函数图象最小值的实际意义以及直角三角形的分类讨论，相似三角形的判定与性质，解题的关键是以为直角三角形作为临界条件解决问题．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义：含一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，且，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
10．已知，则 ．
【答案】
【分析】根据等式的性质，可用表示，根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：由，得．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键．
11．某服装原价为1000元，如果连续两次以同样的百分率降价后价格是640元，设两次降价的百分率为，根据题意可列出方程 ．
【答案】
【分析】设两次降价的百分率为，根据原价降价后售价，即可列出方程．
【详解】解：设两次降价的百分率为x，
根据题意可列出方程为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程．
12．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置离A近，根据黄金分割比列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，当黄金分割点C离A近，如图所示：

，
由黄金分割比可知，
设，则，
代入得到，
解得，
经检验，是分式方程的解，
，（舍弃）；
综上所述，主持人站在离A点处最自然得体，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，还考查了解分式方程，解一元二次方程，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．
13．如图，点D、E分别是边、上的点，且，，那么 ．
  
【答案】
【分析】根据推出，根据推出，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为______．
【答案】3
【分析】利用根与系数的关系结合，可得出关于k的方程，解之可得出k的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，，
∴，
解得：，．
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴舍去．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合来求出k值是解题的关键．
15．如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边交于点D．若，，，则 ．
  
【答案】
【分析】作于点M，于点N，设，则，，根据平行线分线段成比例求出，，，，再根据面积公式即可求出k的值．
【详解】解：如图，作于点M，于点N，
  
设，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴D的纵坐标为，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标特征，以及两条线段被一组平行线所截的线段成比例．
16．若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点、，若一次函数图像上的“零点”为点C，则当为等腰三角形时，k的值为 ．
【答案】或或
【分析】设，分，，三种情况，根据两点间距离公式、等腰三角形的性质分别列式求解即可．
【详解】解：、，
，
一次函数图像上的“零点”为点C，
设，
为等腰三角形时有下列三种情况：
当为腰，且点A为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
，
解得，
当时，点C的坐标为，
，
解得；
当为腰，且点B为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
不在一次函数图像上，故不合题意，舍去；
当时，点C的坐标为，
此时点A与点C重合，故不合题意，舍去；
当为底边，点C为顶点时，，
此时点C在线段的垂直平分线上，
点C的横坐标为，
点C的坐标为，
，
解得，
综上可知，k的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程等，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．
17．如图，在等边中，将沿翻折，点恰好落在边的点处，且，则 ．
  
【答案】
【分析】如图，作，，垂足为，，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质以及等边三角形的性质得到相应的线段，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接交于点O，作，，垂足为，，如图，
设，，
∵等边，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
同理可得，
∴，即，
解得，
则．
故答案为：．
  
【点睛】此题主要考查了翻折变换、等边三角形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，通过三角形相似求出相关线段是关键．
18．如图：在矩形中，，，点E沿射线以个单位每秒的速度运动，同时点F沿射线以1个单位每秒的速度运动，连接和交点为M，在上取一点P使得，把绕A点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．
  
【答案】/
【分析】如图所示，设的中点为O，首先根据题意证明出，然后得到点M在以点O为圆心，半径为的圆上运动，得到，过点P作，根据相似三角形的性质得到，将绕点A逆时针旋转得到，证明出，得到，点Q在以点H为圆心，半径为的圆上运动，连接交于点，进而得到当点Q和点重合时，有最小值，即的长度，过点H作的延长线于点G，得到是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，设的中点为O，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点E沿射线以个单位每秒的速度运动，同时点F沿射线以1个单位每秒的速度运动，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点M在以点O为圆心，半径为的圆上运动，
∴，
过点P作，
∴，
∴，即，
∴，
将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点Q在以点H为圆心，半径为的圆上运动，
∴连接交于点，
∴当点Q和点重合时，有最小值，即的长度，
过点H作的延长线于点G，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
  
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明出点M在以点O为圆心，半径为的圆上运动．
三、解答题：本题共8小题，共64分．
19．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，

【分析】（1）移项后，利用因式分解法求解；
（2）利用直接开平方法求解；
（3）利用公式法求解；
（4）变形后，利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（2），
∴，
解得：，；
（3），
，，，
∴，
∴，
解得：，；
（4），
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
20．已知：关于x的一元二次方程，
(1)已知是方程的一个根，求m的值及另一个根；
(2)若以这个方程的两个实数根作为中、的边长，，当时，求此时m的值．
【答案】(1)，3；，12
(2)

【分析】（1）将代入方程中，求出m值，再代入到方程中，求出另一个根；
（2）根据根与系数的关系求出，，再根据，利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形，求出m值即可．
【详解】（1）解：将代入中，
得：，
解得：，，
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：，；
（2）由题意可得：，，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，，
当时，方程无解，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解法，根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟练掌握方程的解法．
21．如图，在正方形中，，．求证：
  
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）设，，则，，利用勾股定理解决问题即可；
（2）证明，利用两边成比例夹角相等，证明三角形相似．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
设，，
，，
，，，
；
（2），
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．
  
(1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？
(2)养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)垂直于墙的边长为10米，平行于墙的边长为12米
(2)不能，理由见解析

【分析】（1）设垂直于墙的边长为，根据鸡场的面积列出方程，解之即可；
（2）根据鸡场的面积列出方程，根据解的情况判断即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为．
由题意可得：，
解得，，
当时，，不合题意，舍去．
当时，．
．
答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为12米时，鸡场的面积为；
（2）鸡场的面积不能达到．理由如下：
，
整理得：．
，
此方程无解．
答：鸡场的面积不能达到．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．
23．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
  
(1)在图①中，作的中线．
(2)在图②中，在边上找一点，边上找一点，连结，使得，且．
(3)在图③，在边上找一点，连结，使的面积为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）找到与网格线的交点，连接，则即为所求；
（2）找到的中点，作的网格的对角线，交于点，连接，则即为所求；
（3）找到格点，使得，连接交于点，进而根据相似三角形的性质得出，即可得出的面积为．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求
  
（2）如图所示，找到的中点，作的网格的对角线，交于点，连接，则即为所求；
  
∴是的中位线，且；
（3）如图所示，找到格点，使得，连接交于点，
则
∴
∴
∵
∴
∴
点即为所求；
  
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．如图，在平行四边形中，于点．

(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，若，连接，过点作交于点，在上截取，连接，交于点，的角平分线与相交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，请直接写出点到直线的距离．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）根据在直角三角形中，30度所对的边是斜边的一半可得，根据菱形的判定和性质可得，推得，即可求得，即可求解；
（2）根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，推得，，延长交于点，根据角平分线的定义和等腰三角形三线合一的性质可得，，根据平行线的判定可得，根据平行线分线段成比例定理可得，即可求解；
（3）根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质可得，根据中位线的性质可得，求得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可求得，结合勾股定理求得，作于，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求得，根据相似三角形的判定和性质可得，，同理求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，

∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为；
（2）证明：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
延长交于点，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
由（2）知，，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵,
∴，
如图，作于，则是等腰直角三角形，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
作于，由，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即点到的距离为．
【点睛】本题考查了30度角的直角三角形性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
25．我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
【答案】(1)（1，2）
(2)或
(3)存在，，

【分析】（1）解方程后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M (1，5m)；当0≤5m≤1时，此时M (5m，1)，当5m < 0时，M (5m，1)；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点(2，6)，则方程+bx +c = 0的衍生点M为(2，6)，即可求出b= 4，c=12．
【详解】（1）∵的解为x=1或2，
∴，
∴M (1，2)，
该方程的衍生点M的坐标(1，2)，
故答案为：（1，2）；
（2）∵的解为x=1或x=5m，
当时，，此时M (1，5m)，
由题意可得1 = 5m，
解得m =，
当时，，此时M (5m，1)，
∴5m=1，
∴m=；
当5m < 0时，M (5m，1)，此时，
解得m =；
综上，m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为，
∴将和代入可得,
解得，．
【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
26．如图①，在中，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，过点作的垂线交于点，以为边向上作矩形，点在或的延长线上，，当点与点重合时点停止运动，设点运动的时间为（秒）．
  
(1)求的长；
(2)当平分矩形的周长时，求的值；
(3)当点在的直角边的垂直平分线上时，直接写出的值；
(4)如图②，当点在的延长线上时，、分别交边于点、，当与图中某个三角形全等时，求的值．
【答案】(1)
(2)秒
(3)秒或秒
(4)秒或秒或秒

【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）连接，取的中点，则，当点在上时，先证明，得出，从而说明平分矩形的周长，再证明、，由相似三角形的性质可得出，，然后通过建立关于的方程，求解即可；
（3）分两种情况讨论即可；
（4）分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴的长为．
（2）如图，连接，取的中点，则，
当点在上时，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时平分矩形的周长，
∵动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，过点作的垂线交于点，，点运动的时间为，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵当点与点重合时点停止运动，
∴此时，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）．
∴的值为秒．
  
（3）①当点在的直角边的垂直平分线上时，可得：
，
∴，
∴（秒）；
②当点在的直角边的垂直平分线上时，可得：
，
∴，
∴（秒）．
综上所述，的值为秒或秒．
（4）∵在中，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
①当时，如图，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
  
②当时，如图，
∴，
∴
∴，
∴（秒）；
  
③当时，如图，
∴，
∴，
∴（秒）．
综上所述，的值为秒或秒或秒．
  
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等积法等知识，运用了分类讨论和方程的思想．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．