【期末单元复习】2022-2023学年 苏科版数学 九年级上学期-第二章《圆》（过关测试基础）

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圆过关测试（基础）
一．选择题（共12小题）
1．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝5＞4，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
2．下列关于三角形外心的说法中，正确的是（　　）
A．三角形的外心是三角形各角平分线的交点
B．三角形的外心是三角形三边中线的交点
C．三角形的外心是三角形三边高线的交点
D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
【分析】利用三角形的外心的性质分别判断得出即可．
【解答】解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴A、B、C选项错误，D选项正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的外心的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
3．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（　　）

A．22 B．32 C．2 D．3
【分析】连接AD，根据题意得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理求出AB＝22，再根据30°的角的直角三角形的性质即可得解．
【解答】解：如图，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB=AC2+BC2=22+22=22，
∵∠BCD＝30°，
∴∠BAD＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝22，
∴BD=12AB=2．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到OC⊥AB且平方AB，然后根据勾股定理即可得到OC的长．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，
∴OC=OA2-AC2=52-42=3，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确垂径定理的内容，求出AC的长，利用数形结合的思想解答．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　）

A．83° B．84° C．86° D．87°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝43°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC．若∠ABC＝21°，则∠D的度数为（　　）

A．46° B．47° C．48° D．49°
【分析】由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠OCB＝21°，由切线的性质可得∠OAD＝90°，即可求解．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝21°，
∴∠AOD＝42°，
∵直线DA与⊙O相切于点A，
∴∠OAD＝90°，
∴∠D＝48°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质，掌握切线的性质是解题的关键．
7．如图，已知在半径为6的⊙O中，点A，B，C在⊙O上且∠ACB＝60°，则AB的长度为（　　）

A．6π B．4π C．2π D．π
【分析】求出弧AB所对的圆心角度数，依据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，则∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴OA＝OB＝6，
∴AB的长度为120π×6180=4π，
故选：B．

【点评】本题考查圆周角定理以及弧长的计算，掌握弧长的计算方法和圆周角定理是解决问题的关键．
8．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（　　）

A．25° B．20° C．30° D．35°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．
故选：C．
【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
9．如图，在⊙O中，点D为AB的中点，CD为⊙O的直径，AE∥BC交⊙O于点E．连接CE．若∠ECD＝50°，则∠DCB＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】连接AD，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠EAD＝130°，再利用平行线的性质得到∠EAB+∠B＝180°，则可得到∠B﹣∠BAD＝50°，由于点D为AB的中点，根据圆周角定理得∠BAD＝∠BCD，根据垂径定理得到CD⊥AB，则∠B＝90°﹣∠BCD，所以90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝50°，从而可求出∠BCD的度数．
【解答】解：连接AD，如图，
∵四边形ADCE为圆的内接四边形，
∴∠EAD+∠ECD＝180°，
∴∠EAD＝180°﹣50°＝130°，即∠EAB+∠BAD＝130°，
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B＝180°，
∴∠EAB＝180°﹣∠B，
∴180°﹣∠B+∠BAD＝130°，即∠B﹣∠BAD＝50°，
∵点D为AB的中点，CD为直径，
∴∠BAD＝∠BCD，CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，即∠B＝90°﹣∠BCD，
∴90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝50°，解得∠BCD＝20°．
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质和垂径定理．
10．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（　　）

A．27° B．29° C．35° D．37°
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠AFD=12∠AOD=12×54°＝27°，
故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）

A．2 B．22 C．23 D．4
【分析】根据垂径定理求得AC=CD，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD=22+22=22，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF＝OC＝OD＝22．
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴AC=CD，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD=22+22=22，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝22，
∴CF＝22，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF＝OC＝OD是解题的关键．
12．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）

A．144° B．130° C．129° D．108°
【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
【点评】本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角可通过外角来求：180°﹣360°÷5＝108°．
二．填空题（共12小题）
13．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　6.5cm或2.5cm　．
【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm，
∴半径r＝2.5cm；
故答案为：6.5cm或2.5cm．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则其外接圆的直径为　5　．
【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的直径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形的外接圆与外心，勾股定理的运用．关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．
15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝　130°　．

【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故答案为130°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
16．如图，半圆的半径AO＝3，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为　23　．

【分析】如图，连接OC．证明AC＝DE＝2OE，利用勾股定理构建关系式，可得结论．
【解答】解：如图，连接OC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC＝DE，CD＝AE，AC∥DE，
∴∠ACE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴EC＝EB，
∵OA＝OB，
∴AC＝2OE＝DE，
∵OD＝OC＝3，
∴OE＝1，DE＝2，
∴CE2＝OC2﹣OE2＝CD2﹣DE2，
∴32﹣12＝CD2﹣22，
∴CD＝23或﹣23（舍去）．
故答案为：23．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，则∠AOC的度数为　70°　．

【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°．
故答案为：70°．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
18．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ADE是等边三角形，⊙O的半径为2，则劣弧BD的长为 　43π　．

【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质得出∠C＝∠DAE＝60°，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，然后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OB、OD，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C＝∠DAE＝60°，
∴∠BOD＝120°，
则劣弧BD=120π×2180=43π．
故答案为：43π．

【点评】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，解答本题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD的度数，注意掌握弧长公式．
19．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，点F为BC边上一点，若CF＝2BF，连接EF，则图中阴影部分的面积为 　7+9π4　（结果保留π）．

【分析】用矩形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接BE，
在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，
∴S四边形ABCD＝5×3＝15，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴S扇形ADE=90π×32360=9π4，
∵ED＝AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，
∴S△ECF=12×（3+5）×2＝8，
∴S阴影＝S四边形ABCD+S扇形ADE﹣S△ECF＝15+9π4-8＝7+9π4，
故答案为：7+9π4，

【点评】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，明确S阴影＝S四边形ABCD+S扇形ADE﹣S△ECF是解答本题的关键．
20．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为 　125°　．

【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，

∵AP、BP是⊙O切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB=12∠AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
21．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　①②③④　（填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积=934．

【分析】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正确；根据圆周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的性质得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根据平行线的性质得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根据全等三角形的性质得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根据等边三角形的性质得到PC＝PA+PB，故③正确；根据全等三角形的性质得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面积公式得到△PCM的面积=34CM2=934，故④正确．
【解答】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM与△BCP中，
∠MAC=∠PBC∠M=∠BPCAC=BC，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正确；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积=34CM2=934，故④正确，
故答案为：①②③④．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，ADB交AC于点E，若AB＝2，则DE的长为　π3　．

【分析】如图，取AB的中点O，连接OE，OD．证明∠DOE＝60°，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OE，OD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OE＝OB＝OD，
∴△AOE，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOE＝∠BOD＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，
∴DE的长=60π⋅1180=π3，
故答案为：π3．

【点评】本题考查弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．如图，△ABC内接于半径为2的⊙O，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I，∠BIC＝110°，则劣弧BC的长为 　89π　．

【分析】连接OB，OC，根据三角形内角和定理、角平分线的定义求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠BIC＝110°，
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠BIC＝70°，
∵BI，CI分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2×（∠IBC+∠ICB）＝140°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝40°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝80°，
∴劣弧BC的长=80π×2180=89π，
故答案为：89π．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算、三角形内角和定理，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
24．如图，AB是⊙的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于C，D两点，∠C＝30°，CD＝23，则阴影部分的面积是 　23π　．

【分析】连接OC，AD，根据圆周角定理得到∠AOD＝60°，即可得到△AOD是等边三角形，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，即可证得四边形ACOD是菱形，解直角三角形求得AC＝2，即可求得阴影部分面积＝扇形OAD的面积．
【解答】解：连接OC、AD，

∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴OA平分CD，
∴CE＝DE=12CD=3，
∵CD垂直平分OA，
∴四边形ACOD是菱形，
在Rt△ACE中，AC=CEcos30°=2，
∴阴影部分面积=60⋅π⋅22360=23π．
故答案为：23π．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式，垂径定理，证得阴影部分面积＝扇形OAD的面积是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
25．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
【解答】解：（1）连接OD，如图：

∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM=12CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD=OM2+DM2，且OM＝3，
∴OD=32+62=35，即圆O的半径长为35；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵BC=BC，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE＝∠CDB．
26．如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝25，半圆O的半径为5，求BC的长．

【分析】（1）连接BD，根据AD=CD求出∠DAC＝∠ABD，根据∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°求出∠ADF＝∠ABD，再去求答案即可；
（2）连接OD交AC于H，求出AD，根据勾股定理得出52﹣OH2＝（25）2﹣（5﹣OH）2，求出OH，再根据三角形的中位线求出BC即可．
【解答】（1）证明：连接BD，

∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ADF；

（2）解：连接OD交AC于H，

∵CD=AD，OD过O，
∴OD⊥AC，AD＝CD＝25，
在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，
∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，
即52﹣OH2＝（25）2﹣（5﹣OH）2，
解得：OH＝3，
∵D为AC的中点，OD过O，
∴AH＝CH，
∵AO＝BO，
∴OH=12BC，
∴BC＝2OH＝6．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，求弧DE的长；
（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．

【分析】（1）连接AE，如图，根据圆周角定理得∠AEB＝90°，然后根据等腰三角形的性质得到BE＝CE；
（2）根据等腰三角形的性质得到得到∠CAE=12∠BAC＝27°，再利用圆周角定理得到∠DOE＝54°，然后根据弧长公式可计算出弧DE的长；
（3）当∠F的度数是36°时可得到∠ABF＝90°，则AB⊥BF，然后根据切线的性质可判断BF为⊙O的切线．
【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=12×54°＝27°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝2×27°＝54°，
∴弧DE的长=54⋅π⋅3180=910π；
（3）解：当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．
理由如下：∵∠BAC＝54°，
∴当∠F＝36°时，∠ABF＝90°，
∴AB⊥BF，
∴BF为⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．
28．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，AP：PC＝1：2，求CF的长．

【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF，得到∠OCF＝∠OAF＝90°，根据切线的判定定理证明PC是⊙O的切线；
（2）根据切线长定理求出PC的长，根据平行线分线段成比例定理得到PF与FC之比，计算得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，∠ACB＝90°，又OE⊥AC，
∴BC∥OF，
∴∠AOF＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOF＝∠COF，
在△AOF和△COF中，
OA=OC∠AOF=∠COFOF=OF，
∴△AOF≌△COF，
∴∠OCF＝∠OAF＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）设AP＝x，则PC＝2x，
由切割线定理得，PC2＝PA•PB，
即4x2＝x（x+4），
解得x=43，
∵BC∥OF，
∴PFFC=POOB，即83-CFCF=1032，
解得，FC＝1．

【点评】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的平分线，交AC于点D，以点D为圆心、DC为半径作⊙D．
（1）求证：⊙D与AB相切．
（2）若⊙D与AB的切点为E，BD与⊙D交于点F，且DE∥CF，判断四边形CDEF的形状并说明理由．

【分析】（1）如图1，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接DE，EF，CF，根据切线的性质得到BC＝BE，根据全等三角形的性质得到CF＝EF，∠CFB＝∠EFB，根据平行线的性质得到∠CFD＝∠EDF，等量代换得到∠EDF＝∠EFD，得到DE＝EF，于是得到结论．
【解答】（1）证明：如图1，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，
∴CD＝DE，
∴⊙D与AB相切；
（2）四边形CDEF是菱形，
理由：如图2，连接DE，EF，CF，

∵∠ACB＝90°，CD是⊙D 半径，
∴BC是⊙D 的切线，
∵AB是⊙D的切线，
∴BC＝BE，
在△CBF与△EBF中，BC=BE∠CBF=∠EBFBF=BF，
∴△CBF≌△EBF，
∴CF＝EF，∠CFB＝∠EFB，
∴∠CFD＝∠DFE，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDF，
∴∠EDF＝∠EFD，
∴DE＝EF，
∴DE＝CF，
∴四边形CDEF是菱形．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以OB为半径的⊙O与边AB、BC交于点D、E，连接DC、DE，且CD为⊙O的切线．
（1）求证：AC＝DC；
（2）若∠B＝30°，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，然后证明∠A＝∠CDA，从而得到AC＝DC；
（2）根据圆周角定理得到∠DOE＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=3，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S△ODC﹣S扇形DOE进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠CDA+∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠A＝∠CDA，
∴AC＝DC；
（2）解：∵∠DOE＝2∠B＝2×30°＝60°，
而∠ODC＝90°，
∴CD=3OD=3，
∴阴影部分的面积＝S△ODC﹣S扇形DOE
=12×1×3-60×π×12360
=32-π6．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积计算．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半⊙O交边BC于点D，切线DE交边AC于点E，CF∥AB交AD延长线于点F，连接BF交⊙O于点G，连接DG．求证：
（1）DE⊥AC；
（2）四边形ABFC为菱形．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到DE⊥OD，证明OD∥AC，根据平行线的性质定理证明结论；
（2）根据平行线的性质得到DB＝DC，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质得到AB＝CF，进而证明四边形ABFC为平行四边形．根据菱形的判定定理证明即可．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）∵OD∥AC，OA＝OB，
∴DB＝DC．
∵CF∥AB，
∴∠BAD＝∠CFD，∠ABD＝∠FCD．
∴△ABD≌△FCD（AAS）．
∴AB＝CF，
∴四边形ABFC为平行四边形．
∵AB＝AC，
∴平行四边形ABFC为菱形．

【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
32．如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．

【分析】（1）连接OB，如图1，根据切线的性质得到OD⊥MN，则OD⊥BC，利用垂径定理得到BD=CD，然后根据圆周角定理得到结论；
（2）先计算出CE＝23，根据垂径定理得到BE＝CE＝23，接着利用勾股定理计算出AB，然后计算AE的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图1，
∵直线MN与⊙O相切于点D，
∴OD⊥MN，
∵BC∥MN，
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠BAC＝∠COD；
（2）∵E是OD的中点，
∴OE＝DE＝2，
在Rt△OCE中，CE=OC2-OE2=42-22=23，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝23，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB=AC2-BC2=82-(43)2=4，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=42+(23)2=27．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理．