2024襄阳宜城一中高二上学期9月月考数学试题含答案

这是一份2024襄阳宜城一中高二上学期9月月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宜城一中2023-2024学年高二年级9月月考数学试卷时间：120分钟  满分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1. 复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知直线过，，且，则直线的斜率为（    ）A.  B.  C.  D. 3. 如图，等腰梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形ABCD的面积为（    ）A.  B. 12 C.  D. 64. 已知四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（    ）A.  B.  C.  D. 5. 在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（    ）A. 中位数，平均分，方差均不变 B. 中位数，平均分，方差均变小C. 中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D. 中位数，平均分，方差都发生改变6. 在中，已知，，若有两解，则（    ）A.  B.  C.  D. 7. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形.若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 8. 在三棱锥中，已知底面ABC，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 二、多选题（每小题5分，共20分）9. 若向量，满足，，则（    ）A.   B. 与的夹角为C.   D. 在上的投影向量为10. 小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（    ）A. 文学社和话剧社均面试成功的概率为 B. 话剧社与辩论社均面试成功的概率为C. 有且只有辩论社面试成功的概率为 D. 三个社团至少一个面试成功的概率为11. 已知不同直线a，b，不同平面，，，下列说法正确的是（    ）A. 若，，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则12. 已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（    ）A. B. 当直线AP与平面所成角的正切值为时，C. 当时，点到平面的距离是D. 当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为三、填空题（每小题5分，共20分）13. 假设，，且A与B相互独立，则______.14. 已知直线l过点且与以，为端点的线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为______.15. 已知，，则的取值范围为______.16. 如图，在矩形ABCD中，，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将，，，分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为______；若点P是该多面体表面上的动点，满足时，点P的轨迹长度为______.四、解答题（17题10分，18-22题每小题12分，共70分）17. 如图所示，在平行六面体中，，，，P是的中点，M是的中点，N是的中点，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）.18. 如图：正方体，E为棱的中点.（1）求直线CE与直线所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在一点P，满足？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.19. 为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.20. 如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点.将沿AD折到位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥.图1                      图2（Ⅰ）求证；（Ⅱ）若平面ABCD.①求二面角的大小；②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值.21. 中，有，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边.（1）求角A的大小；（2）设点D是BC的中点，若，求的取值范围.22. 如图，直三棱柱的体积为4，点D，E分别为AC，的中点，的面积为.（1）求点A到平面EBC的距离；（2），平面平面，求平面DBE与平面所成角的余弦值.   参考答案123456789101112CBADCCABBCDBCDBCABD13. 0.92     14.      15.     16.   17.（1）（2）（3）（1）；（2）；（3）.18.（1）；（2）存在，点P在棱上靠近的四等分点处.【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，所以直线CE与直线所成角的余弦值为；（2）棱上是否存在一点P的坐标可设为，则，，，故在棱上存在点P，满足，这点P在棱上靠近四等分点处.19.（1），中位数为，平均数为41.5  （2）【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；∵，，∴中位数位于，设中位数为m，则，解得：，即中位数为；平均数为.（2）∵第1，2组的频率之比为，∴抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为A，B；第2组应抽取3人，记为C，D，E，则从5人中随机抽取2人，有，，，，，，，，，，共10个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共4个基本事件；∴两人恰好属于同一组别的概率.20.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①，②或.【详解】证明：（Ⅰ）在图1中，∵，，∴ABCD为平行四边形，∴，∵，∴，当沿AD折起时，，，即，，又，面PAB，面PAB，∴平面PAB，又∵平面PAB，∴.图1                       图2解：（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD，则，，，，，设平面PBC的法向量为，则，取，得，设平面PCD的法向量，则，取，得，设二面角的大小为，可知为钝角，则，∴.∴二面角的大小为.②设AM与面PBC所成角为，，平面PBC的法向量，∵直线AM与平面PBC所成的角为，∴，解得或.21.（1）   （2）【详解】（1）解：在中，因为，由正弦定理可得，因为A、，则，，所以，，则，所以，，故.（2）解：如图，延长AD到E满足，连接BE、CE，则ABEC为平行四边形，则，，，，在中，由余弦定理得：，则，可变形为，即，由基本不等式可得，即，可得，当且仅当时，等号成立，由三角形三边关系可得，则，故的取值范围是.22.（1）  （2）【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面EBC的距离为h，点E为的中点，所以，直三棱柱的体积为4，所以三棱锥的体积为，又的面积为，故三棱锥的体积，解得，所以点A到平面EBC的距离为.（2）取EB的中点F，连接AF，如图，由题意知，故，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面EBC，由平面EBC，故，在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，可得，又AF，平面且AF，为相交直线，否则若，则F点在落在上，与BE不垂直，则与矛盾，所以平面，BA，平面，故，，所以BC，BA，两两垂直，以B为原点，以BC，BA，为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，由于平面EBC，故点A到平面EBC的距离即为AF，由（1）知，故，∴，，因为平面，平面，所以，由的面积为，则，∴，则，，，，则，，设平面BDE的法向量为，则，即，令，则，，故；，设平面的法向量为，则，即，令，则，，可得，故，由原图可知平面DBE与平面所成角为锐角，