湖北省宜城市第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

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1. 在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）.
A. ，，，四点不共线B. ，，，四点共面，但不共线
C. ，，，四点不共面D. ，，，点中任意三点不共线
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基底的定义依次判断即可
【详解】选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；
选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；
选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；
选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底.
故选：B
【点睛】此题考查空间向量的基底的定义，属于基础题
2. 两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为，，，则（ ）
A. 平面平面ABCB. 平面平面ABC
C. 平面α、平面ABC相交但不垂直D. 以上均有可能
【答案】A
【解析】
【分析】由平面α的法向量与平面ABC的法向量的关系，判断两个平面的位置关系.
【详解】设平面ABC的法向量为,
则，设，则，，即
由，得平面平面ABC．
故选：A
3. 已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，列出等量关系求解，即可得出结果.
【详解】因为向量，，与夹角的余弦值为，
所以，
整理得(其中)，解得（负值舍去）.
故选：A.
4. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解.
【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，
记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则，
所以.
故选：B.
5. 已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线距离的空间向量公式求出答案.
【详解】，
，
，
点到直线l的距离为.
则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为.
故选：C
6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661 9597 7424
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A. 0.852B. 0.8192C. 0.8D. 0.75
【答案】D
【解析】
【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），
共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为.
据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.
故选：D.
7. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为，故选D．
8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. 点与平面的距离为D. 与所成的角为
【答案】C
【解析】
【分析】设的中点为，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据直二面角可得，利用勾股定理求出即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C；利用向量法求线线夹角即可判断D.
【详解】对于选项A：设的中点为，则，
且，平面，可得平面，
又因为平面，所以，故A正确；
对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角，
故，即，
可知，则，
所以是等边三角形，故B正确；
对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
所以点与平面的距离，故C错误；
又因为，
且与所成的角取值范围为，
可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：1．利用空间向量求空间角的一般步骤
（1）建立恰当的空间直角坐标系．
（2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标．
（3）结合公式进行论证、计算．
（4）转化为几何结论．
2．利用空间向量求点到平面距离的方法
如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，以下结论正确的是（ ）

A. 点的坐标为
B. 点关于点B对称的点为
C. 点A关于直线对称的点为
D. 点C关于平面对称的点为.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系直接写出点、、A、C的坐标；然后根据对称即可求解判断B、C、D.
【详解】因为在长方体中，，，，
所以点的坐标为，故A正确.
设点关于点B对称点为
则
解得：
则点关于点B对称的点为,故B错误.
由立体几何的特征知：点A关于直线对称的点为故C正确.
由立体几何的特征知：点C关于平面对称的点为，故D正确.
故选：ACD.
10. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ）
A. B. 与互斥
C. 与相互独立D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】设事件“第一次为奇数”，则，“第二次为奇数”， 则，“两次点数之和为奇数”，则，根据概率的概念及互斥事件与相互独立事件概率的概念求解判断即可.
【详解】随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．
设事件“第一次为奇数”，则，
“第二次为奇数”， 则，
“两次点数之和为奇数”，则，则，
∴，A正确；
为两次点数之和为偶数，与两次点数之和为奇数不可能同时发生，
则与互斥，B正确；
,故A与相互独立，C正确；
事件A,B,C不可能同时发生，则，故D错误；
故选：ABC.
11. 在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 存在点，使得
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】A.利用空间向量运算求解判断；B. 利用空间向量运算求解判断；C.利用等体积法求解判断；D.利用线面角的求解判断.
【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量，故A正确；
假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两非零向量垂直的充要条件是两向量数量积为0，再利用数量积的坐标运算就可解得结果.
【详解】由可得，
又因为，，
所以，
解得.
故答案为：
13. 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则______.

【答案】
【解析】
【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长.
【详解】由条件知，，，
又二面角的平面角为，则，
所以
，所以.
故答案为：
14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为，
甲队在一轮比赛中得分的概率为，
乙队在一轮比赛中得分的概率为：
，
乙队在一轮比赛中得分的概率为：
，
设在这一轮中，满足且为事件，
则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，
所以，
即在这一轮中，满足且的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，平行六面体中，，.
（1）用向量表示向量；
（2）求及.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可；
（2）将用来表示，再根据空间向量数量积的运算即可求解；求先求再开方即可.
【小问1详解】
如图，.
【小问2详解】
因为，，，
所以
又，
，
所以.
16. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）这一组频数､频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的众数和第75百分位数；
（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
【答案】（1）4，0.1
（2）75；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1可得；
（2）众数为频率最大的那组数据的中间值，在频率分布直方图中求出频率对应的值即得第75百分位数；
（3）用列举法写出事件空间后可得所求概率．
【小问1详解】
根据题意，的这一组的频率为，的这一组的频率为，
的这一组的频率为，的这一组的频率为，
则这一组的频率为，
其频数为；
【小问2详解】
一组的频率最大，人数最多，则众数为，
依题意，的频率为，而的频率为，因此第75百分位数在间，
设第75百分位数为x，则：
解得：，即第75百分位数估计值为
【小问3详解】
记“取出的人在同一分数段”为事件，
因为之间的人数为，设为､､､，
之间有人，设为､，
从这人中选出人，有、、、､、、、
、、、､、、、，共个基本事件，
其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，
则.
17. 如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，，四边形为矩形，平面平面，，点是线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理得解.
（2）由（1）的信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦得解.
【小问1详解】
由四边形是矩形，得，而平面平面，平面平面，
平面，则平面，又平面，于是，
由，，得，则，而，平面，
所以平面．
【小问2详解】
由（1）知，直线，，两两垂直，
以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：
.
18. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.
（1）求甲没有获得执业医师证书概率；
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；
（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；
【小问1详解】
记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
设甲没有获得执业医师证书的概率为
.
【小问2详解】
甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
则，，,
由于事件，，彼此相互独立，
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，
概率为.
19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.
（1）求与平面所成角的大小；
（2）设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角求解公式得到答案；
（2）证明出，求出平面的法向量，设，则，，求出平面的法向量，根据两平面夹角列出方程，求出，设，进而根据求出答案.
【小问1详解】
因为，，，平面，
所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面，
取的中点，连接，因为是等边三角形，所以⊥，
又平面⊥平面，两平面交线为，平面，
所以⊥平面，
取的中点，连接，则，
因为⊥平面，所以⊥平面，
因平面，所以⊥，⊥，故两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系
因为，由勾股定理得，
所以，
平面的法向量为，
设与平面所成角的大小为，
则，
因为，所以；
【小问2详解】
设平面的法向量为，
则，
令得，则，
连接，因为平面，平面平面，所以，
不妨设，则，，
设，则，即，
故，
设，则，即，
故，
设平面的法向量为，
则，即
解得，设，则，故，
故，
化简得，两边平方得，
，化简得，
解得或，
设，设，
则，
解得，
故，
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求，
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求，
故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时的值为或