新高考数学一轮复习过关训练第37课 数列求和（2份打包，原卷版+解析版）

第37课　数列求和

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

【基础巩固】

1．（2022·重庆八中高三阶段练习）数列的前n项和为，且，则（       ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】D

【分析】根据数列的通项公式，可求得,依此类推，即可求解.

【详解】∵，故

故

.

故选：D.

2．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，则（       ）

A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26

C．26<S100<27 D．27<S100<27.5

【答案】A

【分析】利用裂项相消法，来求前项和公式，再求前100项的和即可．

【详解】由，

∴，

∴，

故选：A．

3．（2022·全国·高三专题练习） （       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】观察数列属于等差乘等比模型，按照错位相减法求和即可.

【详解】由，

得，

两式相减得

.

所以.

故选：B.

4．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，利用倒序相加法求解.

【详解】解：因为，

且，

令,

又

，

两式相加得：，

解得，

故选：B

5．（2022·广东广州·三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得出为等差数列，即可求出，进而得出，利用裂项相消法可求出.

【详解】当时，；当时.

所以，所以.

因为，

所以，

所以是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以，故.

所以，

所以.故选：A

6．（2022·江苏南通·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（       ）

A．4097 B．4107 C．5119 D．5129

【答案】B

【分析】根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．

【详解】由题意时，，，在上奇数共有个，

，，

，

设，则，

相减得：，

所以，

所以．

故选：B．

7．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（       ）

A． B．0 C．59 D．

【答案】A

【分析】由题得   ①，   ②，两式相加化简即得解.

【详解】令   ①

则   ②

①+②可得：，

，..

故选：A

8．（2022·北京·北师大二附中高三开学考试）已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（       ）

A．的值为2

B．数列的通项公式为

C．数列为递减数列

D．

【答案】B

【分析】利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求.

【详解】当时，，∴，故A正确；

当时，，

∴，

∴，∵上式对也成立，∴（），故B错误；

∵，

∴数列为递减数列，故C正确；

∵，

∴，

两式相减得，，

∴，故D正确．

故选：B．

9．（多选）（2022·重庆·一模）已知数列满足：，则下列说法中正确的是（       ）

A． B．

C．数列的前10项和为定值 D．数列的前20项和为定值

【答案】AD

【分析】由，两式可判断A,B选项；由题意可得，，从而可判断选项C,D.

【详解】取得，故；选项A正确

取得，又，两式相减得；选项B不正确.

由题知，①，②，③，

②-①得，②+③得，

∴为定值，题中条件只限制，

所以的值不确定，故前10项和无法确定；所以选项C不正确.

前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，

同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值. 所以选项D正确.

故选：AD

10．（多选）（2022·广东·一模）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．为等比数列

C．

D．

【答案】AD

【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;

【详解】，则 ，又 ，

同理 ，故A正确；

而 ，故不是等比数列，B错误；

，故C错误；

，故D正确，

故选：AD

11．（2022·湖北·模拟预测）已知数列满足为数列的前项和，则（       ）

A．是等比数列

B．是等比数列

C．

D．中存在不相等的三项构成等差数列

【答案】BC

【分析】根据给定条件，求出数列的通项表达式，再逐项分析计算、判断作答.

【详解】数列中，，，则，，

因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，

数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；

因，，则数列不是等比数列，A不正确；

，C正确；

假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，

则有，而，即，又，因此，不成立，

所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.

故选：BC

12．（多选）（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（       ）

A．

B．数列是公比为28的等比数列

C．若，则数列的前2020项和为4040

D．若，则数列的前2020项和为

【答案】BCD

【分析】应用等差数列的前n项和、通项公式求基本量可得，进而判断A，再由及等比数列的定义判断B，应用分组求和、裂项求和判断C、D.

【详解】由题设，，则，

若等差数列的公差为，故，而，

所以，则，

，A错误；

，易知是公比为28的等比数列，B正确；

，则前2020项和为，C正确；

，则前n项和为，

所以前2020项和为，D正确.

故选：BCD

13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．

【答案】

【分析】用裂项相消法求和．

【详解】因为，

所以．

故答案为：．

14．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，则___________.

【答案】

【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；

【详解】设公差为，因为，所以，解得，

所以，所以，所以，

所以

故答案为：

15．（2022·湖南益阳·高三阶段练习）已知数列中，，当时，有，则的值为__________.

【答案】

【分析】令，进而根据题意得数列为等比数列，公比为，首项为，进而得，再根据错位相减法求解即可.

【详解】解：因为当时，有，所以，

令，则，

所以数列为等比数列，公比为，首项为，

所以，所以，

所以，

所以，即

故答案为：

16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．

【答案】

【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．

【详解】∵①，

∴当时，②，

①－②得，∴；

当时，，∴，此时仍然成立，

∴．

∴当n=1时，；

当时，，

当n=1时，上式也成立，故．

由于，

设

则，

∴．

故答案为：．

17．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知数列{}满足=2，.

(1)求数列{}的通项公式;

(2)求数列{}的前n项和.

【解】（1）令，

，

，所以，

所以是公比为2的等比数列，

所以，

即，符合=2，

故.

（2），①

，②

得：

所以：

18．（2022·湖南·高三开学考试）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：.

【解】（1）由题意得：，

三点共线，则，可得，即.

数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.

（2），

所以

19．（2022·广东·高三开学考试）已知数列满足，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项的和.

【解】（1）当为奇数时，，

所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，

所以，

当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；

（2.

【素养提升】

1．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（       ）

A．249 B．499 C．749 D．999

【答案】A

【分析】利用已知关系式构造两个新数列，求出，利用放缩技巧，可得到数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列 前项和后，带入函数解析式即可得到答案.

【详解】由，得，又，所以数列是以3为首项，4为公比的等比数列，则①；

由得，，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立可得；

因为，所以

即：   所以，

故，所以，则．

故选：A

2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂项相消求和可得答案.

【详解】由，，

得，

所以，，

所以，即，

所以，

所以，

所以，

，

故，，

所以.

故选：A.

3．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得，判断为递增数列，可得所求范围．

【详解】解：首项，前项和为，，

可得，

时，，又，

两式相减可得，

则，

可得，

上式对也成立，

则，，

，

，

则前项和，

，

相减可得

，

化简可得，

由，可得为递增数列，

可得，

而，可得，

综上可得，

故选：C．

4．（2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断出，通过放缩得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可证得，

又由证得即可.

【详解】当，时，因为，所以，

又因为，

且，

下证，

即证，

即证，

即证，

即证，

即证

令，即证，当，时，不等式恒成立.

因此，，

所以

，

又因为，

故选：D.

5．（多选）（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．数列单调递增

C．

D．若为偶数，则正整数n的最小值为8

【答案】AC

【分析】利用求得是公比为3的等比数列，利用求得的值，判断出选项A，求出即可判断B；利用分组求和证得C正确；利用二项式定理证得D错误.

【详解】解：

∴

∴

则 是公比为3的等比数列.

∴

或，又，所以，A正确；

，可能小于，故B错误；

又

，故C正确；

 ，不符

故当时，为奇数，故D错误.

故选:AC.

6．（2022·江苏苏州·模拟预测）数列满足，，则前40项和为________．

【答案】

【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，

【详解】当时，，

故

，

当时，，

所以，

所以，

当时，；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

故

，

故前40项和为，

故答案为：

7．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）

(1)判断并证明数列的单调性；

(2)记数列的前n项和为，证明：．

【解】（1）单调递减，理由如下：．∵，∴，∴数列单调递减；

（2）∵，，，∴，又，则.∵，，∴，则，当，累加可得，则，则，则，∴

，则．