初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精品同步达标检测题

2023年人教版数学九年级上册

《二次函数与一元二次方程》专项练习

一              、选择题

1.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与直线y＝1交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax2＋bx＋c﹣1＞0的解集为(　　)

A.x＞1      B.1＜x＜3      C.x＜1或x＞3      D.x＞3

2.函数y＝kx2﹣6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)

A.k＜3          B.k＜3且k≠0          C.k≤3          D.k≤3且k≠0

3.如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是(　　)

A.－1≤x≤3         B.x≤－1        C.x≥1       D.x≤－1或x≥3

4.如图，一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是(　　)

A.有两个不相等的实数根         B.有两个相等的实数

C.没有实数根                   D.以上结论都正确

5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图，则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之和(   )

A.大于0     B.等于0      C.小于0          D.不能确定

6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的图象可能是(　　)

7.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列说法中，正确的是(    ).

A.abc＜0，b2－4ac＞0

B.abc＞0，b2－4ac＞0

C.abc＜0，b2－4ac＜0

D.abc＞0，b2－4ac＜0

8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(  )

A.c>－1         B.b>0         C.2a+b≠0         D.9a+c>3b

9.如图，直线y＝1与抛物线y＝x2﹣2x相交于M、N两点，则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解？(　　)

A.x2﹣2x＋1＝0   B.x2﹣2x﹣1＝0    C.x2﹣2x﹣2＝0   D.x2﹣2x＋2＝0

10.二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx﹣t＝0(t为实数)在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是(　　)

A.t≥﹣1      B.﹣1≤t＜3      C.﹣1≤t＜8      D.3＜t＜8

11.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0).

下列结论：①2a－b＝0；②(a＋c)2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到抛物线y＝(x－2)2－2.其中正确的是(　　)

A.①③                              B.②③                              C.②④                              D.③④

12.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：

①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；

②4a＋2b＋c＜0；

③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为﹣1；

④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.

其中正确的个数有(　　)

A.1个      B.2个      C.3个      D.4个

二              、填空题

13.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，若点P(4，0)在该抛物线上，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为　   　.

14.已知二次函数y＝2x2﹣6x＋m的图象与x轴没有交点，则m的值为　  　.

15.如图，一次函数y=mx+n的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A(﹣1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　   　.

16.若二次函数y＝(k﹣2)x2＋(2k＋1)x＋k的图象与x轴有两个交点，其中只有一个交点落在﹣1和0之间(不包括﹣1和0)，那么k的取值范围是　  　.

17.若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a,b,c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”的关系，此时直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”。若直线y＝mx＋4与y＝x2﹣4x＋n具有“一带一路”的关系则m＝        ，n＝         .

18.抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(﹣1，2)，与x轴的一个交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2＋bx＋c﹣2＝0有两个相等的实数根.其中正确的结论有　   　(填序号).

三              、解答题

19.已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(﹣4，﹣)两点，

(1)求b、c的值；

(2)二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由.

20.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax＋2．

(1)抛物线的对称轴为直线 　   　，抛物线与y轴的交点坐标为 　  　；

(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．

21.已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2＋bx＋c(b，c为常数)，

(1)如图，两函数图象交于点(3，m)，(n，﹣6)．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．

(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．

22.如图，一次函数y＝x＋k图象过点A(1，0)，交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且OB＝BC，过A，C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围.

23.如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C(﹣1，﹣2)，抛物线F：y＝x2﹣2mx＋m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P.

(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

(2)设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；

(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围.

24.已知关于x的一元二次方程：x2﹣(m﹣3)x﹣m＝0.

(1)试判断原方程根的情况；

(2)若抛物线y＝x2﹣(m﹣3)x﹣m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.

(友情提示：AB＝|x2﹣x1|)

答案

1.C.

2.C.

3.D.

4.B.

5.C

6.B

7.B.

8.D

9.B.

10.C

11.D

12.B.

13.答案为：﹣2和4.

14.答案为：m＞.

15.答案为：x＜﹣1或x＞4.

16.答案为：0＜k＜2.

17.答案为：m＝﹣2,n＝4.

18.答案为：②③④.

19.解： (1)将点A(0，3)，B(﹣4，﹣ )代入二次函数解析式，得 解得.

(2)由(1)知，二次函数解析式为y＝﹣x2＋x＋3，

令y＝0，得﹣x2＋x＋3＝0，

整理得x2﹣6x﹣16＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，

即该二次函数的图象与x轴有两个不同交点，坐标分别为(﹣2，0)，(8，0).

20.解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣4ax＋2的对称轴为直线x＝2．

令x＝0，则y＝2．

∴抛物线y＝ax2﹣4ax＋2与y轴的交点为(0，2)．

故答案为：x＝2；(0，2)．

(2)∵抛物线y＝ax2﹣4ax＋2的对称轴为直线x＝2，

∴顶点在1≤x≤5范围内，

∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，

∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6，

∴25a﹣20a＋2＝﹣6，解得a＝﹣，

∴抛物线为y＝﹣x2＋x＋2

当x＝2时，y＝﹣×22＋×2＋2＝，

∴此时y的最大值为．

当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6，

∴4a﹣8a＋2＝﹣6，解得a＝2，

∴抛物线为y＝2x2﹣8x＋2，

当x＝5时，y＝2×25﹣8×5＋2＝12，

∴此时y的最大值12．

综上，y的最大值为12．

21.解：(1)将(3，m)代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，

将(n，﹣6)代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，

∴抛物线经过点(3，4)，(﹣2，﹣6)，

将(3，4)，(﹣2，﹣6)代入y2＝﹣x2＋bx＋c得

，解得，

∴y＝﹣x2＋3x＋4，

由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，

∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．

(2)令﹣x2＋bx＋c＝2x﹣2，整理得x2＋(2﹣b)x﹣(2＋c)＝0，

当Δ＝(2﹣b)2＋4(2＋c)＝0时，两函数图象只有一个公共点，

∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．

22.解：(1)把A(1，0)代入y＝x＋k中，得k＝﹣1，

∴一次函数解析式为y＝x﹣1，

令x＝0，得点B坐标为(0，﹣1)，

∵OB＝BC，OB＝1，

∴BC＝2，

∴OC＝3，

∴C点坐标为(0，﹣3)，

又∵CD∥x轴，

∴点D的纵坐标为﹣3，

当y＝﹣3时，x﹣1＝﹣3，解得x＝﹣2，

∴点D的坐标为(﹣2，﹣3)，

设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，

将A(1，0)，C(0，﹣3)，D(﹣2，﹣3)代入，

得，解得，

∴抛物线的解析式为：y＝x2＋2x﹣3；

(2)∵直线与抛物线交于D(﹣2，﹣3)，A(1，0)两点，抛物线开口向上，

∴当x＜﹣2或x＞1时，一次函数值小于二次函数值.

23.解：(1)∵抛物线F经过点C(﹣1，﹣2)，

∴﹣2＝(﹣1)2﹣2×m×(﹣1)＋m2﹣2，

解得，m＝﹣1，

∴抛物线F的表达式是：y＝x2＋2x﹣1；

(2)当x＝﹣2时，yp＝4＋4m＋m2﹣2＝(m＋2)2﹣2，

∴当m＝﹣2时，yp取得最小值，最小值是﹣2，

此时抛物线F的表达式是：y＝x2＋4x＋2＝(x＋2)2﹣2，

∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，

∵x1＜x2≤﹣2，

∴y1＞y2；

(3)m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，

理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A(0，2)，B(2，2)，

∴或或，

解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4.

24.解：(1)△＝[﹣(m﹣3)]2﹣4(﹣m)＝m2﹣2m＋9＝(m﹣1)2＋8，

∵(m﹣1)2≥0，

∴△＝(m﹣1)2＋8＞0，

∴原方程有两个不等实数根；

(2)存在，

由题意知x1，x2是原方程的两根，

∴x1＋x2＝m﹣3，x1•x2＝﹣m.

∵AB＝|x1﹣x2|，

∴AB2＝(x1﹣x2)2＝(x1＋x2)2﹣4x1x2

＝(m﹣3)2﹣4(﹣m)＝(m﹣1)2＋8，

∴当m＝1时，AB2有最小值8，

∴AB有最小值，即AB＝2.