人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角课后练习题

第一章1.2.3　直线与平面的夹角

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α的夹角为(　　)

A. B. 

C. D.

2.[探究点二]直线l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面α的夹角的余弦值为(　　)

A.- B. 

C.- D.

3.[探究点二] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE的夹角为(　　)

A. B.

C. D.

4.[探究点二·2023河北高二期中]正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF的夹角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.

5.[探究点二](多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,则(　　)

A.AC1与底面ABC的夹角的正弦值为

B.AC1与底面ABC的夹角的正弦值为

C.AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为

D.AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为

6.[探究点二]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1的夹角的正弦值为　　　　. 

7.[探究点二]正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为　　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1的夹角的大小为(　　)

A.60° B.90°

C.45° D.以上都不对

9.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中点,点N在该正方体的棱上运动,则下列说法正确的是(　　)

A.当N为棱AA1中点时,MN∥B1D

B.当N为棱AA1中点时,MN与平面ABC1D1的夹角为

C.有且仅有三个点N,使得BN∥平面AMD1

D.有且仅有四个点N,使得MN与B1C所成角为

10. [2023辽宁辽河高二阶段练习](多选题)如图,设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,其中正确的说法为(　　)

A.三棱锥D1-B1EF的体积为定值

B.异面直线D1B1与EF所成的角为60°

C.D1B1⊥平面B1EF

D.直线D1B1与平面B1EF的夹角为30°

11. 如图,圆锥的高PO=,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为　　　　. 

C级 学科素养创新练

12.[2023山东聊城高二阶段练习]正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E是棱AB的中点,F是四边形AA1D1D内一点(包含边界),且=-,当三棱锥F-AED的体积最大时,EF与平面ABB1A1的夹角的正弦值为(　　)

A. B. 

C. D.

1.2.3　直线与平面的夹角

1.C　线面角的范围是[0,].

∵<a,n>=,∴l与α的法向量所在直线所成角为,

∴l与α的夹角为.

2.D　设直线l与平面α的夹角为θ,则sinθ=|cos<s,n>|=,∴cosθ=.

∴直线l与平面α的夹角的余弦值为.

3. B　以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则=(1,1,0),=(0,1,),

设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴·n=0,·n=0,

可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),∴cos<,n>=,

∴<,n>=30°.

∴直线A1B与平面BDE的夹角为60°.

4. C　以点P为原点,PA为x轴,PB为y轴,PC为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

设PA=PB=PC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),则=(0,2,0),=(1,1,0),=(0,1,1).

设平面PEF的法向量n=(x,y,z),

则取x=1得n=(1,-1,1).

设平面PB与平面PEF的夹角为θ,则sinθ=.

故选C.

5. BC　如图,取A1C1中点E,AC中点F,并连接EF,则EB1,EC1,EF三条直线两两垂直,则分别以这三条直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

设AB=2,则AA1=2,

∴A1(0,-1,0),C1(0,1,0),A(0,-1,2),C(0,1,2),B1(,0,0),∴=(0,2,-2).底面ABC的一个法向量为m=(0,0,2),

∴AC1与底面ABC的夹角的正弦值为|cos<m,>|=,故A错,B对;

∵A1B1的中点K的坐标为(,-,0),

∴侧面AA1B1B的一个法向量为=(-,0),

∴AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为|cos<>|=,故C对,D错.

故选BC.

6.　设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,

则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为=(1,1,1).又=(0,0,1),

则|cos<>|=.

所以BB1与平面ACD1的夹角的正弦值为.

7.　设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A(,0),,

又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.

sinθ=|cos<n,>|=,

∴cosθ=.

8.B　以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意知A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),

所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).

设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则

令z=1,得n=(0,1,1).设直线与平面A1ED1所成角为θ,所以sinθ=|cos<n,>|==1.

又因为0°≤θ≤90°,

所以直线AE与平面A1ED1的夹角为90°.故选B.

9.BD　因为B1D∩平面A1B1BA=B1,MN⊂平面A1B1BA,且B1∉MN,所以MN,B1D异面,故A错误;

如图,建立空间直角坐标系,记AB=2,

则A(2,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),N(2,0,1),M(2,1,2),

所以=(0,2,0),=(-2,0,2),=(0,1,1),

设n=(x,y,z)为平面ABC1D1的法向量,

则取x=1,得n=(1,0,1).

记MN与平面ABC1D1的夹角为θ,则sinθ=.因为θ∈[0,],所以θ=,故B正确;

记CD中点为N,连接BN,BC1,NC1.

由正方体性质易知,BC1∥AD1,BC1⊄平面AMD1,AD1⊂平面AMD1,

所以BC1∥平面AMD1,同理BN∥平面AMD1.

又BN∩BC1=B,BN⊂平面BNC1,BC1⊂平面BNC1,

所以平面BNC1∥平面AMD1,所以当点N为CD中点或与C1重合时满足题意,故C错误;

易知CD1,B1D1,AC,AB1与B1C的夹角为60°,所以当MN与CD1,B1D1,AC,AB1之一平行时满足题意,即N为BB1,AA1,A1D1,B1C1中点时满足题意,故D正确.

故选BD.

10.AD　对于A,×BC=×EF×DD1×BC=×1×2×2=,

故三棱锥D1-B1EF的体积为定值,故A正确;

对于B,EF∥D1C1,D1B1和D1C1所成的角为45°,异面直线D1B1与EF所成的角为45°,故B错误;

对于C,若D1B1⊥平面B1EF,则D1B1⊥直线EF,即异面直线D1B1与EF所成的角为90°,故C错误;

对于D,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设E(0,a,0),则F(0,1+a,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),则=(2,2-a,2),=(0,1,0),=(2,2,0).

设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),则

令z=-1,则n=(1,0,-1),则cos<n,>=,则<n,>=60°.

所以直线D1B1与平面B1EF的夹角为30°,故D正确.

故选AD.

11.　设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,V三棱锥O-PAC=V三棱锥P-OAC,即S△PAC·d=PO·S△OAC,∴d=,

∴sinα=,则cosα=.

12. A　如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),E(1,0,0),D(0,2,0).设F(0,m,n),m∈[0,2],n∈[0,2],则=(1,-m,-n)·(0,2-m,-n)=m2-2m+n2=-.

由于S△ADE为定值,要想三棱锥F-AED的体积最大,则F到底面ADE的距离,即n最大,

其中n2=--m2+2m=-(m-1)2+,

所以当m=1时,n2取得最大值.

因为n∈[0,2],所以n的最大值为,

所以F(0,1,),=(-1,1,).平面ABB1A1的一个法向量n1=(0,1,0),

所以EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为|cos<,n1>|=.故选A.