高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角背景图课件ppt

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1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念.2.了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cs θ＝cs θ1·cs θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角.3.会用向量法求线面角.
1.通过学习直线与平面夹角的概念，提升学生的数学抽象素养.2.通过线面角的求解，提升学生的数学运算等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　直线与平面所成的角是如何定义的？
2.填空　(1)直线与平面的夹角平面的斜线和它在平面内的______所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.(2)最小角定理 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为___________________.
cs θ＝cs θ1cs θ2
(3)用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则，
温馨提醒　①范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.当θ＝0°，AB∥α或AB⊂α；当θ＝90°，AB⊥α.②斜线与它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　用定义求线面角
例1 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值.解　如图，过A，E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O，G为垂足.
∴AO綊2GE，AO，GE确定平面AOD.连接GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角.由正四面体性质知O为△BCD的中心，连接DO并延长交BC于F，则F为BC的中点.令正四面体棱长为1，
利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影.
训练1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.
求EB与平面ABCD夹角的余弦值.解　取CD的中点M，连接EM，BM，则EM∥PD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角.设PD＝DC＝a，
题型二　由公式cs θ＝cs θ1·cs θ2求线面角
例2 如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为(　　)
解析　如图，设A在平面BPC内的射影为O，连接OP，∵∠APB＝∠APC，
∴点O在∠BPC的角平分线上，∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角.∴cs∠APC＝cs∠APO·cs∠OPC，即cs 60°＝cs∠APO·cs 30°，
公式cs θ＝cs θ1·cs θ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1.在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2分别对应图形中的哪个角.
训练2 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.
解　由题意得∠CBD＝45°，∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.∵cs∠PBC＝cs θ·cs∠CBD，∠PBC＝60°.即cs 60°＝cs θ·cs 45°，
题型三　向量法求线面角
取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB.∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，CM⊂平面ABC，
∴AC1与侧面ABB1A1所成角的大小为30°.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
2.直线l的方向向量是v1，平面α的法向量为v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l与平面α所成的角为φ，则(　　)A.φ＝θ B.φ＝π－θC.cs θ＝|cs φ| D.sin φ＝|cs θ|
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值是(　　)
建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，3).
4.如图，AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析　设AC和平面α所成的角为θ，则cs 60°＝cs θ·cs 45°，
5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　)
取z＝1，则n＝(2，0，1).设直线PA与平面DEF所成的角为θ，
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__________.
解析　以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
8.等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为________.
解析　如图，过C作CO⊥平面α，O为垂足，连接OA，OM，则∠OMC为CM与平面α所成的角，
∴∠OMC＝45°，即CM与平面α所成角的大小为45°.
9.如图所示，在直三棱柱ABO-A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值.
∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点.求BD与平面ADMN所成的角θ的大小.
解　如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，N(1，0，1)，
设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1).
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
11.若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的余弦值为(　　)
12.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，则BE＝________；EB与平面ABCD夹角的正弦值为________.
解析　如图建立空间直角坐标系Dxyz，
(1)求证：AF∥平面BCE；
证明　以A为原点，在平面ACD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
设平面BCE的法向量n＝(x，y，z)，
(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值.
解析　由题意知，该四棱锥为正四棱锥，
连接AC，BD交于E，设球心为O，连接PO，BO，则E在PO(或其延长线)上，PO＝BO＝R，