数学人教B版 (2019)1.2.3 直线与平面的夹角课后作业题

这是一份数学人教B版 (2019)1.2.3 直线与平面的夹角课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )
A.∠C1BB1B．∠C1BD
C．∠C1BD1D．∠C1BO
2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A．B．
C．D．
3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )
A．B．
C．D．
4．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，P是棱BC上的动点．记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是( )
A．θ1＝θ2B．θ1>θ2
C．θ1<θ2D．不能确定
二、填空题
5．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为________．
6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．
7．在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．
三、解答题
8．如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．
9.
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：AC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
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10．如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
课时作业(六) 直线与平面的夹角
1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.
答案：D
2.
解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝.
答案：C
3．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
则A1(1，0，1)，E(1，，0)，
F(0，，1)，B1(1，1，1)．
A1E＝，A1F＝＝(0，1，0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则即令y＝2，则
∴n＝〉＝＝，
即A1B1与平面A1EF所成角的正弦值为.
答案：B
4．解析：因为θ1是直线A1P与平面ABC所成的角，而θ2是直线A1P与直线BC所成的角，由最小角定理可知θ1≤θ2，又因为直线BC在平面ABC内且不可能与A1P的射影AP共线，所以θ1<θ2.故选C.
答案：C
5．解析：cs〈a，n〉＝＝＝＝，所以l与平面α所成角的正弦值为.
答案：
6．解析：连接BC1交B1C于O点，连接A1O.
设正方体棱长为a.
易证BC1⊥平面A1B1CD，
∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影．
∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
∴sin∠BA1O＝＝，
∴∠BA1O＝30°.
即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.
答案：30°
7．解析：
以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P(0，－)，
从而＝(2a，0，0)，
＝(－a，－)，＝(a，a，0)．
设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，
则cs〈，n〉＝＝＝.
所以〈，n〉＝60°.
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
8.
解析：取BC中点O，B1C1中点O1，连接AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OC，OA，OO1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则＝(，－a，a)．
取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB.
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴CM⊥平面ABB1A1，
∴为平面ABB1A1的一个法向量．
∵B(－，0，0)，∴M(－a，0)．
又∵C(，0，0)，∴＝(－a，a，0)．
，〉＝＝＝－.
∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
9．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.
∵PD＝D，∴AC⊥平面PDB.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，
E()，
＝(－)．
由(1)知＝(－1，1，0)为平面PDB的一个法向量．
设AE与平面PDB所成的角为θ，
则sinθ＝|cs〈〉|＝＝＝.
∴AE与平面PDB所成的角为45°.
10．解析：
如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)．连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m，1)(m>0)，
由已知〈〉＝60°，
由·＝||||cs〈〉，
可得m＝.解得m＝，
所以＝(，1)．
(1)因为cs〈〉＝＝，
所以〈〉＝45°，
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)．
因为cs〈〉＝＝，
所以〈〉＝60°.
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.