数学4.3.1 一元线性回归模型课后练习题

第四章4.3　统计模型

4.3.1　一元线性回归模型

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]对相关系数r,下列说法正确的是(　　)

A.|r|越大,线性正相关程度越大

B.|r|越小,线性相关程度越大

C.|r|越大,线性相关程度越小,|r|越接近0,线性相关程度越大

D.|r|≤1且|r|越接近1,线性相关程度越大,|r|越接近0,几乎不存在相关关系

2.[探究点一]在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-3x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为(　　)

A.-3 B.0 C.-1 D.1

3.[探究点二]某工厂的每月各项开支x与毛利润y(单位:万元)之间有如下关系,且y与x的回归直线方程=6.5x+,则=(　　)

A.17.5 B.17 C.15 D.15.5

4.[探究点二]由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),求得回归直线方程为=1.5x+0.5,且=3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2,则(　　)

A.变量x与y具有正相关关系

B.去除两个误差较大的样本点后,重新求得的回归方程仍为=1.5x+0.5

C.去除两个误差较大的样本点后,y的估计值增加速度变快

D.去除两个误差较大的样本点后,相应于样本点(2,3.75)的残差为0.05

5.[探究点二]某设备的使用年限x(单位:年)与所支出的维修费用y(单位:万元)的统计数据如下表:

根据上表可得回归直线方程为=1.3x+,据此模型预测,若使用年限为14年,估计维修费约为　　　　万元. 

6.[探究点二·2023江西高二期中]下面是两个变量的一组数据:

这两个变量之间的回归直线方程为=-15+9x,则变量y中缺失的数据是　　　　. 

7.[探究点三]用模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出线性回归方程,设z=ln y,求得回归直线方程为=0.3x+4,则k的值为　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到回归直线方程=b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到回归直线方程=b2x+a2,相关系数为r2.则(　　)

A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1

C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0

9.[2023江西吉安一中高二期末]已知变量x,y的关系可以用模型y=cekx拟合,设z=ln y,其变换后得到一组数据如下:

由上表可得回归直线方程=-4x+a,则c=(　　)

A.-4 B.e-4 C.109 D.e109

10.(多选题)某地建立了农业科技图书馆,供农民免费借阅,收集了近5年的借阅数据如下表:

根据上表,可得y关于x的回归直线方程为=0.24x+,则(　　)

A.=4.68

B.估计近5年借阅量以0.24万册/年的速度增长

C.y与x的样本相关系数r>0

D.2022年的借阅量一定不少于6.12万册

11.在研究两个变量的线性相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围,令z=ln y,求得回归直线方程=0.25x-2.58,则该模型的回归方程为　　　　　　　　　　. 

12.某单位为了解用电量y(单位:度)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温.

(1)求回归直线方程;(参考数据:xiyi=1 120,=440)

(2)根据(1)的回归直线方程估计当气温为10 ℃ 时的用电量.

C级 学科素养创新练

13.如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查,调查结果如下表:

(1)据统计表明y与x之间具有线性相关关系.

①请用样本相关系数r加以说明;(若|r|>0.75,则可认为y与x有较强的线性相关关系)

②经计算求得y与x之间的回归直线方程为y=1.382x-2.774,假定每单外卖企业平均能获纯利润3元,试预测当外卖乙日接单量不低于2 500单时,外卖甲所获取的日纯利润的最小值.(x的结果精确到0.01)

(2)试根据表格中这五天的日接单量情况,从均值和方差的角度说明这两家外卖企业的经营状况.

参考数据:(xi-)(yi-)=69.1,

≈78.

参考答案

4.3　统计模型

4.3.1　一元线性回归模型

1.D　用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱,|r|≤1,r的绝对值越接近于1,表示两个变量的线性相关性越强,r的绝对值接近于0时,表示两个变量之间几乎不存在相关关系,故选D.

2.C　因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-3x+1上,所以回归直线方程是=-3x+1,可得这两个变量是负相关,故这组样本数据的样本相关系数为负值,且所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线上,则有|r|=1,所以相关系数r=-1,故选C.

3.A　由题意,根据表中的数据,可得=5,=50,代入回归直线方程=6.5x+,解得=17.5.故选A.

4.A　因为重新求得的回归直线l的斜率为1.2>0,所以变量x与y具有正相关关系,故A正确;当=3时,=3×1.5+0.5=5.设去掉两个误差较大的样本点后,横坐标的平均值为,纵坐标的平均值为,则=3,=5,因为去除两个误差较大的样本点后,重新求得回归直线l的斜率为1.2,所以5=3×1.2+,解得=1.4,所以去除两个误差较大的样本点后的回归直线方程为=1.2x+1.4,故B错误;因为1.5>1.2,所以去除两个误差较大的样本点后y的估计值增加速度变慢,故C错误;因为=1.2×2+1.4=3.8,所以y-=3.75-3.8=-0.05,故D错误.故选A.

5.18　=4,

=5,

代入回归直线方程可得=5-1.3×4=-0.2,=1.3x-0.2.

当x=14时,=1.3×14-0.2=18(万元),

即估计使用14年时,维修费用是18万元.

6.4　设变量y中缺失的数据为m,则(1+2+3+4+5+6+7+8)=4.5,(1+m+9+16+25+36+49+64)=(m+200).因为这两个变量之间的回归直线方程为=-15+9x,所以(m+200)=-15+9×4.5,解得m=4.

7.0.3　由题意知,y=cekx,故lny=lnc+kx,设z=lny,求得回归直线方程为=0.3x+4,两式相比较,得k=0.3.

8.D　由散点图知,x与y负相关,所以r1,r2<0.

因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,|r|更接近1,所以-1<r2<r1<0.

9.D　由表知=17.5,=39.点()代入方程,得-4×17.5+a=39,则a=109.∴z=-4x+109,由y=cekx,得z=lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx,∴lnc=109,即c=e109.故选D.

10.ABC　=3,=5.4,代入=0.24x+,可得=4.68,所以A正确;因为=0.24x+,所以估计每年借阅量的增长量为0.24万册,所以B正确;因为=0.24>0,所以y与x正相关,即相关系数r>0,所以C正确;把x=6代入=0.24x+4.68,得=6.12,而6.12万册是预测值,不是精确值,所以D错误.故选ABC.

11.=e0.25x-2.58　由回归直线方程=0.25x-2.58得ln y=0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58,

所以该模型的回归方程为=e0.25x-2.58.

12.解(1)=10,=30,xiyi=1120,=440,所以=-2,把(10,30)代入回归直线方程得30=-2×10+,解得=50.

所以回归直线方程为=-2x+50.

(2)当x=10时,=30,估计当气温为10 ℃时的用电量为30度.

13.解 (1)①由(xi-)(yi-)=69.1,

≈78,

得样本相关系数r=≈0.886,

所以|r|>0.75,可认为y与x之间有较强的线性相关关系.

②由题意y与x之间的回归直线方程为=1.382x-2.774,

由=1.382x-2.774≥25,解得x≥20.10,所以300x≥6 030,

所以可预测外卖甲所获取的日纯利润的最小值为6 030元.

(2)根据表格中数据,得×(5+2+9+8+11)=7,

×(2.2+2.3+10+5+15)=6.9,

[(5-7)2+(2-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(11-7)2]=10,

[(2.2-6.9)2+(2.3-6.9)2+(10-6.9)2+(5-6.9)2+(15-6.9)2]=24.416.

从平均值看,甲的平均值大些,即甲的接单量多些;

从方差看,甲的方差小些,即甲的日接单量波动性小些.