9_专题三35函数与方程及函数的综合应用（习题+十年高考+检测）

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专题三　函数的概念与基本初等函数
一、单项选择题
1.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,5)若函数y=x2+2x+a+ln(x+2)的定义域为[1,+∞),则a=(　　)
A.-3 B.3 C.1 D.-1
答案　A　由题意知x2+2x+a≥0,x+2>0的解集为[1,+∞),∴1是方程x2+2x+a=0的一个解,∴1+2+a=0,解得a=-3,故选A.
2.(2023届河南部分重点中学测试,7)已知函数f(x)=(3a−2)x−4a,x<1,log12x,x≥1的值域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.−2,23 B.−23,2
C.−∞,−23 D.0,23
答案　A　当x≥1时, f(x)=log12x,其值域为(-∞,0].
当x<1时, f(x)=(3a-2)x-4a的值域应包含(0,+∞),
所以3a-2<0且(3a-2)×1-4a≤0,解得-2≤a<23.
3.(2023届河南南阳月考,5)若函数f(x+1)的定义域为[-1,15],则函数g(x)=f(x2)x−1的定义域为(　　)
A.[1,4] B.(1,4]
C.[1,14] D.(1,14]
答案　B　因为x∈[-1,15],所以0≤x+1≤16,要使g(x)有意义,只需0≤x2≤16,x−1>0,解得1 4.(2023届陕西渭南蒲城中学质量检测,9)已知函数f(x-1)=x+x−1,则(　　)
A.f(x)=x+x
B.f(x)的定义域为[0,+∞)
C.f(x)有极大值
D.f(x)的值域为[0,+∞)
答案　B　令t=x-1,则x=t+1,由f(x-1)=x+x−1可得f(t)=t+1+t,即f(x)=x+x+1,故A错误;要使f(x)=x+x+1有意义,只需x≥0,故f(x)的定义域为[0,+∞),故B正确; 由f(x)=x+x+1在[0,+∞)上单调递增,可得f(x)min=f(0)=1, f(x)没有极大值,故C、D错误.故选B.
5.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,6)已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2,则f(a)+f(b)的值为(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
答案　A　因为f(x)为奇函数,定义域为[a-4,2a-2],所以a-4+2a-2=0且f(0)=b+2=0,解得a=2,b=-2,即f(x)=x3-sin x,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.故选A.
6.(2019课标Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(　　)
A. f log314>f(2−32)>f(2−23)
B. f log314>f(2−23)>f(2−32)
C. f(2−32)>f(2−23)>f log314
D. f(2−23)>f(2−32)>f log314
答案　C　∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴flog314=f(-log34)=f(log34).
∵log34>log33=1,且1>2−23>2−32>0,
∴log34>2−23>2−32>0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f(2−32)>f(2−23)>f(log34)=flog314.故选C.
7.(2023届西南“三省三校”联考一,4)若a=50.1,b=12log23,c=log30.8,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案　A　∵a=50.1>50=1,b=12log23=log23∈(0,1),c=log30.8b>c,故选A.
8.(2022湖南长郡中学模拟,8)已知函数f(x)满足:对任意的x∈R, f(x)+f(-x)=2,若函数y=f(x)与y=2-22x+1图象的交点为(xi,yi)(i=1,2,…,n),则(xi+yi)的值为(　　)
A.0 B.2n C.n D.-n
答案　C　由对任意的x∈R, f(x)+f(-x)=2,可知f(x)的图象关于(0,1)对称.
y=2-22x+1=1+2x−12x+1,设g(x)=2x−12x+1,则g(x)的定义域为R且g(-x)=2−x−12−x+1=1−2x2x+1=-g(x),
故g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,又y=2-22x+1=1+g(x),所以y=2-22x+1的图象关于(0,1)对称.
故函数y=f(x)与y=2-22x+1图象的各交点关于(0,1)对称.
不妨设x1 二、多项选择题
9.(2022辽宁丹东一模,11)设a>0,a≠1,b>0,b≠1, f '(x)为函数f(x)=ax+bx的导函数,已知f(x)为偶函数,则(　　)
A. f(1)的最小值为2
B. f '(x)为奇函数
C. f '(x)在R内为增函数
D. f(x)在(0,+∞)内为增函数
答案　BCD　易知函数的定义域为R. f(-x)=a-x+b-x=ax+bx(ab)x,由f(-x)=f(x)可得(ab)x=1,从而ab=1,于是f(x)=ax+a-x.f(1)=a+a-1≥2a·a−1=2(当且仅当a=1时取“=”),因为a≠1,所以f(1)>2.所以A错误,由f(x)=ax+a-x,得f '(x)=(ax-a-x)ln a,因为f '(-x)=(a-x-ax)ln a=-(ax-a-x)ln a=-f '(x),所以f '(x)为奇函数,所以B正确,因为f ″(x)=(ax+a-x)(ln a)2>0,所以f '(x)在R内为增函数,所以C正确,f '(x)=(ax-a-x)ln a=(ax)2−1axln a,当a>1,x>0时, f '(x)>0,当00时,(ax)2−1ax<0,ln a<0,则f '(x)>0.综上,当x>0时, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内为增函数,所以D正确.故选BCD.
10.(2022南京师大附中开学考,10)当0 A.22 B.32 C.63 D.2
答案　ABC　记函数f(x)=4x,g(x)=logax,由图1知,当a>1时,不满足题意;

图1

图2
当0 11.(2021江苏南通一模,12)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=ex(x+1),则下列命题正确的是(　　)
A.当x>0时, f(x)=-e-x(x-1)
B.函数f(x)有3个零点
C. f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)
D.∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2
答案　BCD　设x>0,则-x<0, f(-x)=e-x(-x+1),
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=e-x(x-1), f(0)=0,
因此函数f(x)有三个零点:0,±1.
当x<0时, f(x)=ex(x+1),则f '(x)=ex(x+2),
可得当x=-2时,函数f(x)取得极小值f(-2)=−1e2,即最小值作出y=f(x)的图象如图所示.

f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(0+)-f(0-)|<2.
综上,BCD都正确.
12.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,11)已知函数f(x)=x|x-a|,其中a为实数,则(　　)
A.函数f(x)有两个不同零点0和a
B.若对于任意两个不同的实数x1,x2,都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0,则a=0
C.若f(x)在[0,1]上单调递增,则a≤0或a≥2
D.若f(x)=1有三个不同的实数根,则a>2
答案　BCD　当a=0时, f(x)=x|x|只有一个零点,A错误;
若对于任意两个不同实数x1,x2,都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0,则f(x)在定义域R上是单调递增函数,结合图象知a=0,B正确;
f(x)=x|x-a|=x(x−a),x≥a,−x(x−a),x 当a=0时, f(x)在R上单调递增,所以f(x)在[0,1]上单调递增;
当a<0时, f(x)在(-∞,a)和a2,+∞上单调递增,在a,a2上单调递减,
所以x∈[0,1]时, f(x)=x(x-a)单调递增;
当a>0时, f(x)在−∞,a2和(a,+∞)上单调递增,在a2,a上单调递减,
若f(x)在x∈[0,1]上单调递增,则a2≥1,所以a≥2.
综上,若f(x)在[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞),C正确;
f(x)=1有三个不同的实数根,则由C的讨论结合图象知a>0且fa2>1,所以a>2,D正确.
三、填空题
13.(2023届甘肃武威凉州诊断二,15)已知函数f(x)=log2x,x>2,2x,x≤2,若f(a)=12,则实数a=　　　　. 
答案　-1
解析　若f(a)=12,则log2a=12,a>2或2a=12,a≤2,解得a=-1.
14.(2022安徽淮南第一中学月考三,14)已知f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,则满足不等式f(a) 答案　0,13
解析　∵f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,∴f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(a)0,解得a<13或a>1,又f(x)的定义域为[-1,1],∴−1≤a≤1,−1≤2a−1≤1,解得0≤a≤1,
综上,a的取值范围是0,13.
15.(2023届山西临汾期中,14)函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=f(2-x), f(-x2)=-f(x2+2),当x∈[0,4)时, f(x)=sinπ2x,则f6853=　　　　. 
答案　12
解析　由f(x+2)=f(2-x)可知f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(-x2)=f(4+x2),又f(-x2)=-f(x2+2),所以f(x2+4)=-f(2+x2),所以f(2+x2)=-f(x2),所以f(x2+4)=f(x2),
故当x≥0时, f(x) 是周期为4的函数,所以f6853=f228+13=f57×4+13=f13=sinπ6=12.
16.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=x,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　. 
答案　(3,+∞)
解析　f(x)的大致图象如图所示,

若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下方,即4m-m20,所以m>3.
四、解答题
17.(2023届甘肃武威凉州诊断二,22)新冠肺炎疫情发生以后,口罩供不应求,某口罩厂日夜加班生产,为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元,每生产x 万箱,需另投入成本p(x)万元,当产量不足60万箱时,p(x)=12x2+50x;当产量不小于60万箱时,p(x)=101x+6 400x-1 860,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式;
(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得利润最大?
解析　(1)当0 当x≥60时,y=100x-101x+6 400x−1 860−400=1 460−x+6 400x.
所以y=−12x2+50x−400,0 (2)当0 当x=50时,y取得最大值,最大值为850万元.
当x≥60时,y=1 460-x+6 400x≤1 460−2x·6 400x=1 300,当且仅当x=6 400x,即x=80时,y取得最大值,最大值为1 300万元.
综上,当产量为80万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1 300万元.
18.(2023届河南部分重点中学测试,21)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=log2(2x+1)-kx,g(x)=f(x)+2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设h(x)=x2-2mx+5,若存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),求实数m的取值范围.
解析　(1)由f(x)是定义在R上的偶函数可知log2(2-x+1)+kx-log2(2x+1)+kx=0,
即-2kx=log22−x+12x+1=-x,所以k=12,
故f(x)=log2(2x+1)-12x.
(2)由(1)知,g(x)=f(x)+2x=log2(2x+1)+32x,易知g(x)在R上单调递增,
所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立等价于4x-a·2x+1>-15,即a<4x+162x恒成立.
又4x+162x=2x+162x≥8,当且仅当x=2时,等号成立,
所以a<8,即实数a的取值范围是(-∞,8).
(3)因为存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),
所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值.
因为g(x)=log2(2x+1)+32x在[0,2]上单调递增,
所以当x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1.
函数h(x)=x2-2mx+5图象的对称轴为直线x=m,x∈[1,4].
当m≤1时,h(x)在[1,4]上单调递增,h(x)min=h(1)=6-2m≥1,解得m≤52,所以m≤1;当1 综上,实数m的取值范围是(-∞,2].