新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数7函数与方程专题检测含解析

函数与方程

专题检测

1.(2018豫西南部分示范性高中联考,7)函数f(x)=lnx-的零点所在的区间为 (　　)

A.(0,1)　　B.(1,2)　　C.(2,3)　　D.(3,4)

答案　B　易知f(x)=lnx-的定义域为(0,+∞),且在定义域上单调递增.

∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2->0,

∴f(1)·f(2)<0,∴根据零点存在性定理知f(x)=lnx-的零点所在的区间为(1,2).故选B.

2.(2018内蒙古呼和浩特质量普查)函数f(x)=lnx-的零点所在的区间是 (　　)

A.(0,1)　　B.(1,2)　　C.(2,3)　　D.(3,4)

答案　C　∵f(1)=-=-2<0,f(2)=ln2-=-1+ln2<0,f(3)=-+ln3>0.∴f(2)f(3)<0.

∴函数的零点所在的区间是(2,3).选C.

3.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 (　　)

A.(a,b)和(b,c)内　　B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内　　D.(-∞,a)和(c,+∞)内

答案　A　∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)·(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,

由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点;

又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,

因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.

4.(2017甘肃兰州高考实战模拟)已知a,b∈R,定义运算“?”:a?b=函数f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R,若方程f(x)-a=0只有两个不同实数根,则实数a的取值范围是              (　　)

A.[-2,-1]∪(1,2)　　B.(-2,-1]∪(1,2]

C.[-2,-1]∪[1,2]　　D.(-2,-1]∪(1,2)

答案　B　由x2-2-(x-1)≤1,解得x∈[-1,2],故f(x)=函数图象如图所示,可知f(x)=a有两个不同实数根时,a的取值范围是(-2,-1]∪(1,2].

5.(2018辽宁朝阳一模)方程4sinπx=在[-2,4]内根的个数为(　　)

A.6　　B.7　　C.5　　D.8

答案　D　由原方程得2sinπx=,在同一直角坐标系中作出函数y=2sinπx与y=的图象,如图,由图象可知,在区间[-2,4]内,两函数图象共有8个交点,故选D.

6.(2017北京朝阳一模,5)已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 (　　)

A.[-1,0)　　B.(1,2]

C.(1,+∞)　　D.(2,+∞)

答案　C　当x≤2时,令f(x)=-x2+4x=0,得x=0或x=4(舍去),故x≤2时,f(x)有一个零点.

当x>2时,f(x)=log2x-a是增函数,

由题意知x>2时,f(x)必有一个零点,

故a=log2x(x>2),∴a>1.故选C.

7.(2018河北保定第一次模拟,12)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=(-1<x<3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为              (　　)

A.2　　B.4　　C.6　　D.8

答案　B　因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期为2.又f(x)为偶函数,∴f(1-x)=f(x-1)=f(x+1),故f(x)的图象关于直线x=1对称.函数g(x)=的图象关于直线x=1对称,在同一平面直角坐标系内作出f(x)与g(x)在(-1,3)上的图象,如图,由图可知四个交点的横坐标关于x=1对称,其和为2×2=4,选B.

8.(2017辽宁锦州质检(二))若方程|lnx|=a有两个不等的实根x1和x2,则x1+x2的取值范围是              (　　)

A.(1,+∞)　　B.(,+∞)

C.(2,+∞)　　D.(0,1)

答案　C　令f(x)=|lnx|=

∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(1)=0,

∵方程|lnx|=a有两个不等的实根x1和x2,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2,

且-lnx1=lnx2=a,∴lnx1+lnx2=lnx1x2=0,∴x1x2=1,

∴x1+x2=x1+>2,故选C.

9.(2017甘肃高台一中四模)设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x3(x1+x2)+的取值范围是              (　　)

A.(-3,+∞)　　B.(-∞,3)　　C.[-3,3)　　D.(-3,3]

答案　D　由题意得x1+x2=-2×2=-4,-log2x3=log2x4⇒x3x4=1,

所以x3(x1+x2)+=-4x3+,又易知≤x3<1,

所以x3(x1+x2)+=-4x3+∈(-3,3],故选D.

10.(2018安徽黄山一模,12)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是              (　　)

A.(0,+∞)　　B.　　C.　　D.

答案　C　∵f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,∴当x∈[-1,0],即-x∈[0,1]时,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则当x∈[-1,1]时,f(x)=x2.∵f(x+2)=f(x),∴函数的周期为2.由g(x)=0,得f(x)-kx-k=0,得f(x)=kx+k=k(x+1),作出y=f(x)在[-1,3]上的函数图象如图所示:

设直线y=k1(x+1)经过点(3,1),则k1=.

∵直线y=k(x+1)经过定点(-1,0),且由题意知直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象有4个交点,∴0<k≤.故选C.

11.(2017甘肃肃南一中模拟)已知函数f(x)=g(x)=lnx,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为　　　　. 

答案　3

解析　由y=f(x)-g(x)=0,得f(x)=g(x),所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数g(x)的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与函数g(x)的图象(如图所示),结合图象可知,函数f(x)与函数g(x)的图象有三个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)有三个零点.

12.(2017广东肇庆二模,16)若偶函数y=f(x),x∈R,满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin|x|在[-10,10]内的根的个数为　　　　. 

答案　10

解析　∵函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),

∴函数y=f(x)是周期为4的函数,

由x∈[0,2]时,f(x)=2-x2及f(x)是偶函数可作出函数f(x)在[-10,10]上的图象,同时作出函数y=sin|x|在[-10,10]上的图象,交点个数即为所求.

13.(2018浙江绍兴上虞二模(5月),17)设函数f(x)=-4x+a+1有两个零点,则实数a的值是　　　　. 

答案　-或或4

解析　令=t,则x=+1,问题直接转化为函数g(t)=|t-a|-+a-3有两个零点,等价于y=|t-a|+a与y=+3有两个交点.

由于折线y=|t-a|+a的顶点在直线y=t上运动,

直线y=t与y=+3的交点坐标为A(4,4),D(-1,-1),由图可知,y=|t-a|+a与y=+3有两个交点.

(1)由y=|t-a|+a折线顶点为A(4,4),得a=4;

(2)y=-t+2a与y=+3相切时,t2+(3-2a)t+4=0,令Δ=0,知a=-或a=.

综上,实数a的值为-或或4.

14.(2018重庆酉阳一中期末)定义域为R的偶函数f(x)满足∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点,则a的取值范围是　　　　　　. 

答案　∪(1,+∞)

解析　∵f(x+2)=f(x)-f(1),∴f(-1+2)=f(-1)-f(1),又f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-1)=f(1),∴f(1)=0,则有f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的偶函数.当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2,函数的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线.∵函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点,令g(x)=loga(|x|+1),∴f(x)的图象和g(x)的图象在(0,+∞)上至多有3个交点.可以分两种情况:其一是有交点,其二是一个交点也没有,当一个交点都没有时,a>1.当有交点时,∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得0<a<1,要使函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点,

则有g(4)<f(4),可得loga(4+1)<f(4)=-2,

即loga5<-2,∴5>,解得a>或a<-,又0<a<1,∴<a<1,故答案为∪(1,+∞).