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    四川省成都外国语学校2022-2023学年高二数学(理)下学期3月月考试题(Word版附解析)
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    四川省成都外国语学校2022-2023学年高二数学(理)下学期3月月考试题(Word版附解析)

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    这是一份四川省成都外国语学校2022-2023学年高二数学(理)下学期3月月考试题(Word版附解析),共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    成都外国语学校2022—2023学年度高二下3月月考

    数学试题(理科)

    一、单选题(本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

    1. 复数等于(

    A. + B. 1-i C. -1+ D. -1-i

    【答案】A

    【解析】

    【详解】,选A

     

    2. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线的渐近线方程为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据双曲线的渐近线方程为求解.

    【详解】因为双曲线的方程为

    所以其渐近线方程为

    故选:A

    3. 函数为自然对数的底数),则的值为(   

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    【答案】B

    【解析】

    【分析】先求出,再求出即可.

    【详解】

    故选:B

    4. 已知之间的一组数据:,则的线性回归方程为必过(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】求出样本中心即可得到答案.

    【详解】由题意可知:

    的线性回归方程必过点.

    故选:C.

    5. 若函数有三个单调区间,则实数a的取值范围是(    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】有两个不相等的实数根求得的取值范围.

    【详解】

    由于函数有三个单调区间,

    有两个不相等的实数根,∴

    故选:C

    6. 若函数上有极值点,则的取值范围为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】对函数进行求导,由于函数有极值点即有变号零点,根据导函数的单调性列出不等式解出即可.

    【详解】因为,所以

    上恒成立,所以上为减函数,

    所以,解得

    故选:A.

    7. 已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与交于两点(点在第一象限),与交于点,若,则   

    A.  B. 3 C. 6 D. 12

    【答案】B

    【解析】

    【分析】利用抛物线的定义,以及几何关系可知,再利用数形结合表示的值,进而得,再根据焦半径公式得,进而求解直线的方程并与抛物线联立得,再用焦半径公式求解即可.

    【详解】如图,设准线与轴的交点为,作,垂足分别为

    所以,.

    ,所以

    ,则.

    因为

    所以,所以

    所以,即.

    所以,抛物线为,焦点为,准线为

    ,解得

    所以,

    所以,直线的方程为

    所以,联立方程,解得

    所以,

    所以,

    故选:B

    8. 若函数的图像有且仅有一个交点,则关于x的不等式的解集为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】将条件只有1个交点转换为函数只有1个零点,参数分离求出a,再构造函数,利用其单调性求解即可.

    【详解】只有1个交点等价于函数 只有1个零点,

    只有1个解,

    ,则

    时,单调递增,当时,单调递减,并且

    所以 ,函数的大致图像如下图:

    ,原不等式为: ,即

    ,显然时是增函数,又

    的解集是.

    故选:C.

    9. 某同学根据以下实验来估计圆周率的值,每次用计算机随机在区间内取两个数,共进行了次实验,统计发现这两个数与为边长能构成钝角三角形的情况有种,则由此估计的近似值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据给定条件,画出几何图形,借助几何概型计算作答.

    【详解】是区间内的任意两个数,则,因此点所在的平面区域是边长为3的正方形内部,如图,

    3为边长能构成钝角三角形,则点在满足的条件下,有

    此时点在以点O为圆心,3为半径的圆与线段AC所围弓形内部(不含边界),

    弓形面积,而正方形的面积

    于是点落在弓形内部的概率为

    因为次实验中,出现数为边长能构成钝角三角形的情况有种,

    因此,解得

    所以估计的近似值为.

    故选:A

    10. 已知函数是定义在R上的可导函数,其导函数为.若,且,则使不等式成立的x的值可能为(    )

    A. 2 B. 1 C.  D. 2

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据已知条件构造函数,要求解的不等式可化为,判断F(x)单调性即可求解.

    【详解】,则

    ,∴

    ,即在定义域R上单调递减.

    ,∴

    ∴不等式等价于,即,解得

    结合选项可知,只有D符合题意.

    故选:D

    11. 已知曲线上一点,曲线上一点,当时,对任意,都有恒成立,则的最小值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据题中条件,得到,推出;证明,得到,推出,分离参数得,构造函数求出最大值,即可得出结果.

    【详解】因为当时,对于任意都有恒成立,

    所以有:

    ,则

    所以当时,,则单调递增;

    时,,则单调递减;

    因此,即显然恒成立;

    因为,所以,即

    为使恒成立,只需恒成立;即恒成立;

    ,则

    解得;由解得

    所以上单调递增;在上单调递减;

    所以

    ,因此的最小值为.

    故选:

    【点睛】关键点点睛:

    求解本题的关键在于将问题转化为不等式恒成立求参数范围的问题,根据,只需,分离参数后,即可根据导数的方法求解.

    12. 已知椭圆的左、右焦点,上一点,且的内心为,若的面积为,则的值为(   

    A.  B. 3 C.  D. 6

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用焦点三角形的面积公式,建立等量关系,结合椭圆的性质,计算椭圆的离心率,再结合焦点三角形的面积公式即可求的值.

    【详解】由题意得,的内心轴的距离

    等于内切圆的半径,即为的纵坐标,即为

    因为上的一点,

    所以,

    又因为,所以

    整理得,解得(舍)或

    所以

    所以

    所以,即,解得.

    故选:D.

    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.)

    13. 下面一段程序执行后的结果是________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据程序的语句,经过一次乘法,加法后输出结果,据此计算即可

    【详解】初始赋值,经过后,数值变为,经过运算后,结果为.

    故答案为:

    14. 已知复数是纯虚数,则___________.

    【答案】1

    【解析】

    【分析】根据复数的概念列式即可求得的值.

    【详解】因为是纯虚数,所以,解得.

    故答案为:.

    15. 已知双曲线C上有不同的三点ABP,且AB关于原点对称,直线PAPB的斜率分别为,且,则离心率e的取值范围是____________

    【答案】

    【解析】

    【分析】利用点差法求得,由此化简求得离心率的取值范围.

    【详解】,因为AB关于原点对称,所以

    ,∴

    又因为点PA都在双曲线上,所以

    两式相减得:

    故答案为:

    16. 已知函数,若关于x的不等式,对恒成立,则实数a的最小值是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】将不等式化为,构造函数,原不等式即可化为,根据的单调性可得,参变分离得,则即可求解.

    【详解】,由可得

    构造函数,其中,则

    ∴函数上单调递增,原式等价于

    ,则,则

    即得,∴

    ,其中,则

    时,,函数单调递增,

    时,,函数单调递减,

    ∴,

    ,解得,故实数的最小值为

    故答案为:

    三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

    17. 已知函数,且.

    1的解析式;

    2求曲线处的切线方程.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)先求导数,根据可求,进而可得答案;

    2)先求导数得到切线斜率,再求出切点,利用点斜式可求切线方程.

    【小问1详解】

    因为,且,所以,解得,所以函数的解析式为.

    【小问2详解】

    由(1)可知

    ,所以曲线处的切线方程为,即.

    18. 已知抛物线的准线方程为.

    1的值;

    2直线交抛物线于两点,求弦长.

    【答案】12    2.

    【解析】

    【分析】1)根据给定抛物线方程,求出其准线方程即可计算作答;

    2)联立直线与抛物线方程,结合韦达定理求出弦长作答.

    小问1详解】

    抛物线的准线方程为,依题意,,解得

    所以的值为2.

    【小问2详解】

    由(1)知,抛物线,设点

    消去y得:,则

    所以

    .

    19. 已知函数.

    1时,求函数的单调区间;

    2若函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围.

    【答案】1减区间为,增区间为   

    2.

    【解析】

    【分析】1)对求导得到,令,解不等式即可得到单调区间;

    2)把上单调递增转化成在大于等于零恒成立,再求出最值即可得到的取值范围.

    【小问1详解】

    函数的定义域为,当时,

    求导得,整理得:

    ;由

    从而,函数减区间为,增区间为

    【小问2详解】

    由已知得时,恒成立,即恒成立,即恒成立,则.

    令函数,由单调递增,

    从而.

    经检验知,当时,函数不是常函数,

    所以a的取值范围是.

    20. 某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩,这50名学生的成绩都在内,按成绩分为五组,得到如图所示的频率分布直方图.

    1根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数;(四舍五入保留1小数);

    2用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2名学生进行调查,求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)由频率分布直方图的性质,求得,结合中位数的计算方法,即可求解;

    2)由频率分布直方图成绩在和频率分别是,得到成绩在上的有4人,成绩在上的有2人,结合概率计算公式,即可求解.

    小问1详解】

    解:由频率分布直方图的性质,可得

    解得

    在频率分布直方图中前两组频率和为

    第三组频率为,所以中位数在第三组,

    设中位数为,则,解得.

    【小问2详解】

    解:由频率分布直方图成绩在和频率分别是

    则抽取的人中,成绩在上的有4人,成绩在上的有2人,

    6人中任意抽取2人共有种方法,

    其中2人成绩都在上的方法有种,

    所以月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率为

    21. 已知点,动点P满足.

    1求动点P的轨迹C的方程;

    2设点,斜率为k的直线l与曲线C交于MN两点.,求k的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)设动点,分别表示出,然后代入计算,化简即可得到结果;

    2)根据题意,分两种情况讨论,当时,设直线l,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理表示出MN的中点的坐标,再由条件列出方程,即可得到结果.

    【小问1详解】

    设动点,则

    ,由已知,得

    化简,得,故动点P的轨迹C的方程是.

    【小问2详解】

    时,设直线l,将代入

    整理,得

    整理,得,①

    MN的中点为Q

    所以

    ,得,即直线EQ的斜率为

    所以,化简,得,②

    将②代入①式,解得.

    时,显然存在直线l,满足题设.

    综上,可知k的取值范围是.

    22. 已知函数

    1讨论函数的单调性;

    2设函数有两个极值点,证明:

    【答案】1答案见解析   

    2证明见解析

    【解析】

    【分析】1)先求出定义域,再求导,根据确定,再对进行分类讨论,讨论求出函数的单调性;

    (2)对求导,结合的极值点个数得到上有两个不等实根,得到,表达出,只需证,构造,研究其单调性,求出,由对勾函数的单调性证明出结论.

    【小问1详解】

    定义域为,且

    得,

    ①当时,单调递增,

    单调递减,

    ②当时,单调递增,

    ③当时,单调递增,

    单调递减,

    综上,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减;

    时,在区间上单调递增;

    时,在区间上单调递增,在区间单调递减;

    【小问2详解】

    由已知,,则

    函数有两个极值点,即上有两个不等实根,

    ,只需,故

    所以

    要证,即证

    只需证

    ,则恒成立,

    所以上单调递减,

    由零点存在性定理得,使得

    所以时,单调递增,

    时,单调递减,

    ∵由对勾函数知上单调递增,

    ,即,得证.

    【点睛】隐零点的处理思路:

    第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,其中难点是通过合理赋值,敏锐捕捉零点存在的区间,有时还需结合函数单调性明确零点的个数;

    第二步:虚设零点并确定取范围,抓住零点方程实施代换,如指数与对数互换,超越函数与简单函数的替换,利用同构思想等解决,需要注意的是,代换可能不止一次.

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