2023-2024学年福建省龙岩五中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省龙岩五中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是关于的一元二次方程的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.  用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列一元二次方程中，两根之和为的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在年“元旦节”收到微信红包为元，年为元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列函数中，是的二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果一元二次方程的两个根是互为相反数，那么有(    )

A.  B.  C.  D. 以上结论都不对

9.  如图，在宽为米，长为米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要米，则修建的路宽应为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

10.  等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______．

12.  将一元二次方程化为一般形式是______ ．

13.  用配方法解方程时，方程的两边同时加上______ ，使得方程左边配成一个完全平方式．

14.  一元二次方程的根的判别式的值为______ ．

15.  若是方程的一个根，则的值为______ ．

16.  若，是一元二次方程的两个根，那么的值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：
；
；
；
．

18.  本小题分
已知方程的一个根，求方程的另一个根及的值．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若是正整数，求关于的方程的根．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
设，为方程的两个实数根，且，求的值．

21.  本小题分
学校打算用的篱笆围城一个矩形生物园，生物园的一面靠墙墙可利用的长度为，面积是求这个生物园的边的长．

 

22.  本小题分
某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有个人被感染．
求每轮感染中平均一个人会感染几个人；
若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染的人会不会超过人．

23.  本小题分
某服装店在销售中发现：进货价为每件元，销售价为每件元的某品牌服装平均每天可售出件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价元，那么平均每天就可多售出件．
求销售价在每件元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
要想平均每天盈利元，可能吗？请说明理由．

24.  本小题分
如图，在等腰中，，，动点从点出发沿折线向终点以的速度运动，于点设运动时间为，求为何值时，的面积为．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线经过点和点点的横坐标为，点为线段的中点．
求直线的解析式．
如图，若点为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点坐标．
在的条件下，点在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是二元一次方程，故本选项不合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是一元三次方程，故本选项不合题意；
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了对一元二次方程的定义的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是，．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行解答．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．

3.【答案】 

【解析】解：，
，即，
故选：．
移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：由根与系数的关系可得与的两根之和为．
中，，无实根，
的两根之和为．
故选：．
由方程的判别式及根与系数的关系判定即可．
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用判定方程是否有实根．

5.【答案】 

【解析】解：设这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为，由题意得：
，
故选：．
根据题意可得年收到微信红包为，年收到微信红包为，进而可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，分别表示出年和年微信红包的收入．

6.【答案】 

【解析】解：关于的方程中，，
解得．
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

7.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，故A不是二次函数，
B、是反比例函数，故B不是二次函数，
C、既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；
D、，是二次函数，符合题意．
故选：．
根据二次函数、一次函数以及反比例函数的定义即可求出答案．
本题考查二次函数的定义、一次函数以及反比例函数的定义，解题的关键是正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．

8.【答案】 

【解析】解：设该一元二次方程的两个根分别是、，则根据题意知
，即，
解得，；
故选B．
根据根与系数的关系、相反数的定义可知，据此可以求得的值．
本题考查了根与系数的关系．解答该题时，需挖掘出隐含在题干中的已知条件．

9.【答案】 

【解析】解：设修建的路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或，
不合题意，舍去，
故选：．
要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去面积．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分为腰长及为底边长两种情况，求出值是解题的关键．
当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出值．再根据三角形三边关系判断是否符合题意即可．
【解答】
解：当为腰长时，将代入，得：，
解得：，
的两个根是，，，符合题意；
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的两个根是，，符合题意．
的值为或．
故选C

11.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
．
．
故答案是：．
根据一元二次方程的定义得到据此可以求得的取值范围．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式：为常数且，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为．
利用方程两边同时加上一次项系数一半的平方求解．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
根据根的判别式等于，代入求值即可．
本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式的公式为．

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，将代入方程，得：，
则，
．
故答案为：．
把代入方程求出，可得的值．
本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．

16.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于是解题的关键．

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，

或，
，；
，
，
，即，
，
，；
，
这里，，，
，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可；根据配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项，然后根据因式分解法进行求解一元二次方程即可；
利用配方法求解一元二次方程即可；
利用公式法求解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．

18.【答案】解：方程的一个根，
，
解得：，
方程为，
解得：，，
，． 

【解析】首先将方程的根代入方程求得的值，然后代入方程求得方程的另一根即可．
本题考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是能够了解方程的定义并将方程的根代入求得的值，难度不大．

19.【答案】解：根据题意得：，
解不等式得：；
由得：，
为正整数，
，
把代入原方程得：，
解得：，． 

【解析】本题主要考查根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
根据方程有两个不相等的实数根知，据此列出关于的不等式，解之可得；
由中的范围且为正整数得出的值，代入方程，解之可得．

20.【答案】证明：，，．
．
，
，即，
无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
解：，为方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，结合可得出，进而可证出：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
利用根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．

21.【答案】解：设宽为，则长为．
由题意，得，
解得，．
，
，
．
答：生物园的边的长． 

【解析】可设宽为，则长为，根据等量关系：面积是列出方程求解即可．
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

22.【答案】解：设每轮感染中平均一个人会感染个人，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮感染中平均一个人会感染个人．
人，．
答：若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染的人会超过人． 

【解析】设每轮感染中平均一个人会感染个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有个人被感染，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据轮感染后被感染的人数轮感染后被感染的人数，即可求出轮感染后被感染的人数，再将其与进行比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要使顾客得到较多的实惠，
．
答：每件应降价元．
每天不可能盈利元，理由如下：
设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
，
原方程无实数根，
即每天不可能盈利元． 

【解析】设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要使顾客得到较多的实惠，即可得出每件应降价元；
每天不可能盈利元，设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出原方程无实数根，即每天不可能盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

24.【答案】解：在等腰中，，，
，，，
分两种情况：
当点在上运动时，即时，如图：

由题意得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积为，
，
，
解得：或舍去；
当点在上运动时，即时，如图：

由题意得：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积为，
，
，
解得：或舍去；
综上所述：为或时，的面积为． 

【解析】先根据等腰直角三角形的性质可得，，，然后分两种情况：当点在上运动时，即时；当点在上运动时，即时，分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰直角三角形，分两种情况讨论是解题的关键．

25.【答案】解：设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
作关于轴的对称点，连接交线段于，如图：

，点为线段的中点，
，
关于轴的对称点，
，，
，
而、、共线，
此时最小，即最小，
在中，令得，
，
设直线解析式为，将、代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
；
设，，
又，，
，，，
当时，如图：

，
解得，
此时横坐标为；
当时，如图：

，
解得舍去或，
此时横坐标为；
当时，如图：

，
解得或舍去，
此时横坐标为；
总上所述，的横坐标坐标为或或． 

【解析】设直线解析式为，用待定系数法可得直线解析式为；
作关于轴的对称点，连接交线段于，由点为线段的中点得，根据关于轴的对称点，知，，当、、共线，最小，在中，得，设直线解析式为，用待定系数法得直线解析式为，即得；
设，，又，，可得，，，当时，，解得；当时，，解得，当时，，解得．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型，等腰三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．